Đề thi thử học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Chủ đề 2: Bài toán hình liên quan đến tam giác

HH7-CHỦ ĐỀ 2.BÀI TOÁN HÌNH LIÊN QUAN ĐẾN TAM GIÁC
Chuyên đề 1. TỔNG BA GÓC CỦA MỘT TAM GIÁC
A. Kiến thức cần nhớ
1. Tổng ba góc của một tam giác.
Tổng ba góc của một tam giác bằng .
.
2. Áp dụng vào tam giác vuông
a) Định nghĩa: Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông.
b) Tính chất: Trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau.
.
3. Góc ngoài của tam giác
a) Định nghĩa: Góc ngoài của tam giác là góc kề bù với một góc của tam giác.
b) Tính chất:
* Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng của hai góc trong không kề với nó.
* Góc ngoài của tam giác lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Tìm x, trong hình vẽ bên:
Giải
* Tìm cách giải. Để tìm số đo x, chúng ta vận dụng:
- Tổng ba góc của một tam giác bằng .
- Góc ngoài của một tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.
* Trình bày lời giải.
+ Hình 1. có (tính chất)
	.
+ Hình 2. có (góc ngoài tam giác)
	.
+ Hình 3. có (tính chất)
	.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có , . Hai tia phân giác của góc B và C cắt nhau tại I. Vẽ tia phân giác ngoài tại đỉnh B cắt tia CI tại D. Chứng minh rằng .
Giải
* Tìm cách giải. Đề bài cho số đo nên hiển nhiên tính được số đo . Dựa theo kết luận của bài toán thì chúng ta chỉ cần tính số đo . Khi tính toán số đo góc, chúng ta lưu ý giả thiết có yếu tố tia phân giác.
* Trình bày lời giải.
 có (tính chất)
.
 có 
Ta có: .
 có:
Do đó .
Ví dụ 3: Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại E. Các tia phân giác cắt nhau ở K. Chứng minh: .
Giải
* Tìm cách giải. Chúng ta nhận thấy là góc của tam giác BKG; CKH	 nên cần phải ghép vào hai tam giác ấy. Khai thác yêu cầu của bài toán (liên quan tới góc ) đồng thời 
để vận dụng yếu tố tia phân giác của giả thiết, chúng ta cần xét các cặp tam giác và cặp tam giác .
* Trình bày lời giải.
Gọi G là giao điểm CK và AE và H là giao điểm BK và DE.
Xét và có:
 (đối đỉnh)
Xét và có:
 (đối đỉnh)
Từ (1) và (2), kết hợp với ; 
.
Ví dụ 4: Cho hình vẽ bên, biết rằng BD và CE là các tia phân giác của góc B, góc C.
a) Nếu , tính .
b) Nếu ; , tính .
Giải
a) có nên .
. có nên .
b) có mà nên .
	 có mà nên .
Suy ra 
Do đó 
 nên .
Nhận xét:
- Nếu thì ta luôn chứng tỏ được .
- Để tính chúng ta cần tìm góc hoặc mà không cần tính từng góc B và góc C. Ngoài ra dựa vào công thức (*) ta có thể tính bằng cách xét và để tìm được:
Và lưu ý: ta tính .
Ví dụ 4: Cho có . Kẻ AH vuông góc với . Các tia phân giác góc C và góc BAH cắt nhau tại K. Chứng minh rằng .
Giải
vuông nên (cùng phụ với ).
Mặt khác ; do đó .
Ta có: 
Suy ra vuông tại K.
Vậy .
* Nhận xét:
Qua bài ta nhận thấy có thêm một dấu hiệu nhận biết tam giác vuông là chứng minh tam giác có tổng hai góc bằng .
C. Bài tập vận dụng
1.1. Tìm x, trong các hình vẽ sau:
1.2. Cho hình vẽ bên. Biết rằng ; . Tính .
1.3. Các góc ngoài đỉnh A, B, C tỉ lệ với 2; 3; 4. Tính tỉ lệ ba góc trong của tam giác đó.
1.4. Cho tam giác ABC có và .
a) Tính các góc A; B; C?
b) Gọi E là giao điểm của đường thẳng AB với tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh C. Tính góc AEC?
1.5. Tam giác ABC có . Tia phân giác cắt BC tại D.
a) Chứng minh .
b) Đường thẳng chứa tia phân giác góc ngoài ở đỉnh A của tam giác ABC cắt đường thẳng BC tại E. Chứng minh rằng .
1.6. Cho tam giác ABC có . Tia phân giác góc A cắt BC tại D. Tính số đó góc ADC? Góc ADB?
1.7. Cho tam giác ABC. Tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D. Biết .
a) Tính .
b) Tính các góc của tam giác ABC nếu .
1.8. Cho tam giác ABC, O là điểm nằm trong tam giác.
a) Chứng minh rằng .
b) Biết và tia BO là tia phân giác của góc B. Chứng minh rằng tia CO là tia phân giác của góc C.
1.9. Cho tam giác ABC có .
a) Chứng minh rằng .
b) Từ một điểm D trên cạnh AC vẽ . Hãy xác định vị trí của D cho tia DE là tia phân giác của góc .
1.10. Chứng minh với mỗi tam giác bao giờ cũng tồn tại một góc ngoài không lớn hơn .
1.11. Cho tam giác ABC vuông góc tại A. Tia phân giác của cắt AB tại D.
a) Chứng minh rằng góc BDC là góc tù.
b) Giả sự . Tính số đo góc B.
1.12. Cho hình vẽ bên.
Tính tổng 
Hướng dẫn giải
1.1. 
- Hình 1. có 
	.
- Hình 2. vuông tại 
	.
- Hình 3. có 
	.
1.2. Ta có: (đối đỉnh).
Ta có .
 có (góc ngoài của tam giác) suy ra: .
1.3. Đặt số đo góc ngoài đỉnh A; B; C lần lượt là x; y; z. Theo đầu bài, ta có: và .
Giải ra, ta được: ; ; .
Từ đó suy ra các góc trong đỉnh A; B; C tương ứng là .
Do đó tỉ lệ ba góc trong là: .
1.4.
a) Ta có ; .
 có 
.
b) Ta có (hai góc kề bù)
Ta có: .
 có hay .
1.5.
a) có ;
 có ;
Mà nên .
b) có (góc ngoài tam giác)
 có: (góc ngoài)
 hay .
1.6. có (góc ngoài tam giác)
 có (góc ngoài tam giác) mà 
nên 
 mà 
nên ; .
1.7.
a) Ta có .
 có ;
 có ;
Mà nên 
.
Vậy .
b) .
Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau, ta có: .
Suy ra: .
1.8.
a) có (góc ngoài tam giác).
 có (góc ngoài tam giác).
 Hay.
b) Từ 
 mà BO là tia phân giác của nên suy ra ; hay CO là tia phân giác của góc .
1.9.
a) Từ: suy ra 
b) (góc đồng vị) và (góc so le trong).
Tia DE là tia phân giác của mà nên Û BD là tia phân giác của .
Vậy khi D là giao điểm của tia phân giác và AC thì DE là tia phân giác của .
1.10. Giả sử cả ba góc ngoài ở ba đỉnh đều lớn hơn suy ra mỗi góc trong đều nhỏ hơn 
Vậy tổng ba góc trong của tam giác nhỏ hơn , vô lí. Do đó tồn tại một góc ngoài có số đo không lớn hơn .
1.11. 
a) Góc BDC là góc ngoài tại đỉnh D của tam giác ACD nên ; là góc tù.
b) (góc ngoài tam giác)
 .
1.12. Xét có .
Xét có .
Xét có .
Suy ra: 
.
Chuyên đề 2. HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU.
CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA HAI TAM GIÁC
A. Kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa. Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau.
2. Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác
· Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
· Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
· Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
2. Hệ quả.
· Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
· Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông ấy bằng nhau.
· Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
 (cạnh huyền – góc nhọn)
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho .
a) Viết kí hiệu về sự bằng nhau của hai tam giác đó với ba cách khác.
b) Cho ; ; . Tính chu vi mỗi tam giác? Hãy nêu nhận xét?
Giải
* Tìm cách giải. Khi viết hai tam giác bằng nhau thì các đỉnh tương ứng phải viết theo cùng một thứ tự. Viết như vậy, thì việc suy ra các cặp cạnh tương ứng bằng nhau mới chính xác.
* Trình bày lời giải.
a) ; ; .
b) suy ra ; ; .
Chu vị bằng: .
Chu vi bằng: .
* Nhận xét. Hai tam giác bằng nhau thì có chu vi bằng nhau.
Ví dụ 2: Cho , biết ; . Tính các góc của mỗi tam giác.
Giải
* Tìm cách giải. Bài toán yêu cầu tính số đo góc của tam giác nên từ , chúng ta chỉ quan tâm tới cặp góc tương ứng bằng nhau.
* Trình bày lời giải.
 (cặp góc tương ứng).
Vì ; mà , nên 
;
.
 có ; .
Vì nên .
Ví dụ 3: Cho góc nhọn . Lấy điểm A thuộc tia Ox, điểm B thuộc tia Oy sao cho . Vẽ hai cung tròn tâm A và tâm B có cùng bán kính nhỏ hơn OA sao cho chúng cắt nhau tại 2 điểm C và D. Chứng minh rằng:
a) .
b) Ba điểm O, C, D thẳng hàng.
Giải
a) Xét và có: (giả thiết), (bán kính bằng nhau), OC cạnh chung.
.
b) nên 
tương tự: nên .
Nên C, D cùng thuộc tia phân giác góc hay O, C, D thẳng hàng.
* Nhận xét. 
· Khi chứng minh hai tam giác bằng nhau bạn nên chú ý cạnh chung.
· Muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta có thể chứng minh ba điểm đó cùng nằm trên tia phân giác của một góc.
Ví dụ 4: Cho có . Lấy M thuộc cạnh AB; lấy N thuộc tia đối của tia CA sao cho . Gọi I là một điểm sao cho ; . Chứng minh rằng: .
Giải
Ta có .
.
Suy ra , mà đó là hai góc kề bù nên , hay .
* Nhận xét. 
Đây là bài toán khó. Để chứng minh chúng ta suy nghĩ và chứng minh là điều cần thiết. Sau đó, chúng ta hãy tìm các cặp tam giác bằng nhau mà trong các tam giác ấy có chứa hoặc .
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có . Kẻ tia phân giác góc cắt AC tại D. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho .
a) Chứng minh rằng .
b) Chứng minh rằng .
c) Nếu biết . Tính số đo ; của .
Giải
a) và có ; ; BD là cạnh chung .
.
b) Gọi I là giao điểm của AM và BD.
Xét và có ; ; BI là cạnh chung
 mà nên , suy ra: .
c) nên ;
 vuông nên .
Suy ra do đó .
Ví dụ 6: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ đoạn thẳng ; sao cho M và C khác phía đối với đường thẳng AB. Vẽ đoạn thẳng và sao cho N và B khác phía đối với đường thẳng AC. Gọi I, K lần lượt là trung điểm BN và CM. Chứng minh rằng:
a) ;
b) và ;
c) và .
Giải
a) nên .
b) . Và .
Gọi P là giao điềm của AB và CM
Ta có: (vì vuông)
.
c) , mà ; 
nên .
; mà 
 hay .
Ví dụ 7: Cho vuông tại A có . Tia phân giác của góc cắt AC tại D.
a) Chứng minh rằng .
b) Tính góc và của tam giác ABC.
Giải
a) Gọi E là trung điểm của BC. Suy ra 
 và có ; (giả thiết); BD là cạnh chung
.
Xét và có: ; ; DE chung 
b) 
Mặt khác: (Vì vuông tại A)
.
Ví dụ 8: Cho tam giác ABC có . Các tia phân giác góc B, góc C cắt nhau tại O và cắt AC; AB theo thứ tự D; E. Chứng minh rằng: .
Giải
 có 
Mà nên .
Ta có .
 có 
Nên .
- Kẻ Ox là tia phân giác góc , cắt BC tại I nên .
Xét và có (giả thiết); ; BO là cạnh chung 
do đó . Suy ra .
- Chứng minh tương tự ta có nên .
Vậy .
* Nhận xét. 
- Để chứng minh , ta chưa thể ghép chúng vào hai tam giác nào bằng nhau được. Do vậy, ta nghĩ đến cách kẻ đường phụ. Cho số đo góc A ta liên hệ với bài đã biết nên tính được số đo góc BOC và góc BOE nên dựng được điểm I.
- Bài toán còn có cách khác, là lấy điểm I trên BC sao cho , sau đó chứng minh rồi chứng minh .
- Từ cách trên ta còn suy ra kết quả đẹp là .
Ví dụ 9: Cho tam giác ABC. Từ B kẻ ; . Gọi H là giao điểm của BD và CE. Biết rằng .
a) Chứng minh rằng ;
b) Chứng minh rằng ;
c) Chứng minh AH là tia phân giác của .
d) Gọi I là giao điểm của AH và BC. Chứng minh rằng .
Giải