Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2020-2021

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 
NĂM HỌC 2020 - 2021
Môn: Toán– Lớp 7
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề bài:
Câu 1: ( 4 điểm). Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A = 
b) B = 
c) C = 
Câu 2:(4 điểm) 
a) Một mảnh đất hình tam giác có độ dài 3 cạnh lần lượt là 3(m); 4(m); 6(m) và đường cao tương ứng là ha (m); hb (m); hc (m). 
Tính diện tích mảnh đất biết: ha – hb + hc = 25 (m).
b) BiÕt . Chøng minh r»ng: 
c) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y = 6
Câu 3: (4 điểm) 
Tìm x, biết: 5 x + 5 x+ 2 = 650
b. Tìm x, biết: 
c.Tìm x, y, z biết: 3x = 2y ; 4y = 5z và - x - y + z = - 52 . 
Câu 4: (6 điểm) Cho DABC có góc A nhọn. Phía ngoài DABC vẽ DBAD vuông cân tại A, DCAE vuông cân tại A. Chứng minh:
	a/ DC = BE; DC ^ BE 	
	b/ BD2 + CE2 = BC2 + DE2
	c/ Đường thẳng qua A vuông góc với DE cắt BC tại K. Chứng minh K là trung điểm của BC.
Câu 5: (2,0 điểm) 
	1) Cho DABC nhọn với BAC = 600. Chứng minh rằng:
 	 BC2 = AB2 + AC2 – AB.AC
2) Cho m, n N và p là số nguyên tố thoả mãn: = .
Chứng minh rằng : p2 = n + 2.
-Hết-
Họ và tên : Lớp................................SBD.......................
Câu
Đáp án
Điểm
1
(4đ)
a) A= = 
 = 	
 = 	
b) 
 = 
C = 
 = = 
	 = = 
	 = = 
 0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
0,5
0,5
0,25
2
(4đ)
Theo bài ra ta có: 12.3.ha = 12.4.hb = 12.6.hc (=SABC)
ó
b) =
 = 
Suy ra:
Từ (1), (2) và (3) suy ra: 
c) x( y + 3) – ( y +3) = 3
 (x -1)( y + 3) = 3
 Các cặp ( x;y) là: ( 2;0), ( 0;-6), ( 4;-2), (-2;-4)
0,5
0,25
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
3
a) Ta có: 5 x + 5 x+ 2 = 650
 5x(1+52) = 650
 5x.26 = 650
 5x = 25=52
 x = 2
b) 
 4-132x+1=72:2122
 132x+1=4-113
 132x+1=13
 2x+1=1
Suy ra 2x+1=-1 hoặc 2x+1 =1
 x = -1 hoặc x = 0
Vậy x = -1 và x = 0
c) Từ 3x = 2y => 15x = 10y => x10=y15; 
 từ 4y = 5z => 12y = 15z => y15=z12
=>x10=y15=z12=-x-y+z-10-15+12=-52-13=4
=> x = 40; y = 60; z = 48.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,5
0,25
0,25
4
(6đ)
Hình vẽ
a) Chứng minh DABE = DADC (c.g.c) 
Þ DC = BE
=> ABE=ADC mà BA ^ DA => DC ^ BE 
b) Gọi M là giao điểm của BE và DC
Áp dụng định lí Pyta go vào các tam giác vuông MCE, MBD, MDE và BMC ta được :
CE2 = ME2 + MC2; DB2 = MD2 + MB2 ; DE2 = MD2 + ME2;
BC2 = MB2 + MC2
Þ BD2 + CE2 = MD2 + MB2 + ME2 + MC2; 
Þ BD2 + CE2 = BC2 + DE2
c) Trên tia AK lấy điểm P sao cho AP = DE
AED=CAP(góc có cạnh tương ứng vuông góc)
AE = AC(gt)
=> DADE = DCPA (c.g.c) Þ CP = AD Þ CP = AB
P= BAKcùng bằng ADE=>CP//AB=>B=PCK(soletrong) 
Þ DCPK = DBAK (g.c.g) Þ BK = KC Þ đpcm
 0,75
 0,5
 0,75
 1
 0,5
 0,5
 1
0,5
0,5
5
(2đ)
Hình vẽ
1)
Kẻ BH ^ AC
Vì BAC=600=> ABH=300=>AH=AB2 (1) 
Áp dụng định lý Pitago ta có:
AB2=AH2+BH2 và BC2 = BH2 + HC2 
Þ BC2 = AB2 – AH2 + HC2Þ BC2 = AB2 – AH2 + (AC – AH)2 
Þ BC2 = AB2 – AH2 + AC2 – 2AC.AH + AH2
Þ BC2 = AB2 + AC2 – 2AC.AH (2)
Từ (1) & (2) Þ BC2 = AB2 + AC2 – AB.AC
0,25
0,25
0,25
0,25
2)
 = => p2 = (m – 1)(m+n) (*)
Vì p là số nguyên tố nên p2 ⋮ 1; p2 ⋮ p và p2 ⋮ p2 
Với m – 1 =1 và m+n=p2=> m = 2 thay vào (*) suy ra p2 = n+2
Với m – 1 = p và m+n=p => n=-1(vô lí vì n là số tự nhiên)
Với m-1=p2 và m+n=1 suy ra n=-p2 (vô lí vì n là số tự nhiên)
Vậy p2 = n+2
0,25
0,25
0,25
0,25