Đề thi Olympic môn Toán Lớp 7 (Có đáp án) - Năm học 2013-2014 - Trường THCS Bích Hòa

TRƯỜNG THCS
BÍCH HÒA
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 7
Năm học: 2013-2014
Câu 1. (5 điểm) 	Cho chứng minh rằng :
Câu 2 (2 điểm) Tìm biết 
Câu 3 (4 điểm)
Chứng minh rằng: 
Tìm số nguyên a để: là số nguyên
Câu 4 (2 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Câu 5 (7 điểm) 
Cho tam giác ABC vuông ở A, có góc , đường cao AH. Trên đoạn HC lấy điểm D sao cho . Từ C kẻ CE vuông góc với AD. Chứng minh:
Tam giác ABD là tam giác đều
EH song song với AC
ĐÁP ÁN HSG TOÁN 7 BÍCH HÒA 2013-2014
Câu 1.
Từ 
Từ khi đó: 
Theo câu b, ta có: 
Từ 
Vậy 
Câu 2. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Thay vào trên ta được 
Vậy 
Câu 3. 
Đặt 
Ta có :
*
*
Vậy 
b) Ta có : là số nguyên
Khi đó là ước của 14 mà Ư
Ta có 
Câu 4
 với mọi giá trị của x nên A đạt giá trị lớn nhất khi đạt giá trị nhỏ nhất
nên 
Vậy A nhỏ nhất bằng khi x = 0
Suy ra GTLN của Akhi 
Câu 5.
Tam giác ABD có AH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên tam giác ABD cân ở A
Lại có nên tam giác ABD là tam giác đều
 (cạnh huyền – góc nhọn)
Do đó: AH = CE
nên HC = EA
cân ở D vì có nên DA = DC
Suy ra DE = DH. Tam giác DEH cân ở D.
Hai tam giác cân ADC và DEH có : (hai góc đối đỉnh ) do đó 
ở vị trí so le trong , suy ra