Củng cố và ôn luyện Đại số Lớp 7 - Tập 1

 Củng cố và ôn luyện Đại tập 1, Nguyễn Phúc 
 PHẦN A. ĐẠI SỐ
 CHUYÊN ĐỀ I. SỐ HỮU TỈ. SỐ THỰC
 CHỦ ĐỀ 1. TẬP HỢP Q CÁC SỐ HỮU TỈ
 I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
 a
 1. Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số với a,b Z, b 0. Tập hợp 
 b
số hữu tỉ được kí hiệu là Q.
 2. Bất kì số hữu tỉ nào cũng có thể biểu diễn trên trục số dưới dạng phân số có 
mẫu dương.
 Trên trục số, điểm biểu diễn số hữu tỉ x được gọi là điểm x.
 3. Với hai số hữu tỉ x, y ta luôn có hoặc x = y, hoặc x y. Ta có thể so 
sánh hai số hữu tỉ bằng cách viết chúng dưới dạng phân số rồi so sánh hai phân số đó:
 - Nếu x < y thì trên trục số, điểm x ở bên trái điểm y;
 - Số hữu tỉ lớn hơn 0 được gọi là số hữu tỉ dương;
 - Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 được gọi là số hữu tỉ âm;
 - Số 0 không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm
 II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
 Dạng 1. Nhận biết quan hệ giữa các tập hợp số
 Phương pháp giải: Sử dụng các kí hiệu , , , N, Z,Q để biểu diễn mối 
quan hệ giữa số và tập hợp hoặc giữa các tập hợp với nhau.
 1A. Điền kí hiệu thích hợp ( , , , N, Z,Q) vào ô trống
 6 N; - 4 N; - 9 Z; - 2 Q;
 2 Z; 3 Q; Z N; N Z Q.
 3 5
 1 3
 ; Z  ; Z  .
 3 4
 1B. Điền kí hiệu thích hợp ( , , , N, Z,Q) vào ô trống
 2 N; 1 Q; - 11 Z; 1 Q.
 4
 2 Z; 1 N; 1 Z; Z Q.
 3 3 6
 1 4
 ; Q  .
 2 5
 Dạng 2. Biểu diễn số hữu tỉ 
 Phương pháp giải:
 a
 - Số hữu tỉ thường được biểu diễn dưới dạng phân số với a,b Z, b ≠ 0.
 b
 - Khi biểu biễn số hữu tỉ trên trục số, ta thường viết số đó dưới dạng phân số 
có mẫu dương tối giản nhất. Khi đó mẫu của phân số sẽ cho ta biết đoạn thẳng đơn 
vị được chia thành bao nhiêu phần bằng nhau.
 - Số hữu tỉ âm sẽ nằm bên trái điểm 0 và cách điểm 0 một khoảng bằng giá trị 
tuyệt đối của số hữu tỉ đó, tương tự với số hữu tỉ dương.
 5 2 3
 2A. a) Biểu diễn các số hữu tỉ sau trên trục số: ; ;
 2 3 4
 6 4 4 20 2
 b) Cho các phân số sau: ; ; ; .Những phân số nào biểu diễn số hữu tỉ ?
 15 12 10 8 5
 1 Củng cố và ôn luyện Đại tập 1, Nguyễn Phúc 
 3 1 1
 2B. a) Biểu diễn các số hữu tỉ sau trên trục số: ; ;
 2 3 4
 9 14 4 12 2
 b) Cho các phân số sau: ; ; ; Những phân số nào biểu diễn số hữu tỉ ?
 6 21 6 20 3
 Dạng 3. Tìm điền kiện để số hữu tỉ âm hoặc dương 
 Phương pháp giải:
 - Số hữu tỉ a là số hữu tỉ dương khi a, b cùng dấu.
 b
 - Số hữu tỉ a là số hữu tỉ âm khi a,b khác dấu.
 b
 2a 1
 3A. Cho số hữu tỉ x Với giá trị nào của a thì:
 2
 a) x là số dương; b) x là số âm;
 c) x không là số dương cũng không là số âm.
 3a 2
 3B. Cho số hữu tỉ . Với giá trị nào của a thì:
 4
 a) x là số dương; b) x là số âm;
 c) x không là số dương cũng không là số âm.
 Dạng 4. So sánh hai số hữu tỉ
 Phương pháp giải: Để so sánh hai số hữu tỉ ta thường thực hiện các bước sau:
 Bước 1. Viết số hữu tỉ dưới dạng phân số có mẫu dương;
 Bước 2. Đưa các phân số ở bước 1 về cùng mẫu số (qui đồng);
 Bước 3. So sánh các tử của các phân số ở bước 2, phân số nào có tử lớn hơn 
thì sẽ lớn hơn.
 Lưu ý: Ngoài phương pháp so sánh hai phân số theo cách trên, ta có thể sử 
dụng linh hoạt các phương pháp khác như: So sánh trung gian, so sánh phần bù, so 
sánh hai phân số có cùng tử số...
 4A. So sánh các số hữu tỉ sau:
 a) 2 và 1 ; b) 11 và 8 ;
 7 5 6 9
 c) 2017 và 2017 ; d) 249 và 83 .
 2016 2018 333 111
 4B. So sánh các số hữu tỉ sau:
 a) 2 và 1 ; b) 9 và 11 ; 
 5 3 5 6
 c) 34 và 35 ; d) 30 và 6 .
 35 34 55 11
 III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
 5. Điền kí hiệu thích hợp ( , ,  )vào ô trống
 -5 N; 4 Q; - 2 Z; 2 Z.
 3 5
 1 4 2
 Z; Q; N; N Q.
 3 7 9
 6. Điền các kí hiệu thích hợp N,Z,Q vào ô trống (điền tất cả các khả năng có thể):
 2
 5 ; 12 ; ; N  ;
 5
2 Củng cố và ôn luyện Đại tập 1, Nguyễn Phúc 
 3 2
 Z  -2 1 
 7 5
 21 14 42 35 5 28
 7. Cho các phân số ; ; ; ; ; . Những phân số nào biểu diễn 
 27 19 54 45 7 36
số hữu tỉ 7 ?
 9
 8. So sánh các số hữu tỉ sau:
 7 11 2 3
 a) và ; b) và ;
 8 12 15 20
 c) 17 và 2 ; d) 9 và 27 .
 16 3 21 63
 2a 5
 9. Cho số hữu tỉ x . Với giá trị nào của a thì:
 2
 a) x là số dương; b) x là số âm;
 c) x không là số dương và cũng không là số âm.
 a c
 10. Cho hai số hữu tỉ và ( a,b,c, d Z, b > 0, d > 0). Chứng minh ad < bc 
 b d
khi và chỉ khi a < c
 b d
 a 4
 11*. Cho số hữu tỉ x ( a ≠ 0). Với giá trị nào của a thì x đều là số 
 a
nguyên?
 a c a xa yc c
 12*. Cho x, y, b,d N*. Chứng minh nếu < thì < < .
 b d b xb yd d
 HƯỚNG DẪN
 1A. 6 N - 4 N -9 Z - 2 Q
 2 3
 N Q Z  N N  Z  Q
 3 5
 1 3 3
 N; Z Q Z  Q Z  N
 3 5 4
 1B. Tương tự 1A
 1 1
 Lưu ý: N; Z Q  N;Q  Z
 2 2
 6 4
 2A. a) Học sinh tự vẽ biểu diễn b) ;
 15 10
 2B. Tương tự 2A
 14 4
 a) Học sinh tự vẽ b) ;
 21 6
 2a 1 1
 3A. a) Để x là số dương thì 0 .Từ đó tìm được a 
 2 2
 2a 1 1
 b) Để x là số âm thì 0 .Từ đó tìm được a 
 2 2
 1
 c) x = 0. Ta tìm được a 
 2
 3 Củng cố và ôn luyện Đại tập 1, Nguyễn Phúc 
 3B. Tương tự 2A
 2 2 2
 a) a b) a c) a 
 3 3 3
 2 10 1 7 2 1
 4A. a) ta có ; nên 
 7 35 5 35 7 5
 11 33 8 16 11 8
 b) ; nên 
 6 18 9 18 6 9
 2017 2017 2017 2017
 c) Ta có 1 và 1 nên 
 2016 2018 2016 2018
 249 83
 d) 
 333 111
 4B. Tương tự 4A
 2 1 9 11 34 35 30 6
 a) a ) ; b) ; c) ; d ) 
 5 3 5 6 35 34 55 11
 5. Tương tự 1A.
 6. Tương tự 1A.
 Lưu ý: 5 Z; 5 Q; N  Z; N  Q;
 3 3 2 2
 Z; N;1 N;1 Z
 7 7 5 5
 21 35 28
 7. Tương tự 2A. ; ;
 27 45 36
 8. Tương tự 4A. 
 7 11 2 3 17 2 9 27
 a) b) c) d) 
 8 12 15 20 16 3 21 63
 9. Tương tự 3A. 
 5 5 5
 a) a b) a c) a 
 2 2 2
 ad bc a c
 10. Nếu ad 
 bd bd b d
 a c a c
 Ngược lại nếu .bd .bd ad bc
 b d b d
 a 4 4
 11*. x 1 . Để x là số nguyên thì 4a a { 1; 2 4}
 a a
 a c
 12*. Ta có : => ad ady ady + abx < bcy + abx 
 b d
 a xa yc
 => a ( bx + dy) < (1)
 b xb yd
 a c
 Ta có: => ad adx adx + cdy < bcx + cdy
 b d
 xa yc c
 => d ( ax + cy) (2)
 xb yd d
 a xa yc c
 Từ (1) và (2) suy ra 
 b xb yd d
4 Củng cố và ôn luyện Đại tập 1, Nguyễn Phúc 
 CHỦ ĐỀ 2. CỘNG, TRỪ SỐ HỮU TỈ
 I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
 1. Cộng, trừ hai số hữu tỉ
 - Ta có thể cộng, trừ hai số hữu tỉ x, y bằng cách viết chúng dưới dạng hai 
phân số có cùng mẫu dương rồi áp dụng quy tắc cộng, trừ phân số;
 - Phép cộng số hữu tỉ có các tính chất của phép cộng phân số: giao hoán, kết 
hợp, cộng với 0, cộng với số đối.
 2. Quy tắc "chuyển vế"
 Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi 
dấu số hạng đó dấu "+" thành dấu và dấu thành dấu “-” thành dấu “+”
 3. Chú ý
 Trong Q ta cũng có những tổng đại số, trong đó có thể đổi chỗ các số hạng, 
đặt dấu ngoặc để nhóm các số hạng một cách tùy ý như các tổng đại số trong Z.
 Với x, y, z Q thì: x- (y - z) = x - y + z; x - y + z = x - (y - z).
 II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
 Dạng 1. Cộng, trừ hai số hữu tỉ
 Phương pháp giải: Để cộng, trừ hai số hữu tỉ ta thực hiện các bước sau:
 Bước 1. Viết hai số hữu tỉ dưới dạng hai phân số cùng một mẫu dương;
 Bước 2. Cộng, trừ hai tử, mẫu chung giữ nguyên;
 Bước 3. Rút gọn kết quả (nếu có thể)
 1A. Tính
 1 1 1 5
 a) ; b) ;
 21 14 9 12
 14 7 
 c) 0,6 ; d) 4,5 .
 20 5 
 1B. Tính:
 1 1 1 3
 a) ; b) ;
 16 24 8 20
 18 1 
 c) 0,4 ; d) 6,5 .
 10 5 
 Dạng 2. Viết một số hữu tỉ dưới dạng tổng hoặc hiệu của hai số hữu tỉ
 Phương pháp giải: Để viết một số hữu tỉ dưới dạng tổng hoặc hiệu của hai số 
hữu tỉ ta thường thực hiện các bước sau
 Bước 1. Viết số hữu tỉ dưới dạng phân số có mẫu dương
 Bước 2. Viết tử của phân số thành tổng hoặc thành, hiệu của hai số nguyên;
 Bước 3. "Tách" ra hai phân số có tử là các số nguyên tìm được;
 Bước 4. Rút gọn phân số (nếu có thể).
 2A. a) Tìm ba cách viết số hữu tỉ 4 dưới dạng tổng của hai số hữu tỉ âm.
 15
 b) Tìm ba cách viết số hữu tỉ 4 dưới dạng hiệu của hai số hữu tỉ dương
 15
 2B. a) Tìm ba cách viết số hữu tỉ 7 dưới dạng tổng của hai số hữu tỉ âm
 12
 5 Củng cố và ôn luyện Đại tập 1, Nguyễn Phúc 
 b) Tìm ba cách viết số hữu tỉ 7 dưới dạng hiệu của hai số hữu tỉ dương
 12
 Dạng 3. Tính tổng hoặc hiệu của nhiều số hữu tỉ 
 Phương pháp giải: Để tính tổng hoặc hiệu của nhiều số hữu tỉ ta thực hiện 
đúng thứ tự phép tính đối với biểu thức có ngoặc hoặc không ngoặc. Sử dụng các 
tính chất của phép cộng số hữu tỉ để tính hợp lí (nếu có thể)
 3A. Thực hiện phép tính ( hợp lí nếu có thê):
 1 5 4 24 19 2 20 
 a) ; b) .
 12 6 3 11 13 11 13 
 3B. Thực hiện phép tính (hợp lí nếu có thể):
 3 3 5 25 9 12 25 
 a) ; b) . 
 16 8 4 13 17 13 17 
 Dạng 4. Tính tổng dãy số có quy luật
 Phương pháp giải: Để tính tổng dãy số có quy luật ta cần tìm ra tính chất đặc 
trưng của từng số hạng trong tổng, từ đó biến đổi và thực hiện phép tính
 1 1 1 1 1 1
 4A. a) Tính A ; B ;C 
 2 3 3 4 4 5
 b) Tính A + B và A + B + C.
 c) Tính nhanh: 
 1 1 1 1
 D ... 
 2.3 3.4 4.5 19.20
 1 1 1 1 1 1
 E ... 
 99 99.98 98.97 97.96 3.2 2.1
 1 1 1 1 1
 4B. a) Tính M = 1 ; N ; P 
 3 3 5 5 7
 b) Tính M + N và M + N + P.
 c) Tính nhanh:
 1 1 1 1
 E ... ;
 1.3 3.5 5.7 19.21
 1 1 1 1 1 1
 F ... 
 99 99.97 97.95 95.93 5.3 3.1
 Dạng 5: Tìm x
 Phương pháp giải: Ta sử dụng quy tắc "chuyển vế" biến đổi hạng tự do sang 
một vế, số hạng chứa x sang một vế khác.
 5A. Tìm x, biết
 16 4 3 1 8 1
 a) x ; b) x .
 5 5 10 20 5 10
 5B. Tìm x, biết:
 1 5 1 1 3 1
 a) x ; b) x .
 3 6 4 10 25 50
 III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
 6. Tính:
 1 1 1 1 1 1 
 a) ; b) ;
 2 3 10 12 6 4 
6 Củng cố và ôn luyện Đại tập 1, Nguyễn Phúc 
 1 1 1 1 2 4 1 
 c) ; d) .
 2 3 23 6 5 5 2 
7. a) Tìm ba cách viết số hữu tỉ 11 dưới dạng tổng của hai số hữu tỉ âm.
 25
b) Tìm ba cách viết số hữu tỉ 11 dưới dạng tổng của hai số hữu tỉ dương.
 25
8. Tìm x, biết:
 1 2 1 7 5 12
 a) x ; b) x ;
 3 5 3 4 3 5
 17 3 5 1 9 2 7 5
 c) x ; d) x .
 2 7 3 3 2 3 4 4
9*. Tính nhanh;
 1 3 5 7 9 11 13 11 9 7 5 3 1
a)A ;
 3 5 7 9 11 13 15 13 11 9 7 5 3
 1 1 1 1 1
b)B ... .
 9.10 8.9 7.8 2.3 1.2
 HƯỚNG DẪN
1A. a) 
 1 1 2 3 5
1A. a) 
 21 14 42 42 42
 19 1 59
Tương tự b) c) d) 
 36 10 10
1B. Tương tự 1A
2A. Ta có thể viết thành các số như sau:
 4 1 1 4 1 7 4 2 2
 a) ; ; 
 15 15 5 15 30 30 15 15 15
 4 1 1 4 2 2 4 1 7
 b) ; ; 
 15 15 3 15 15 15 15 15 15
2B. Tương tự 2A
 2 20 32 54 9
3A. a) Ta thực hiện 
 24 24 24 24 4
 24 2 19 20 
b) Ta thực hiện ( 2) ( 3) 5
 11 11 13 13 
3B. Tương tự 3A
 a) 29 ; b) -3
 16
 1 1 1 1 1
4A. a) A ; B ;C b) A + B = ; A + B + C = 
 16 12 20 4 10
 1 1 1 1 1 1 1 1 9
 c) C ... C 
 2 3 3 4 19 20 2 20 20
 1 1 1 1 1 1 1 1 
 D ... 1 
 99 98 99 97 98 2 3 2 
 7 Củng cố và ôn luyện Đại tập 1, Nguyễn Phúc 
 2 97
 D 1 
 99 99
 4B. Tương tự 4A.
 2 2 2 4 6
 a) M ; N ; P b) M + N = ; M + N + P = 
 3 15 35 5 7
 10 16
 c) E ; F 
 21 33
 4 3 16 27 27
 5A. a) Ta thực hiện x x 
 5 10 5 10 10
 8 1 1 8 1 1 8 31
 b) x x x x 
 5 20 10 5 20 20 5 20
 5B. Tương tự 5A.
 1 1
 a) x b) x .
 4 5
 6. a) 1 b) 1 c) 24 d) 43
 15 2 23 30
 11 1 6 11 3 8 11 2 9
 7. a) ; 
 25 25 25 25 25 25 25 25 25
 11 4 13 11 1 12 11 3 97
 b) 
 25 25 25 25 25 25 25 2 50
 2 149 97 41
 8. a) x ; b) x ; c) x ; d) x ;
 5 60 14 6
 1 1 3 3 5 5 7 7 9 9 11 11 13
 9*. a) A 
 3 3 5 5 7 7 9 9 11 11 13 13 15
 13
 A . 
 15
 1 1 1 1 1 79
 c) Ta có B ... B 
 9.10 1.2 2.3 7.8 8.9 90
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
8 Củng cố và ôn luyện Đại tập 1, Nguyễn Phúc 
 CHỦ ĐỀ 3. NHÂN, CHIA SỐ HỮU TỈ
 I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
 1. Nhân, chia hai số hữu tỉ
 - Ta có thể nhân, chia hai số hữu tỉ bằng cách viết chúng dưới dạng phân số 
rồi áp dụng quy tắc nhân, chia phân số;
 - Phép nhân số hữu tỉ cũng có bốn tính chất: giao hoán, kết hợp, nhân với số 1, 
phân phối với phép cộng và phép trừ tương tự như phép nhân số nguyên;
 - Mỗi số hữu tỉ khác 0 đều có một số nghịch đảo.
 2. Tỉ số
 Thương của phép chia x cho y (với y ≠ 0) gọi là tỉ số của hai số x và y, kí hiệu 
là x hoặc x: y.
 y
 II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
 Dạng 1. Nhân, chia hai số hữu tỉ
 Phương pháp giải: Để nhân chia hai số hữu tỉ ta thực hiện các bước sau:
 Bước 1. Viết hai số hữu tỉ dưới dạng phân số;
 Bước 2. Áp dụng quy tắc nhân, chia phân số;
 Bước 3. Rút gọn kết quả (nếu có thể)
 1A. Thực hiện phép tính
 2 3 3
 a) 1,5. ; b) 1 . ;
 25 5 4
 15 21 1 1 
 c) : ; d) 2 : 1 .
 4 10 7 14 
 1B. Thực hiện phép tính:
 4 2 7
 a) 3,5. b) 1 .
 21 3 3
 5 3 2 4 
 c) : d) 8 : 2 
 2 4 5 5 
 Dạng 2. Viết một số hữu tỉ dưới dạng tích hoặc thương của hai số hữu tỉ
 Phương pháp giải: Để viết một số hữu tỉ dưới dạng tích hoặc thương của hai 
số hữu tỉ ta thực hiện các bước sau:
 Bước 1. Viết số hữu tỉ dưới dạng phân số (PS có thể không tối giản); 
 Bước 2. Viết tử và mẫu của phân số dưới dạng tích của hai số nguyên;
 Bước 3. "Tách" ra hai phân số có tử và mẫu là các số nguyên vừa tìm được;
 Bước 4. Lập tích hoặc thương của các phân số đó.
 2A. Viết số hữu tỉ 25 dưới các dạng:
 16
 a) Tích của hai số hữu tỉ có một thừa số là 5 ;
 12
 b) Thương của hai số hữu tỉ, trong đó số bị chia là 4 .
 5
 2B. Viết số hữu tỉ 3 dưới dạng:
 35
 9 Củng cố và ôn luyện Đại tập 1, Nguyễn Phúc 
 a) Tích của hai số hữu tỉ có một thừa số là 5 ;
 7
 b) Thương của hai số hữu tỉ, trong đó số bị chia là 2 .
 5
 Dạng 3. Thực hiện các phép tính với nhiều số hữu tỉ
 Phương pháp giải:
 - Sử dụng đúng bốn phép tính của số hữu tỉ;
 - Sử dụng các tính chất của các phép tính để tính hợp lí (nếu có thể);
 - Chú ý dấu của kết quả và rút gọn.
 3A. Thực hiện phép tính (hợp lí nếu có thể)
 4 5 7 2 4 3 4
 a) ( 0,25). . 3 . ; b) . . ;
 17 21 23 5 15 10 15
 3 3 1 5 2 3 4 11 3
 c) 21 3 : ; d) : : .
 4 8 6 6 5 8 5 30 8
 3B. Thực hiện phép tính (hợp lí nếu có thể)
 3 5 4 3 5 5 5
 a) ( 0,35). . 3 . ; b) . . ;
 14 7 21 7 11 14 11
 1 4 1 3 2 3 3 1 3
 c) 15 2 : ; d) : : .
 3 9 6 4 5 7 5 4 7
 Dạng 4. Tìm x
 Phương pháp giải: Sử dụng quy tắc "chuyển vế" biến đổi số hạng tự do sang 
một vế, số hạng chứa x sang một vế khác. Sau đó, sử dụng các tính chất của phép 
tính nhân, chia các số hữu tỉ.
 4A. Tìm x biết:
 4 5 3 4 5 1
 a) x ; b) : x ;
 5 2 10 3 8 12
 1 2 3 9 3 
 c) x . x 0 ; d) x . 1,5 : x 0 .
 3 5 4 16 5 
 4B. Tìm x, biết:
 2 5 4 2 7 5
 a) x ; b) : x ;
 5 6 15 3 4 6
 5 5 1 8 7 
 c) x . x 0; d) x . 2,5 : x 0.
 3 4 3 13 5 
 Dạng 5. Tìm điều kiện để số hữu tỉ có giá trị nguyên
 Phương pháp giải: Tìm điều kiện để số hữu tỉ có giá trị nguyên ta thực hiện 
các bước sau:
 Bước 1. Tách số hữu tỉ về dạng tổng hoặc hiệu giữa một số nguyên và một 
phân số (tử không còn x);
 Bước 2. Lập luận, tìm điều kiện để phân số đó có giá trị nguyên. Từ đó dẫn 
đến số hữu tỉ có giá trị nguyên
 3x 2 x2 3x 7
 5A. Cho A và B 
 x 3 x 3
 a) Tính A khi x = l; x = 2; x = 5
 2
 b) Tìm x Z để A là số nguyên.
10