Chuyên đề ôn tập Hình học Lớp 7 - Chuyên đề III: Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác và các đường đồng quy trong tam giác - Chủ đề 6: Tính chất ba đường phân giác

 CHỦ ĐỀ 6. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC
 CỦA TAM GIÁC
I. TểM TẮT Lí THUYẾT
1. Định lớ: Ba đường phõn giỏc của một 
tam giỏc cựng đi qua một điểm. Điểm 
này cỏch đều ba cạnh của tam giỏc đú.
Cụ thể:
 à ả à ả à ả
 A1 A2 , B1 B2 ,C1 C2 => ID = IE = IF .
2. Tớnh chất: Trong một tam giỏc cõn,
 đường phõn giỏc của gúc ở đỉnh đồng
 thời là đường trung tuyến, đường cao
 của tam giỏc đú. Ngược lại, nếu một 
tam giỏc cú đường phõn giỏc vẽ từ 
một đỉnh đồng thời là đường trung tuyến
 (hoặc đường cao) thỡ tam giỏc ấy là tam 
giỏc cõn tại đỉnh đú.
 ABC : AB = AC
 à ả => BD = DC
 A1 A2
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Tớnh độ dài đoạn thẳng, số đo gúc
 Phương phỏp giải: Sử dụng cỏc tớnh chất:
• Giao điểm của hai đường phõn giỏc của hai gúc trong một tam giỏc nằm trờn đường phõn 
giỏc của gúc thứ ba.
• Giao điểm cỏc đường phõn giỏc của tam giỏc cỏch đều ba cạnh của tam giỏc.
1A. Tỡm x trong mỗi hỡnh vẽ sau biết CI và BI là hai phõn giỏc của ãACB và ãABC , cũn EH 
và FH là hai phõn giỏc của Dã EF và Dã FE . 1B. Tỡm x trong mỗi hỡnh vẽ sau biết I, H là giao điểm của ba đường phõn giỏc của cỏc 
gúc trong của tam giỏc.
2A. Cho hỡnh vẽ bờn, biết KN = 12 cm,
IN = 13 cm và I là giao điểm, cỏc phõn
giỏc của tam giỏc MNL.
a) So sỏnh IP và IH.
b) Tớnh IH
2B. Cho xã Oy , tia phõn giỏc Oz. Trờn tia Ox lấy điểm A sao cho OA = 4cm. Từ A kẻ đường thẳng vuụng gúc với Ox cắt Oz tại H, cắt Oy tại K. Lấy điểm B 
trờn tia Ox sao cho A là trung điểm của OB. Hạ HI  OK.
a) Chứng minh AH = HI
b) Biết OH = 5 cm, tớnh khoảng cỏch từ điểm H đến BK.
Dạng 2. Chứng minh 3 đường đồng quy, 3 điểm thẳng hàng
Phương phỏp giải: Vận dụng tớnh chất ba đường phõn giỏc của tam giỏc.
3A. Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Kẻ cỏc tia phõn giỏc BD, CE. Lấy M là trung điểm của 
BC.
a) Chứng minh AM là tia phõn giỏc của gúc BAC.
b) Ba đường thẳng AM, BD, CE đồng quy tại H.
 HM
c) Giả sử cú MN = MP = NP, tớnh tỉ số 
 MK
3B. Cho tam giỏc MNP cú MN = MP. Hạ MK NP (K NP). Gọi NE, PF lần lượt là tia phõn 
giỏc của cỏc gúc N và P trong tam giỏc MNP. Chứng minh:
a) MK là tia phõn giỏc của gúc NMP;
b) MK, NE, PF đồng quy.
4A. Cho tam giỏc ABC, tia phõn giỏc AD. Cỏc tia phõn giỏc ngoài tại đỉnh B và C cắt nhau 
ở E. Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng.
4B. Cho gúc xOy nhọn. Lấy điểm A trờn tia Ox, điểm B trờn tia Oy. Trờn tia Ox lấy điểm 
C sao cho BC là tia phõn giỏc của gúc ABy. Gọi I là giao điểm của hai tia phõn giỏc gúc xAB 
và xOy. Chứng minh ba điểm B, I, C thẳng hàng.
Dạng 3. Đường phõn giỏc đối với cỏc tam giỏc đặc biệt (tam giỏc cõn, tam giỏc đều)
Phương phỏp giải: Sử dụng tớnh chất trong tam giỏc cõn, đường phõn giỏc của gúc ở đỉnh 
cũng đồng thời là đường trung tuyến, đường cao.
5A. Cho tam giỏc MNP cõn tại M cú G là trọng tõm.I là điểm nằm trong tam giỏc và cỏch 
đều ba cạnh của tam giỏc đú. Chứng minh ba điểm M, G, I thẳng hàng.
5B. Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Gọi I là điểm nằm trong tam giỏc và cỏch đều ba cạnh 
của tam giỏc đú. Chứng minh AI vuụng gúc với BC.
6A. Cho tam giỏc ABC cú đường trung tuyến AM là đường phõn giỏc của gúc A. Chứng 
minh tam giỏc ABC cõn tại A.
6B. Cho tam giỏc ABC cú đường cao AH đồng thời là đường phõn giỏc của gúc A Chỳng 
minh tam giỏc ABC cõn tại A.
Dạng 4. Chứng minh mối quan hệ giữa cỏc gúc Phương phỏp giải:
• Vận dụng cỏc tớnh chất tia phõn giỏc của một gúc để tỡm mối liờn hệ giữa cỏc gúc.
• Dựng định lớ tổng ba gúc trong một tam giỏc bằng 180°.
7A. Cho ABC, Cỏc tia phõn giỏc ở gúc B và C cắt nhau ở I
a) Biết àA = 70°, tớnh số đo gúc BIC.
b) Biết Bã IC = 140°, tớnh số đo gúc A.
 àA
c) Chứng minh Bã IC = 90° + 
 2
7B. Cho tam giỏc DEF cõn tại D. Gọi I là giao điểm của cỏc tia phõn giỏc EP, FQ.
a) Biết Eã IF = 110°, tớnh số đo gúc D.
b) Biết Dà = 50°, tớnh số đo ba gúc của tam giỏc IPF
8A. Cho tam giỏc ABC cú Bà Cà . Từ đỉnh A kẻ đường cao AH và tia phõn giỏc AD.
a) Biết Bà 70,Cà 50, tớnh số đo Hã AD .
 Bà Cà
B) Chứng minh Hã AD 
 2
8B. Cho ABC (AB > AC), I là giao điểm ba đường phõn giỏc. Tia AI cắt BC tại D. Hạ IH 
vuụng gúc với BC tại H.
a) Nếu Bà 40,Cà 60 , Tớnh số đo gúc HID.
 Bà Cà
b) Chứng minh Hã ID 
 2
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ.
9. Tỡm x, y biết M là giao điểm cỏc phõn giỏc của tam giỏc ABC.
10. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Cỏc tia phõn giỏc của cỏc gúc B và C cắt nhau tại I. 
Gọi H, J, K lần lượt là chõn đường vuụng gúc kẻ từ I đến AB, AC, BC. Biết KI = lcm, BK = 
2cm, KC = 3cm.
a) Chứng minh BHI = BKI
b) Chứng minh tam giỏc AHI là tam giỏc vuụng cõn. c) Tớnh chu vi tam giỏc ABC
11. Cho tam giỏc ABC, trờn tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho MB = AB, trờn tia đối 
của tia CB lấy điểm N sao cho NC = AC. Qua M kẻ đường thẳng song song với AB. Qua N 
kẻ đường thẳng song song với AC. Hai đường thẳng đú cắt nhau tại P. Chứng minh:
a) MA, NA lần lượt là tia phõn giỏc của Pã MB, Pã NC
b) Tia PA cắt BC tại K. Chứng minh PA là tia phõn giỏc của Mã PN , từ đú suy ra AK là tia 
phõn giỏc của Bã AC .
12. Cho tam giỏc ABC. Cỏc đường phõn, giỏc cỏc gúc ngoài tại đỉnh A và C cắt nhau ở 
K.
a) Chứng minh BK là phõn giỏc của gúc ABC.
b) Cho cỏc tia phõn giỏc cỏc gúc A và C trong tam giỏc ABC cắt nhau ở I Chứng minh B, I, K 
thẳng hàng.
c) Cho biết ãABC = 70°. Tớnh ãAKC .
13. Cho tam giỏc ABC, tia phõn giỏc AD. Cỏc tia phõn giỏc ngoài Bx và Cy cắt nhau ở E. 
 1
Chứng minh ba đường thẳng AD, Bx, Cy đồng quy và Bã EC Fã EH 
 2
14. Tam giỏc ABC cõn tại. A. Tia phõn giỏc của gúc A cắt đường trung tuyến BD tại K. 
Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh ba điểm I, K, C thẳng hàng.
15. Chứng minh trong tam giỏc cõn, trung điểm của cạnh đỏy cỏch đều hai cạnh bờn.
16. Cho tam giỏc ABC cõn tại A. CP, BQ là cỏc tia phõn giỏc trong của tam giỏc ABC (P 
AB, Q AC). Gọi O là giao điểm của CP và BQ.
a) Chứng minh tam giỏc OBC là tam giỏc cõn.
b) Chứng minh điểm O cỏch đều ba cạnh của tam giỏc ABC.
c) Chứng minh đường thẳng AO đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC và vuụng gúc với 
nú.
d) Chứng minh CP = BQ.
e) Tam giỏc APQ là tam giỏc gỡ? Vỡ sao
17. Chứng minh trong tam giỏc cõn, cỏc đường phõn giỏc ứng với cạnh bờn thỡ bằng 
nhau.
18. Cho xã Oy = 50°. Lấy cỏc điểm A Ox, B Oy. Cỏc tia phõn giỏc của xã AB và ãyBA cắt 
nhau ở E.
a) Tớnh số đo gúc AEB.
b) Cỏc đường AE, BE cắt phõn giỏc ngoài gúc xã Oy ở K, F. Biết Oã BA = 40°.Tớnh cỏc gúc của 
tam giỏc KEF. 19. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Kẻ AH vuụng gúc với BC (H BC).
Tia phõn giỏc của Hã AB cắt BC ở D.
a) Chứng minh tam giỏc ACD là tam giỏc cõn.
b) Cỏc tia phõn giỏc của Hã AC và ãAHC cắt nhau ở I. Chứng minh. CI đi qua trung điểm, của 
AD. Từ đú tớnh gúc ãAIC .
20. Tam giỏc ABC cú I là giao điểm cỏc tia phõn giỏc của cỏc gúc B và C. Gọi D là giao 
điểm của AI và BC. Kẻ IH vuụng gúc với BC (H BC). Chứng minh:
a) AD là tia phõn giỏc của àA ;
 Bà
b) Cã ID 90 
 2
 c) Bã IH Cã ID
21. Cho tam giỏc ABC cú I là giao điểm của ba đường phõn giỏc. Gọi H là chõn đường 
vuụng gúc kẻ từ B đến AI. Chứng minh:
a) Cỏc gúc IãCB và Bã IH là hai gúc phụ nhau;
b) IãBH ãACI
22*. Cho tam giỏc ABC đều. Qua B kẻ đường thẳng xy song song AC và hạ BM vuụng gúc 
với AC (M AC). Qua C kẻ đường thẳng x'y' song song AB và hạ CN vuụng gúc vúi AB (N 
AB). Hai đường thẳng xy và x'y' cắt nhau tại P. Chứng minh:
a) Đường phõn giỏc của àA và hai đường BM, CN đồng quy;
b) Đường phõn giỏc của àA và hai đường thẳng xy và x'y' đồng quy.
 HƯỚNG DẪN
1A. a) Ta cú Bà +Cà 2IãBC + 2IãCB 2(IãBC IãCB) 120
= àA 180 (Bà + Cà ) 180 120 60
Mà BI, CI lần lượt là tia phõn giỏc của Bà và Cà nờn I là giao điểm của ba đường phõn giỏc 
trong ABC. àA
=> AI là tia phõn giỏc của àA x = 30°.
 2
 b) Ta cú DEF cõn tại D => Fà Eà 2Hã EF 64 .
 Dã EF
=> FH là tia phõn giỏc của Dã FE x 32
 2
1B. Tương tự 1A.
a) x = 24°. b) x = 33°.
2A. a) I là giao điểm ba đường phõn giỏc của MLN. Do đú I cỏch đều ba cạnh của 
MLN => IP = IH.
b) Xột IKN vuụng tại K : IK IN 2 IK 2 5cm
=> IH = IK = 5 cm..
2B. a) Do KA vừa là đường cao vừa là
 trung tuyến nờn OKB cõn tại K.
Suy ra KA là phõn giỏc Oã KB . Vỡ H
nằm trờn tia phõn giỏc của xã Oy nờn
H cỏch đều Ox, Oy => AH = HI
b) Tớnh AH = 52 42 3cm 
Từ giả thiếp ta suy ra H là giao điểm 
của ba đường phõn giỏc trong OBK nờn H cỏch đều ba cạnh của tam giỏc đú.
Vậy khoảng cỏch từ điểm H đến BK bằng AH = 3cm
3A. a) Chứng minh được AMB = AMC (c.c.c).
Từ đú suy ra AM là tia phõn giỏc của gúc BAC.
b) Xột ABC cú AM, BD,CE là cỏc tia
 phõn giỏc. Từ tớnh chất ba đường phõn
 giỏc trong tam giỏc, suy ra ba đường 
thẳng AM,BD,CE đồng quy. 
3B. a) b) tương tự 3A.
c) Khi MNP là tam giỏc đều thỡ MN, KE, PF cũng là ba đường trung tuyến. 
 HM 2
Vậy H là trọng tõm, hay 
 MK 3
4A. Gọi F,H,G lần lượt là hỡnh chiếu 
vuụng gúc của điểm E xuống cỏc 
đường thẳng AB, AC và BC.
Từ giả thiết suy ra EF = EG 
và EH = EG.
=> EF = EH nờn E thuộc tia phõn 
giỏc của gúc BAC. Mà AD là tia
phõn giỏc của gúc BAC.
Vậy ba điểm A, D, E thẳng hàng.
4B. Tương tự 4A.
5A. I nằm trong tam giỏc và cỏch đều ba
cạnh của tam giỏc nờn MI là tia phõn 
giỏc của gúc M.
Do MNP cõn tại M nờn đường 
giỏc MI cũng là đường trưng tuyến. 
G là trọng tõm của MNP nờn G 
nằm trờn MI. Từ đú, suy ra M,G, I
thẳng hàng.
5B. Tương tự 5A
6A. Hạ MD  AB, ME  AC.
Vỡ AM là tia phõn giỏc của àA nờn MD = ME.
Do đú BDM = CEM (ch-cgv).
Suy ra Bà Cà . Vậy ABC cõn tại A.
6B. Tương tự 6A.
Chứng minh ABH = ACH (g.c.g)
=> ABC cõn tại A.
7A. a) Xột ABC, ta tớnh được Bà Cà = 110°.
Do đú, IãBC IãCB = 55°.
Vậy Bã IC = 180° - 55° = 125°.
b) Xột BIC, từ giả thiết suy ra
 IãBC IãCB = 40°. Do đú, ta cú:
 ãABC ãACB = 80°.
Vậy Bã AC = 100°.
c) Ta cú: = Bã IC 180 - (IãBC IãCB)
 Bà Cà 180 àA
=180 - 180 - 
 2 2
 àA àA
 180 - 90 - 90 + 
 2 2
7B. Tương tự 7A.
a) Dà = 40°.
b) Eã IF 115; IãPF 8230'; IãFP 3230' ; Eã IF 115
8A. a) Từ giả thiết, ta tớnh được:
 Bã AC 60
 Bã AC
 Dã AC 30 Dã AB
 2
 => ãADH Dã AC Cà 80
Do đú, xột AHD ta tớnh được Hã AD 10
Cú thể tớnh Bã AH = 90° - 70° = 20°.
Vậy Hã DA = 30°- 20° = 10°
b) Hã AD = 90° - Hã DA
 àA 180 àA 2Cà Bà Cà
 90 - Cà 
= 
 2 2 2
8B. Tương tự 8A.
9. Tương tự 1A.
a) x = 19°. b) x = 33°; y = 24°.
10. a) BHI = BKI (ch-gn) Do đú, BH = BK = 2cm.
 àA
b) AI là tia phõn giỏc của gúc A nờn Hã AI 45
 2
Do đú, AHI là tam giỏc vuụng cõn.
c) Ta cú IH = IK = IJ = 1cm. Từ đú, suy ra
AH = HI = lcm.
Tương tự ý b), ta cú AJ = KI = 1 cm.
 IKC = IJC (ch-gn)
=> IC = KC = 3cm.
 IBH = IBK (ch-gn) => BH = BK = 2cm.
Do đú, ta cú: AB = 3cm; AC = 4cm; BC = 5cm. 
Vậy chu vi tam giỏc ABC là 12cm.
 à ả
11. a) ABM cõn nờn A1 M1
 ả à
Cú AB // MP => M 2 A1 (so le trong).
 ả ả
 Vậy M 1 M 2 , nờn MA là tia phõn giỏc 
của Pã MB .
Tương tự, ACN cú NA là tia phõn giỏc