Đề thi Olympic Lớp 7 năm học 2014-2015 môn Toán (Có đáp án) - Phòng giáo dục và đào tạo Thanh Oai

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO 
THANH OAI
ĐỀ CHÍNH THỨC 
ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 7
Năm học 2014-2015
Môn thi: Toán 
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (6,0 điểm) Tìm x biết 
Câu 2. (4,0 điểm)
Chứng minh rằng đa thức vô nghiệm
Cho tỉ lệ thức Với . Chứng minh:
Câu 3. (4,0 điểm)
Tìm x biết 
Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất 
Câu 4. (5,0 điểm)
	Cho nhọn, AD vuông góc với BC tại D. Xác định I; J sao cho AB là trung trực của DI, AC là trung trực của DJ;IJ cắt AB ; AC lần lượt ở L và K. Chứng minh rằng
cân
DA là tia phân giác của góc LDK
Nếu D là một điểm tùy ý trên cạnh BC. Chứng minh rằng góc IAJ có số đo không đổi và tìm vị trí điểm D trên cạnh BC để IJ có độ dài nhỏ nhất
Câu 5. (1,0 điểm)
Tìm x, y thuộc biết : 
ĐÁP ÁN HSG 7 THANH OAI 2014-2015
Câu 1.
Vậy 
Nếu ta có (thỏa mãn)
Nếu ta có: (thỏa mãn)
Vậy hoặc 
hoặc 
Vậy hoặc 
Câu 2. 
Vì nên . Do đó đa thức đã cho vô nghiệm
1) Với 
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh 
Câu 3. (1)
Lập bảng xét dấu
x
 -3 4
x+3
 0 +
+
x – 4 
-
 - 0 +
Xét khoảng ta có (1) trở thành (thuộc khoảng đang xét)
Xét khoảng , ta có (1) trở thành (không có giá trị nào của x thỏa mãn)
Xét khoảng , ta có (1) trở thành: (không thuộc khoảng đang xét)
Kết luận : Vậy 
b) Biến đổi 
B đạt giá trị nhỏ nhất nhỏ nhất 
Xét và , ta được có giá trị nhỏ nhất bằng tại 
Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của B bằng – 6 tại 
Câu 4.
Do AB; AC là trung trực của AB
Nên AI = AD; AD=AJ cân tại A
Tương tự 
Mà cân (câu a)
là tia phân giác của 
Chứng minh được KC là phân giác ngoài tại đỉnh K của tam giác DLK
Chứng minh được DC là phân giác ngoài tại đỉnh D của tam giác DLK
Suy ra là tia phân giác trong tại đỉnh L của tam giác DLK
Mà AB cũng là phân giác ngoài tại đỉnh L của tam giác LDK
Hay CL vuông góc với AB tại L
Chứng minh tương tự : BK vuông góc với AC tại K
Chứng minh được (không đổi)
*cân tại A có không đổi nên cạnh đáy IJ nhỏ nhất nến cạnh bên AI nhỏ nhất. Ta có (AH là đường vuông góc kẻ từ A đến BC)
Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi 
Vậy khi D là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC thi IJ nhỏ nhất 
Câu 5.
Ta có: 
Vì nên , suy ra hoặc
Với , thay vào (*) ta có: (loại)
Với thay vào (*) ta có suy ra do 
Từ đó tìm được