Chuyên đề ôn tập Hình học Lớp 7 - Chuyên đề III: Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác và các đường đồng quy trong tam giác - Chủ đề 7: Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng

 CHỦ ĐỀ 7. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG TRỰC
 CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa đường trung trực:
Đường trung trực của một đoạn 
thẳng là đường thẳng vuông góc
với đoạn thẳng ấy tại trung điểm 
của nó.
Trên hình vẽ bên, d là đường trung
 trực của đoạn thẳng AB. Ta cũng 
nói: A đối xứng B qua d.
2. Định lí 1: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của 
đoạn thẳng đó.
3. Định lí 2: Điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của 
đoạn thẳng đó.
MA = MB  M thuộc đường trung trực của AB. 
4. Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn 
thẳng đó.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Vận dụng tính chất của đường trung trực để giải quyết bài toán
Phương pháp giải: Sử dụng Định lí 1.
1A. Cho hai điểm A, B nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng MN, Chứng minh 
MAB = NAB.
1B. Cho ABC cân tại B. Lấy điểm D đối xứng với điểm B qua AC. Chứng minh ABD 
= CBD.
2A. Tam giác ABC vuông tại A có Cµ = 30°. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD 
= AC. Tính số đo góc B· DA.
2B. Tam giác ABC có điểm A thuộc đường trung trực của BC. 
Biết Bµ = 40°. Tính số đo của các góc trong ABC
3A. Tam giác DEF có DE < DF. Gọi d là đường trung trực của EF. M là giao điểm của d 
với DF. a) Chứng minh DM + ME = DF.
b) Lấy bất kì điểm P nằm trên đường thẳng d (P M). Chứng minh DP + PE > DF.
c) So sánh chu vi của hai tam giác DEM và DEP.
3B. Tam giác ABC có Bµ Cµ = 30°. Đường trung trực của BC cắt AC ở K.
a) Chứng minh K· BC ·KCB .
b) Tính số đo góc ·ABK
c) Biết AB = 3 cm, AC = 5 cm. Tính chu vi tam giác ABK.
4A. Cho tam giác ABC. Các đường trung trực của AB và AC cắt BC tại M và N.
a) Biết = Bµ 30°, Cµ = 45°. Tính số đo góc B· AC và M· AN .
b) Chứng minh M· AN = 2 B· AC - 180°. 
4B. Cho tam giác ABC cân có µA > 90°. Các đường trung trực của AB và AC cắt cạnh BC 
theo thứ tự ở D và E và hai trung trực cắt nhau ở F.
a) Biết µA = 110°. Tính số đo góc D· AE .
b) Chứng minh 2 B· AC = D· AE +180°.
c) Tính góc D· FE .
5A. Cho góc vuông x· Oy . Trên các tia Ox, Oy lấy hai điểm A và B (không trùng với O). 
Đường trưng trực của các đoạn thẳng OA và OB cắt nhau ở M. Chứng minh:
a) A, M, B thẳng hàng.
b) M là trung điểm của AB.
5B. Cho ABC vuông tại A. Đường trung trực của đoạn thẳng AC cắt AC tại H, cắt BC 
tại D. Nối A và D.
a) So sánh số đo góc D· AB và D· BA.
b) Chứng minh D là trung điểm của BC
Dạng 2. Chứng minh một điểm thuộc đường trung trực. Chứng minh một đường thẳng là 
đường trung trực của một đoạn thẳng
 Phương pháp giải:
 • Để chứng minh điểm M thuộc trung trực của đoạn thẳng AB, ta dùng Định lí 2 hoặc Định 
nghĩa đường trung trực.
• Để chứng minh đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB, ta chứng minh d chứa 
hai điểm cách đều A và B, hoặc dùng định nghĩa đường trung trực.
6A. Cho đoạn thẳng AB = 5 cm. Vẽ đường tròn tâm A bán kính 4 cm và đường tròn tâm 
B bán kính 3 cm. Hai đường tròn này cắt nhau tại D, E. Chứng minh: a) Điểm A thuộc đường trung trực của DE;
b) AB là đường trung trực của DE;
c) ·ADB = 90°.
6B. Cho đoạn thẳng AB. Dựng các tam giác cân MAB, NAB lần lượt tại M và N (M, N 
nằm khác phía so với AB). Chứng minh:
a) Điểm M thuộc đường trung trực của AB;
b) MN là đường trung trực của AB.
7A. Cho DEF có DE = DF. Lấy điểm K nằm trong tam giác sao cho KE = KF. Kẻ KP 
vuông góc với DE (P DE), KQ vuông góc với DF (Q DF). Chứng minh:
a) K thuộc đường trung trực của EF và PQ;
b) DK là đường trung trực của EF và PQ. Từ đó suy ra PQ//EF.
7B. Cho góc x· Oy khác góc bẹt Oz là tia phân giác của x· Oy . Gọi M là một điểm bất kì 
thuộc tia Oz. Qua M vẽ đường thẳng a vuông góc với Ox tại A, cắt Oy tại C và vẽ đường 
thẳng b vuông góc với Oy tại B, cắt Ox tại D. Chứng minh.:
a) Điểm O thuộc đường trung trực của AB;
b) OM là đường trung trực của AB;
c) Điểm M thuộc đường trung trực của CD
Dạng 3. Xác định vị trí của điểm thỏa mãn yêu cầu đề bài
Phương pháp giải: Sử dụng Định lí 2 để xác định một điểm nằm trên đường trung trực của 
đoạn thẳng.
8A. Cho hai điểm A, B nằm cùng phía với đường thẳng d. Xác định vị trí điểm M trên 
đường thẳng d sao cho M cách đều hai điểm A và B.
8B. Cho tam giác ABC. Một đường thẳng d đi qua A và không cắt đoạn thẳng BC. Tìm vị 
trí điểm D trên đường thẳng d sao cho D cách đều hai điểm B và C.
Dạng 4. Sử dụng tính chất đường trung trực vào bài toán về cực trị (tìm giá trị nhỏ nhất, 
giá trị lớn nhất)
Phương pháp giải:
• Sử dụng tính chất đường trung trực để thay đổi độ dài một đoạn thẳng bằng độ dài một 
đoạn thẳng khác bằng nó.
• Sử dụng bất đẳng thức tam giác để tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất.
9A. Hai điểm A, B cùng nằm trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d. Tìm vị trí điểm 
C trên đường thẳng d sao cho giá trị của tổng CA + CB là nhỏ nhất. 9B. Hai nhà máy được xây dựng tại hai địa điểm A và B cùng nằm về một phía của khúc 
sông thẳng. Tìm trên bờ sông một địa điểm C để xây trạm bơm sao cho tổng chiều dài đường 
ống dẫn nước từ C đến A và đến B là nhỏ nhất.
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
10. Cho góc x· Oy = 35°. Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B. Gọi C là điểm đối 
xứng với A qua Oy.
a) Chứng minh OAB = OCB.
b) Tính số đo góc ·AOC
11. Cho tam giác ABC vuông tại A có góc Cµ = 60°. Lấy điểm D đối xứng với điểm C qua 
AB.
a) Chứng minh BCD là tam giác đều.
b) Biết BC = 2 3 . Tính độ dài các cạnh AB, AC.
12. Cho ABC, đường phân giác AD. Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Chứng 
minh:
a) DB = DE;
b) AD là đường trung trực của BE.
13. Cho ABC cân tại A, M là trung điểm của BC. ME vuông góc với AB, MF vuông góc 
với AC. Chứng minh:
a) AM là trung trực của của BC;
b) ME = MF và AM là trung trực của EF;
c) EF// BC.
14. Cho tam giác ABC có AB < AC. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho CD = AB. Hai đường 
trung trực của BD và AC cắt nhau tại E. Chứng minh:
a) ABE = CDE;
b) Điểm E cách đều hai cạnh AB và AC.
15. Cho tam giác ABC cân tại A ( µA < 90°). Đường trung trực của cạnh AC cắt tia CB tại 
điểm D. Trên tia đối của tia AD lấy điểm E sao cho AE = BD. Chứng minh.:
a) Chứng minh ADC cân;
b) Chứng minh D· AC ·ABC ;
c) Chứng minh AD = CE; d) Lấy F là trung điểm của DE. Chứng minh CF là đường trung trực của DE.
16. Cho ABC nhọn, đường cao AH. Lấy các điểm P và Q lần lượt đối xứng với H qua 
AB; AC.
a) Chứng minh AP = AQ.
b) Cho B· AC = 60°. Tính số đo góc P· AQ
c) Gọi I , K lần lượt là giao điểm của PQ với AB, AC. Chứng minh ·API ·AHI và ·AHK ·AQK .
d) Chứng minh HA là tia phân giác của I·HK .
17. Cho x· Oy = 90°. Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B. Kẻ đường trung trực 
HM của đoạn thẳng OA (H OA, M AB). Chứng minh M thuộc đường trung trực của 
OB.
18. Cho tam giác ABC cố định, đường phân giác AI ( I BC ). Trên đoạn thẳng IC lấy 
điểm H. Từ H kẻ đường thẳng song song với AI, cắt AB kéo dài tại E và cắt AC tại F. Chứng 
minh:
a) Đường trung trực của EF luôn đi qua đỉnh A của tam giác ABC;
b) Khi H di động trên đoạn thẳng ỈC thì đường trung trực của đoạn thẳng EF luôn cố định.
19. Cho tam giác ABC có AB < AC. Xác định điểm D trên AC sao cho DA + DB = AC.
20. Cho góc x· Ay , B và C là hai điểm lần lượt thuộc hai tia Ax và Ay. Tìm một điểm M 
cách đều hai cạnh của góc và cách đều hai điểm B và C.
21. Cho bốn điểm A, B, C, D 
tạo thành hình có AB / / CD 
và BC//AD như hình vẽ.
Giao điểm của AC và BD
là O. Từ O vẽ vuông góc
với AC cắt cạnh BC, AD 
lần lượt tại M, N. Chứng minh AC là trung trực của MN và AM = MC = CN = NA
22. Cho ABC có AB = 10 cm, AC = 13 cm, Trên tia đối tia AC lấy điểm E sao cho AE = 
AB. Qua A kẻ đường thẳng d vuông góc với BE. M là điểm bất kì trên đường thẳng d.
a) Chứng minh MB + MC EC.
b) Tìm vị trí điểm M trên đường thẳng d sao cho MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất và cho biết 
giá trị đó là bao nhiêu. 23. Cho tam giác ABC. Tìm điểm E thuộc đường phân giác của góc ngoài tại đỉnh A sao 
cho tam giác EBC có chu vì nhỏ nhất.
24*. Cho điểm A nằm trong góc nhọn x· Oy .
a) Tìm hai điểm M, N thuộc Ox và Oy sao cho AM + AN là nhỏ nhất.
b) Tìm hai điểm B, C thuộc Ox và Oy sao cho ABC có chu vi nhỏ nhất
 HƯỚNG DẪN
1A. Do A, B nằm trên đường trung trực
của đoạn thẳng MN nên 
AM = AN, BM = BN.
Suy ra MAB = NAB (c.c.c).
1B. Tương tự 1A.
2A. AB là đường trung trực của AC
=> BD = BC => DBC cân tại B
=> B· DA Cµ 30
2B. Tương tự 2A
Tính được: ·ACB 40; B· AC 100
3A. Do DE < DF nên M thuộc cạnh DF.
a) Có M thuộc đường trung trực của
 EF nên ME = MF
=> DM + ME = DM + MF = DF.
b) Vì P thuộc đường trung trực của
EF nên PE = PF =>DP + PE = DP + PF.
Xét DEF: DP + PF > DF.
Vậy DE + PE > DF.
c) Từ ý a) và ý b) suy ra DP + PE > DM + ME. Vậy chu vi tam giác DEP lớn hơn chu vi tam giác DEM.
3B. Do Bµ Cµ nên AC > AB và K thuộc cạnh AC.
a) K thuộc đường trung trực của BC => KB = KC
=> BKC cân tại K => K· BC K· CB
b) Ta có:
 ·ABK ·ABC K· BC ·ABC Cµ 30
c) Ta có:
AK + BK = AK + KC = AC = 5cm.
=> AB + AK + BK= 3 + 5 = 8 cm.
Vậy chu vi tam giác ABK là 8 cm
4A. a) Từ giả thiết suy ra AB > AC và M nằm giữa B và N. 
Ta có MA = MB, NA = NC.
 µ µ
 B A1 30
 . Nên AN  BC
 µ ¶
 C A2 45
Xét ABC: µA = 105°.
Vậy M· AN 90 ·ABN B· AM 30
 · µ µ ¶ µ µ µ µ µ
b) Có: MAN A (A1 A2 ) A (B C) A (180 A)
Vậy M· AN 2µA 180
4B. Tương tự 4A. Có
 D· AE 40 và D· FE 70
5A. a) Gọi M1,M2 lần lượt là
 giao điểm của trung trực 
đoạn OA,OB với AB.
 µ µ
M1A = M1O nên A O1 
 µ ¶
M2O = M2B nên B O2 .
 µ ¶ µ µ ·
=> O1 O2 A B 90 M1OM 2 0 M1  M 2  M
Vậy A, B, M thẳng hàng. b) Từ kết quả ý a) và MA = MB nên M là trung điểm của AB.
 µ µ
5B. a) Từ giả thiết suy ra DC = DA => C A1
 ¶A µA 90
 2 1 ¶ µ
 A2 B
 µ µ
 B C 90
 ¶ µ
b) A2 B => DA = DB.
Mà DC = DA => DC = DB.
=> ĐPCM
6A. a) Từ giả thiết suy ra AD = AE.
Suy ra điểm A thuộc đường trung 
trực của DE.
b) Tương tự ý a), ta có điểm điểm B
 thuộc đường trung trực của DE.
Vậy AB là đường trung trực của DE.
c) Ta có AD2 + DB2 = 42 + 32 = 25.
Mà AB2 = 25.
Vậy ABD vuông tại D.
6B. Tương tự 6A.
 DE DF
7A. a) Ta có: nên K, D thuộc
 KE KF
trung trực của EF.
 DEK = DFK (c.c.c)
 ¶ ¶
=> D1 D2 => DK là đường phân
giác góc D· EF .
=> DPK = DQK 
=> KP = KQ và DP = DQ.
Từ đó suy ra K, D thuộc trung trực của PQ. b) Từ ý a) ta có DK là đường trung trực của PQ và DK là đường trung trực của EF. Suy ra 
DK  PQ, DK  EF.
Vậy PQ // EF.
7B. a) OAM = OEM (ch-gn) 
 OA OB
 MA MB
=> O thuộc trung trực của AB.
b) Từ ý a) ta có OM là trung trực 
của AB.
 OBD = OAC (cgv-gn)
Tương tự 7A, ta có OM là trung
 trực của DC.
8A. Vì điểm M cách đều hai điểm A
 và B nên M thuộc đường trung
trực của đoạn thẳng AB.
Vậy điểm M là giao điểm của
đường thẳng d với đường trung
 trực của AB.
Chú ý: Nếu A, B nằm sao cho 
AB  d thì không tồn tại điểm cần tìm.
8B. Tương tự 8A.
9A. Lấy D là điểm đối xứng, với A
 qua d. Theo tính chất đường trung
 trực: CA = CD.
Do đó CA + CB = CD + CB.
Gọi M là giao điểm của BD và d.
Nếu C không trùng với M thì xét
 BCD, ta có: CB + CD > BD hay 
CA + CB > BD (1). Nếu C trùng với M thì:
CA + CB = MA + MB = MD + MB = BD (2).
So sánh (1) và (2) ta thấy điểm C trùng M hay C là giao điểm của BD và d thì giá trị của tổng 
CA + CB là nhỏ nhất.
Chú ý: Điểm C tìm được ở vị trí M như vậy là điểm duy nhất. Thật vậy, nếu lấy E đối xứng 
với B qua d thì AE vẫn cắt d ở M đúng vị trí mà BD cắt d.
9B. Tương tự 9A.
10. a) Từ giả thiết suy ra OB là đường
 trung trực của AC.
=> OA = OC, BA = BC.
=> OAB = OCB (c .c .c). 
b) Từ ý a) suy ra:
 ·AOB B· OC 35 ·AOC 70
11. a) Có AB là đường trung trực của 
CD nên BD = BC
=> BCD cân có Cµ = 60° 
=> BCD đều. 
b) BCD đều
 CD
=> CD = BC = 2 3 CA 3
 2
Xét ABC vuông tại A, ta có:
AB = BC 2 AC 2 = 3
12. ABD = AED (c.g.c)
=> DB = DE (1).
b) Theo giả thiết: AB = AE (2).