Chuyên đề ôn tập Hình học Lớp 7 - Chuyên đề III: Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác và các đường đồng quy trong tam giác - Chủ đề 5: Tính chất tia phân giác của một góc

 CHỦ ĐỀ 5. TÍNH CHẤT TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GÓC
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Định lí thuận
Điểm nằm trên tia phân giác của một 
góc thì cách đều hai cạnh của góc đó.
2. Định lí đảo
Điểm nằm bên trong một góc và cách
đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia 
phân giác của góc đó.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
 Dạng 1. Vận dụng tính chất phân giác của một góc để chứng minh các đoạn thẳng 
 bằng nhau 
Phương pháp giải: Áp dụng Định lí thuận.
 1A. Cho ABC vuông tại A có AB = 3cm, AC = 6cm. Gọi E là trung điểm 
 AC, tia phân giác của µA cắt BC tại D.
 a) Tính BC.
 b) Chứng minh: BAD = EAD.
 c) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC. Chứng minh điểm D cách 
 đều AB và AC.
 1B. Cho x· Oy khác 180°. Trên tia phân giác Ot của x· Oy lấy điểm M bất kì. 
 Chứng minh điểm M cách đều Ox và Oy.
 2A. Cho ABC có µA = 120°. Tia phân giác của A cắt BC tại D. Tia phân giác 
 của ·ADC cắt AC tại I. Gọi H, K, E lần lượt là hình chiếu của I trên đương thẳng 
 AB, BC, AD. Chứng minh:
 a) AC là tia phân giác của D· AH .
 b) IH = IK 2B. Cho ABC. Hai tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh B và đỉnh C cắt 
 nhau tại I. Chứng minh điểm I cách đều hai cạnh AB, AC. 
 3A. Cho ABC có trung tuyến AM đồng thời là đường phân giác. Trên tia 
 AM lấy điểm D sao cho MD = MA. Chứng minh:
 a) AB = CD.
 b) ACD cân tại C.
 c) Chứng minh ABC cân tại A.
 3B. Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ một điểm K bất kì trên cạnh BC, vẽ 
 KH  AC (H AC). Trên tia đối của tia HK lấy điểm I sao cho HI = HK. Chứng 
 minh:
 a) Chứng minh AB //HK;
 b) Chứng minh K· AH I·AH
 c) Chứng minh AKI cân,
Dạng 2. Chứng minh một tia là tia phân giác của một góc
 Phương pháp giải: Để chứng minh một tia là tia phân giác của một góc, ta có thể sử 
 dụng các cách sau:
Cách 1. Áp dụng Định lí đảo.
Cách 2. Chứng minh hai góc bằng nhau dựa vào hai tam giác bằng nhau.
 Cách 3. Đường trung tuyến trong tam giác cân đồng thời là đường phân giác.
4A. Cho x· Oy có tia phân giác Ot. Trên tia Ot lấy điểm C bất kì. Lấy
 A Ox, B Oy sao cho OA = OB. Gọi H là giao điểm của AB và Ot. Chứng 
 minh:
 a) CA = CB và CO là phân giác của ·ACB ;
 b) OC vuông góc với AB tại trung điểm của AB;
 c) Biết AB = 6 cm, OA = 5 cm. Tính OH
 4B. Cho ABC, AB = AC. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm 
 E sao cho AD = AE. Gọi M là giao điểm của BE và CD. Chứng minh:
 a) BE = CD;
 b) BMD = CME; c) Đường vuông góc với OE tại E cắt Ox, Oy lần lượt tại M, N. Chứng minh 
 MN / / AC //BD.
 5A. Cho x· Oy . Lấy các điểm A,B thuộc tia Ox sao cho OA > OB. Lấy các điểm 
 C, D thuộc Oy sao cho OC = OA, OD = OB. Gọi E là giao điểm của AD và BC. 
 Chứng minh.:
 a) AD = BC ;
 b) ABE = CDE;
 c) OE là tia phân giác của góc xOy.
 5B. Cho góc nhọn xOy. Trên cạnh Ox lấy điểm A và trên cạnh Oy lấy điểm 
 B sao cho OA = OB. Đường vuông góc với Ox kẻ từ A cắt Oy tại điểm C. Đường 
 vuông góc với Oy kẻ từ B cắt Ox tại D và cắt AC tại I. Đường vuông góc với 
 Ox kẻ qua D cắt Oy tại E. Đường vuông góc với Oy kẻ qua C cắt Ox tại F và cắt 
 DE tại J.
 a) Chứng minh OI là tia phân giác x· Oy .
 b) Chứng minh OC = OD. Từ đó suy ra OJ là tia phân giác của x· Oy
 c) Chứng minh ba điểm O, I, J thẳng hàng.
 6A. Cho ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Trên nửa mặt 
 phẳng bờ BC không chứa A dựng tia Mx  BC. Trên tia Mx lấy E sao cho ME 
 = MB.
 a) Tam giác BEC là tam giác gì?
 b) Gọi H và K là chân các đường vuông góc kẻ từ E đến các đường thẳng AB, 
 AC. Chứng minh B· EH C· EK .
 c) Chứng minh rằng AE là tia phân giác của góc A
 6B. Cho ABC vuông tại A. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A 
 dựng BCD vuông cân tại D. Hạ DI  AB, DH  AC.
 Chứng minh AD là tia phân giác của µA
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ 7. Cho tam giác ABC vuông tại A có Bµ = 60°. Trên cạnh BC lấy điểm H 
 sao cho HB = AB. Đường thẳng vuông góc với BC tại H cắt AC tại D. Chứng 
 minh:
 a) BD là tia phân giác của ·ABC ; b) BDC cân.
8. Cho x· Oy khác góc bẹt.
 a) Từ điểm M trên tia phân giác của x· Oy , kẻ các đường vuông góc MA, MB đến 
 hai cạnh Ox, Oy (A Ox, B Oy), OM cắt AB tại H. Chứng minh AB  OM.
 b) Trên tia đối của tia Ox, Oy lần lượt lấy hai điểm C và D, sao cho OC = OD. Hai 
 đương thẳng lần lượt vuông góc với Ox, Oy tại C và D cắt nhau ở E. Chứng minh 
 ba điểm O, H, E thẳng hàng.
 9. Cho hai góc nhọn x· Oy và z·O 't có các cạnh cắt nhau tạo thành hình ABCD như 
 hình vẽ. Xét hình ABCD.
 a) Chứng minh tổng bốn góc A + B + C + D bằng 360°.
 b) Cho biết µA = 130°, Bµ = 120°, Cµ = 50°.Các tia phân giác của µA , Bµ cắt nhau tại 
 M, các tia phân
 giác của Dµ ,Cµ cắt nhau tại N.
 Tính ·AMB, D· NC .
 c) Chứng minh tia phân
 giác của hai góc x· Oy và z·O 't
 vuông góc với nhau.
 HƯỚNG DẪN
1A. a) Áp dụng Định lí Pytago trong tam giác vuông ABC
 tính, được BC 45 cm.
 Vì E là trung điểm AC nên
 1
 AE = AC = 3 cm => AE = AB
 2
 => BAD = EAD (c.g.c).
 c) Do DH  AB nên DH là khoảng cách từ D đến AB.
 Tương tự DK là khoảng cách từ D đến AC.
 Suy ra DH = DK.
1B. Hạ ME, MF lần lượt vuông góc với Ox,Oy (E Ox, F Oy). Chứng 
 minh được OME = OMF (ch-gn) => ME = MF. Vậy M cách, đều hai cạnh 
 Ox, Oy.
2A. a) Vì B· AC = 120° nên C· AH = 60°.
 Do AD là phân giác B· AC nên
 1
 D· AC B· AC = 60°
 2
 => D· AC C· AH 
 => AC là phân giác D· AH .
 b) Khi đó IE = IH.
 Mặt khác DI là phân giác
 ·ADC nên IE = IK.
 Vậy IH = IK.
2B. Gọi E, F, P lần lượt là hình chiếu của I trên các đường thẳng AB, 
 BC, CA.
 Theo Định lí thuận ta có IE = IF và IF = IP => IE = IP .
 Vậy I cách đều hai cạnh AB, AC.
3A. a) Trên tia đối của tia MA lấy D sao cho MA = MD.
 => MAB = MDC (c.g.c) => AB = CD b) AM là phân giác B· AC nên B· AM C· AM
 Lại có B· AM C· DM (hai góc tương ứng bằng nhau).
 Do đó C· AM C· DM => CAD cân tại C => CA = CD.
 c) Vậy AB = AC => ABC cân tại A
3B. a) Ta có: AB  AC, KH  AC 
 => AB // KH.
 b) AHK = AHI (ch-cgv) 
 => K· AH I·AH .
 c) AKI có AH vừa là đường
 trung tuyến, vừa là đường phân 
 giác nên AKI cân tại A.
4A. a) Vì Ot là phân giác x· Oy nên ·AOC B· OC
 => AOC = BOC (c.g.c) => CA = CB, O· CA O· CB
 => CO là phân giác ·ACB .
 b) Chúng minh được: OAH = OBH (c.g.c).
 => O· AH O· HB = 90°, AH = BH.
 Vậy OC vuông góc với AB tại
 trung điểm của AB.
 c) Vì H là trung điểm của AB
 1
 => AH = AB = 3 cm.
 2
 Áp dụng định lí Pytago trong tam
 giác vuông OHA, tính được OH = 4 cm.
4B. a) ABE = ACD (c.g.c) => BE = CD.
 b) Do ABE = ACD => ·ABE ·ACD B· DC C· EB . Mặt khác AB = AC, AD = AE => BD = CE.
 Lại có: ABE = ACD => ·ABE ·ACD D· BM E· CM
 => BMD = CME (g.c.g).
 c) Vì BMD = CME => MD = ME => ADM = AEM(c.c.c).
 => M· AD M· AE => AM là phân giác của B· AC .
5A. a) OAD = OCB (c.g.c) => AD = CB. 
 b) Do OA = OC, OB = OD => AB = CD.
 Lại có OAD = OCB (c.g.c) => O· BC O· DA ·ABE C· DE
 Mà O· AD O· CB . Vậy ABE = CDE (g.c.g)
 c) Vì ABE = CDE (g.c. g) => B· OE D· OE
 => OE là tia phân giác của góc xOy.
 Tam giác AOC và BOD đều
 cân ở O nên OE  BD
 và OE  AC. Suy ra
 AC // MN // BD.
5B. a) b) Tương tự 5A.
 c) Vì OI, OJ cùng là phân giác
 của x· Oy nên ba điểm O, I, J 
 thẳng hàng.
6A. a) BEC có trung tuyến
 1
 ME = BC => BEC vuông tại E..Mặt khác 
 2
 BME vuông cân tại M nên M· BE = 45°
 => BEC vuông cân tại E.
 b) Từ ý (a) suy ra BE = CE. (1)
 AB  AC, EK  AC => AB // EK. Mà EH  AB nên EH  EK => H· EK = 90°
 => H· EB K· EC (cùng phụ H· EC ). (2) 
 c) Từ (1) và (2) suy ra BHE = CKE (Ch-gn) 
 => EH - EK.
 Chứng minh được AHE = AKE => H· AE K· AE . Vậy AE là tia phân giác 
 của góc A.
6B. Tương tự 6A.
 Chứng minh được BID = CHD => DI = DH.
 Suy ra ADI = ADH => D· AI D· AH
 Vậy AD là tia phân giác của µA
7. a) Chứng minh được ABD và HBD
 => ABD = HBD => ·ABD H· BD
 => BD là tia phân giác của ·ABC
 1
 b) B· DH ·ABC 30, D· CB 90 ·ABC 90 60 30
 2
 => D· BH D· CB => DBC cân tại D.
8. Tương tự 4A.
 a) Ta có MA = MB suy ra OAM = OBM => OA = OB.
 Do đó OAH = OBH nên O· HA O· HB = 90°.
 Vậy AB  OM tại H.
 b) OCE = ODE => E· OC E· OD . Vậy E thuộc đường thẳng chứa tia phân 
 giác của x· Oy .
 9. a) ABD có tổng các góc là 180°. Tương tự, DBC có tổng các góc là 
 180°. Cộng lại ta được ĐPCM.
 b) Sử dụng kết quả của ý a) suy ra Dµ = 60°.
 µA Bµ
 AMB có = 125° nên
 2 2
 ·AMB = 55°. Tương tự D· NC = 125°.
 c) Gọi I là giao điểm tia phân giác
 góc x· Oy với AD và E là giao điểm
 của hai tia phân giác góc x· Oy và
 z·O 't . Ta có:
 1 1
 I·O ' E z·O 't = 180 Dµ Cµ 35.
 2 2 
 1 1
 I·OA x· Oy = 180 Bµ Cµ 5.
 2 2 
 O· AI 180 µA 50
 Suy ra ·AIE I·OA O· AI 55
 Vậy O· ' EI 180 (35 55) 90
..............................................................................................................................................................