Đề thi giao lưu học sinh giỏi môn Toán 7 (Có đáp án) - Năm học 2016-2017 - Phòng giáo dục và đào tạo Tam Dương

PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG
ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2016-2017 
MÔN: TOÁN 7
Câu 1. (2,0 điểm)
Tìm x biết 
Cho 
Tìm số nguyên dương x để 
Câu 2. (2,0 điểm)
Cho là các số thực thỏa mãn 
Tính giá trị của biểu thức 
Cho là các số thực thỏa mãn: và 
Tìm giá trị lớn nhất của 
Câu 3 (2,0 điểm)
Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức có giá trị nhỏ nhất
Cho đa thức (với k là số thực dương cho trước). Biết đa thức có đúng ba nghiệm phân biệt a, b, c với 
. Tính hiệu của 
Câu 4. (2,5 điểm)
	Cho đoạn thẳng BC cố định, M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Vẽ góc CBx sao cho , trên tia Bx lấy điểm A sao cho độ dài đoạn thẳng BM và BA tỉ lệ với 1 và . Lấy điểm D bất kỳ thuộc đoạn thẳng BM. Gọi H và I lần lượt là hình chiếu của B và C trên đường thẳng AD. Đường thẳng AM cắt CI tại N. Chứng minh rằng:
DN vuông góc với AC
có giá trị không đổi khi D di chuyển trên đoạn thẳng BM
Tia phân giác của góc HIC luôn đi qua một điểm cố định
Câu 5. (1,5 điểm)
Tìm các số nguyên tố p thỏa mãn là các số nguyên tố
Trong một bảng ô vuông gồm có ô vuông, người ta viết vào mỗi ô vuông chir một trong 3 số . Chứng minh rằng trong các tổng của 5 số theo mỗi cột, mỗi hàng, mỗi đường chéo phải có ít nhất hai tổng số bằng nhau.
ĐÁP ÁN ĐỀ HSG TOÁN 7 TAM DƯƠNG 2016-2017
Câu 1
Điều kiện để x thỏa mãn bài toán là 
Khi đó nên (*) trở thành
(điều kiện 
Nếu ta có nên (thỏa mãn)
Nếu ta có nên (thỏa mãn)
Vậy 
Từ đó B = 115 khi 
Mà là số nguyên dương nên x và x+3 là ước dương của 460 nên 
Vậy x=20
Câu 2.
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
Khi đó ta có 
Khi đó ta có 
Vậy với x, y, z là các số thực thỏa mãn
Thì giá trị của biểu thức là 1008
Ta có: 
Nếu Khi đó 
Nếu . Khi đó 
Vậy giá trị lớn nhất của là 33
Câu 3.
M nhỏ nhất lớn nhất
Xét thì 
Xét thì 
lớn nhất khi nhỏ nhất . Mà nguyên, dương và chia 3 dư 2 nên 
Khi đó 
So sánh (1) và (2) thì có giá trị lớn nhất bằng 
Vậy 
Ta thấy đa thức nếu có nghiệm (a khác 0) thì cũng là một nghiệm của nên có 2m nghiệm
Mà đa thức có đúng ba nghiệm phân biệt nên một trong ba nghiệm sẽ bằng 0. Thay vào đa thức đã cho ta được: nên (vì k dương)
Với ta có 
Từ đó sẽ có 3 nghiệm phân biệt là nên 
Câu 4.
Từ M kẻ tia My vuông góc với BC và cắt tia Bx tại A’
Tam giác BMA’ vuông cân tại M nên 
Suy ra nên AM vuông góc với BC
Tam giác ADC có AM và CI là đường cao nên N là trực tâm của tam giác ADC. Suy ra DN vuông góc với AC
Ta có nên AB = AC và góc 
Tam giác ABC vuông cân tại A và có 
H, I là hình chiếu của B và C trên AD nên H=I=90
Suy ra 
(không đổi)
và vuông cân 
Mà là tia phân giác 
Vậy tia phân giác của luôn đi qua điểm M cố định 
Câu 5.
Với thì không là số nguyên tố
Với thì là số nguyên tố
Vơi thì p là số nguyên tố nên p lẻ nên 
Và nên 
Mà nên là hợp số
Vậy với thì là hợp số
Vậy với thì là số nguyên tố.
Ta có 5 cột, 5 hàng và 2 đường chéo nên sẽ có 12 tổng
Mỗi ô vuông chỉ nhận một trong 3 số 1;0 hoặc – 1 nên mỗi tổng chỉ nhận các giá trị từ - 5 đến 5. Ta có 11 số nguyên từ - 5 đến 5 là – 5; - 4 ; .;0;1; .5
Vậy theo nguyên lý Dirichle phải có ít nhất hai tổng bằng nhau (đpcm)