Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán 7 (Có đáp án) - Năm học 2017-2018 - Trường THCS Lý Thường Kiệt

TRƯỜNG THCS 
LÝ THƯỜNG KIỆT
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG 
NĂM HỌC 2017-2018
Môn: TOÁN 7
Bài 1. (4 điểm)
Rút gọn 
Tìm số tự nhiên thỏa mãn điều kiện:
Bài 2. (5 điểm)
Tìm các số biết: 
Chứng minh rằng không thể tìm được số nguyên thỏa mãn :
Bài 3. (3 điểm)
	Chứng minh rằng: chia hết cho 
Bài 4. (3 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
Bài 5. (5 điểm)
	Cho có 3 góc nhọn, Các tia phân giác của góc và góc cắt nhau tại O. Gọi là hình chiếu của trên BC; là hình chiếu của O trên Lấy điểm trên đoạn sao cho Gọi là giao điểm của và 
Chứng minh cân
Chứng minh 
Chứng minh 3 điểm thẳng hàng.
ĐÁP ÁN
Bài 1.
1.2) (1)
Đặt 
Đặt 
Khi đó 
Vậy từ (1) ta có: 
Vậy 
Bài 2.
Xét (vô lý)
Suy ra 
Khi đó từ đề suy ra :
Đặt thì 
Suy ra : và 
Thay vào (3) ta được:
Với 
Vậy 
2.2 Ta có: 
Với mọi số nguyên ta lại có 
Suy ra luôn là số chẵn với mọi số nguyên 
Từ đó ta có:là các số chẵn với mọi số nguyên 
Suy ra là một số chẵn với mọi số nguyên 
Hay là một số chẵn với mọi số nguyên 
Do đó, không thể tìm được số nguyên thỏa mãn:
	=2017
Bài 3.
Đặt (có số hạng)
 (có 20 nhóm)
chia hết cho 31
Vậy chia hết cho 
Bài 4.
Ta có: 
Ta thấy với mọi nên với mọi 
với mọi 
Khi đó với mọi 
Suy ra với mọi 
Hạy với mọi 
Dấu xảy ra khi 
Đặt ta được 
Mà nên 
Nếu 
Nếu 
Vậy 
Bài 5.
Chứng minh
Ta có vì 
Xét vuông và vuông có: chung; là phân giác 
Vậy (cạnh huyền – góc nhọn)
(hai cạnh tương ứng). Vậy cân tại C
Qua vẽ 
Ta có cân tại C (cmt)
Mà (đồng vị, 
Từ (1) và (2) hay , Vậy cân tại I
, mặt khác : nên 
Ta lại có : (so le trong , 
Xét và có: 
Vẽ tại E, Chứng minh được là tia phân giác của 
Chứng minh được 
Chứng minh được: 
Từ đó suy ra lầ tia phân giác của 
Từ (*) và (**) suy ra tia trùng nhau
Hay là ba điểm thẳng hàng.