Giáo án Chuyên đề Toán 7 - Ngô Văn Thọ

TOÁN HỌC LỚP 7 
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Trang 1 
CHUYÊN ĐỀ I: SỐ HỮU TỈ 
I. ÔN LẠI CÁC TẬP HỢP 0 1 2 
- Số tự nhiên: N 
- Số nguyên: Z -2 -1 0 1 2 
- Số hữu tỉ: Q 2 1 -1/2 0 1 3/2 2 
- Số vô tỉ: I 0 2 
 - Số thực: I+Q=R 
II. Số hữu tỉ: 
1. Kiến thức cần nhớ: 
- Số hữu tỉ có dạng trong đó b≠0; là số hữu tỉ dương nếu a,b cùng dấu, là số hữu tỉ âm nếu a,b trái 
dấu. Số 0 không phải là số hữu tỉ dương, không phải là số hữu tỉ âm. 
- Có thể chia số hữu tỉ theo hai chách: 
Cách 1:Số thập phân vô hạn tuần hoàn (Ví dụ: ) và số thập phân hữu hạn (Ví dụ: ) 
Cách 2: Số hữu tỉ âm, số hữu tỉ dương và số 0 
- Để cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ, ta thực hiện như phân số: 
Cộng trừ số hữu tỉ Nhân, chia số hữu tỉ 
1. Qui tắc 
- Đưa về cùng mẫu, rồi cộng trừ tử số giữ 
nguyên mẫu. 
- Nhân tử với tử, mẫu với mẫu 
- Phép chia là phép nhân nghịch đảo. 
- Nghịch đảo của x là 1/x 
Tính chất 
a) Tính chất giao hoán: x + y = y +x; x . y = 
y. z 
b) Tính chất kết hợp: (x+y) +z = x+( y +z) 
(x.y)z = x(y.z) 
c) Tính chất cộng với số 0: 
x + 0 = x; 
x.y=y.x ( t/c giao hoán) 
(x.y)z= x.(y,z) ( t/c kết hợp ) 
 x.1=1.x=x 
 x. 0 =0 
 x(y+z)=xy +xz (t/c phân phối 
của phép nhân đối với phép cộng 
Bổ sung 
Ta cũng có tính chất phân phối của phép chia đối với phép cộng và phép trừ, nghĩa là: 
 ; ; x.y=0 suy ra x=0 hoặc y=0 
 -(x.y) = (-x).y = x.(-y) 
- Các kí hiệu: : thuộc , : không thuộc , : là tập con 
TOÁN HỌC LỚP 7 
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Trang 2 
2. Các dạng toán: 
Dạng 1: Thực hiện phép tính 
- Viết hai số hữu tỉ dưới dạng phân số. 
- áp dụng qui tắc cộng, trừ, nhân, chia phân số để tính. 
- Rút gọn kết quả (nếu có thể). 
Chỉ được áp dụng tính chất: 
a.b + a.c = a(b+c) 
a : c + b: c = (a+b):c 
 Không được áp dụng: 
 a : b + a : c = a: (b+c) 
Ví dụ: 
Bài 1: 
a) 26
1
3
2 b) 5
1
30
11 c) 4
17.34
9 d) 24
11.17
11 e) 4
3:2
5 ; f) 
 5
42:5
14 
Bài số 2: Thực hiện phép tính: 
a) 
 4
3
2
1.43
2 b) 711.6
5
3
1 
c) 1 1 1 7
24 4 2 8
 d) 
5 7 1 2 1
7 5 2 7 10
Bài số 3: Tính hợp lí: 
a) 2 3 16 3. .
3 11 9 11
 b) 
1 13 5 2 1 5
: :
2 14 7 21 7 7
 c) 
4 1 5 1
: 6 :
9 7 9 7
Dạng 2: Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số: 
-Phương pháp: Nếu là số hữu tỉ dương, ta chia khoảng có độ dài 1 đơn vị làm b phần bằng nhau, rồi lấy 
về phía chiều dương trục Ox a phần , ta được vị trí của số 
Ví dụ: biểu diễn số : ta chia các khoảng có độ dài 1 đơn vị thành 4 phần bằng nhau, lấy 5 phần ta được 
phân số biểu diễn số 
Hình vẽ: 
Nếu là số hữu tỉ âm, ta chia khoảng có độ dài 1 đơn vị làm b phần bằng nhau, rồi lấy về phía chiều âm 
trục Ox a phần , ta được vị trí của số 
BÀI TẬP 
Biểu diễn các số hữu tỉ sau trên trục số: a. 
Dạng 3: So sánh số hữu tỉ. 
Phương pháp: 
TOÁN HỌC LỚP 7 
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Trang 3 
* Đưa về các phân số có cùng mẫu số dương rồi so sánh tử số. 
* So sánh với số 0, so sánh với số 1, với -1 
* Dựa vào phần bù của 1. 
* So sánh với phân số trung gian( là phân số có tử số của phân số này mẫu số của phân số kia) 
BÀI TẬP 
Bài 1. So sánh các số hữu tỉ sau: 
a) 25x
35
 và 444y
777
 ; b) 
1x 2
5
 và 110y
50
 c) 
17x
20
 và y = 0,75 
Bài 2. So sánh các số hữu tỉ sau: 
a) 1
2010
 và 7
19
 ; b) 3737
4141
 và 37
41
 ; c) 497
499 và 
2345
2341
 d) 2
1 và 3
1 
e) 5
2 và 4
3 f) 2002
2001
2001
2000 và ; g) 2000
2001 và 2001
2002 ; h) 5
3 và 9
4 ; k) 60
19 và 90
31
Dạng 4: Tìm điều kiện để một số là số hữu tỉ dương, âm, là số 0 (không dương không âm). 
Phương pháp: 
Dựa vào t/c là số hữu tỉ dương nếu a,b cùng dấu, là số hữu tỉ âm nếu a,b trái dấu, bằng 0 nếu a=0. 
Ví dụ: Cho số hữu tỉ m 2011x
2013
 . Với giá trị nào của m thì : 
a) x là số dương. b) x là số âm. c) x không là số dương cũng không là số âm 
HD: 
a. Để x>0 thì , suy ra m-2011>0 ( vì 2013>0), suy ra m>2011 
b. Để x 0), suy ra m<2011 
c. Để x=0 thì , suy ra m-2011=0 suy ra m=2011 
BÀI TẬP: 
Bài 1. Cho số hữu tỉ 20m 11x
2010
 . Với giá trị nào của m thì: 
a) x là số dương. b) x là số âm 
Bài 2. Hãy viết số hữu tỉ 7
20
 dưới dạng sau: 
a) Tổng của hai số hữu tỉ âm. 
b) Hiệu của hai số hữu tỉ dương. 
Bài 3. Viết số hữu tỉ 1
5
 dưới dạng tổng của hai số hữu tỉ âm. 
Bài 4. Hãy viết số hưu tỉ 11
81
 dưới các dạng sau: 
a) Tích của hai số hữu tỉ. b) Thương của hai số hữu tỉ. 
TOÁN HỌC LỚP 7 
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Trang 4 
Bài 5. Hãy viết số hữu tỉ 1
7
 dưới các dạng sau: 
a) Tích của hai số hữu tỉ âm. b) Thương của hai số hữu tỉ âm. 
Dạng 5: Tìm các số hữu tỉ nằm trong một khoảng: 
Phương pháp: 
- Đưa về các số hữu tỉ có cùng tử số hoặc mẫu số 
Ví dụ: Tìm a sao cho 
HD: Từ bài ra ta có: ; suy ra 8<a<108, a={9,10 ..107} 
BÀI TẬP 
Bài 1: Tìm năm phân số lớn hơn và nhỏ hơn . 
Bài 2: Tìm số nguyên a sao cho: 
a) c) 
b) d) 
Dạng 6:Tìm x để biểu thức nguyên. 
Phương pháp: 
- Nếu tử số không chứa x, ta dùng dấu hiệu chia hết. 
- Nếu tử số chứa x, ta dùng dấu hiệu chia hết hoặc dùng phương pháp tách tử số theo mẫu số. 
- Với các bài toán tìm đồng thời x,y ta nhóm x hoặc y rồi rút x hoặc y đưa về dạng phân thức. 
Ví dụ: Tìm x để A= là số nguyên 
Giải: Điều kiện: x-1 ≠ 0 hay x≠ 1 
Để A nguyên thì 5 chia hết cho (x-1) hay (x-1) Ư(5)={-5;-1;1;5} 
x-1 -5 -1 1 5 
x -4 0 2 6 
Ví dụ: Tìm x để B= là số nguyên 
Cách 1:Dùng phương pháp tách tử số theo mẫu số ( Khi hệ số của x trên tử số là bội hệ số của x dưới 
mẫu số): 
- Tách tử số theo biểu thức dưới mẫu số, thêm bớt để được tử số ban đầu. 
 B= , ( điều kiện: x≠ 1). 
Để B nguyên thì là số nguyên hay 5 chia hết cho (x-1) hay (x-1) Ư(5)={-5;-1;1;5} 
x-1 -5 -1 1 5 
x -4 0 2 6 
TOÁN HỌC LỚP 7 
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Trang 5 
Cách 2:Dùng dấu hiệu chia hết: 
- Các bước làm: 
- Tìm điều kiện. 
- , nhân thêm hệ số rồi dùng tính chất chia hết một tổng, hiệu 
Điều kiện: x ≠ 1. 
Ta có: 
 x-1 x-1 nên 2(x-1) x-1 hay 2x-2 x-1 (1) 
Để B nguyên thì 2x+3 x-1 (2) 
Từ (1) và (2) suy ra 2x+3-(2x-2) x-1 hay 5 x-1. Suy ra (x-1) Ư(5)={-5;-1;1;5} 
x-1 -5 -1 1 5 
x -4 0 2 6 
Ví dụ: Tìm x nguyên để biểu thức nguyên 
Giải: Ta có suy ra suy ra. 
Hay (6x+4)-(6x+3) => 1 2x+1=> 2x+1 Ư(1)={-1;1} 
suy ra x=0, -1 
Ví dụ: Tìm x nguyên để biểu thức nguyên: 
a. A= b. B= 
HD: 
a. Ta có : x+4 x+4, suy ra x(x+4) , hay x2+4x x+4 (1) 
Để A nguyên thì x2+4x+7 x+4 (2) . Từ (1) (2) suy ra 7 x+4 . 
x+4 -1 1 -7 7 
X -5 -3 -11 3 
b. x+4 x+4, suy ra x(x+4) , hay x2+4x x+4 (1) 
Để B nguyên thì x2+7 x+4 (2) 
Từ (1) (2) suy ra (x2+4x)- (x2+7) x+4 
4x-7 x+4 => 4(x+4)-23 x+4 => 23 x+4 
 x+4 -1 1 -23 23 
 x -5 -3 -27 19 
TOÁN HỌC LỚP 7 
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Trang 6 
Với các biểu thức có dạng ax+bxy+cy=d ta làm như sau: 
- Nhóm các hạng tử chứa xy với x (hoặc y). 
- Đặt nhân tử chung và phân tích hạng tử còn lại theo hạng tử trong ngoặc để đưa về dạng tích. 
Ví dụ: Tìm x, y nguyên sao cho: xy+3y-3x=-1 
Giải: 
y(x+3)-3x+1=0 (Nhóm hạng tử chứa xy với hạng tử chứa y và đặt nhân tử chung là y ) 
y(x+3)-3(x+3)+10=0 ( phân tích -3x+1=-3x-9+10=-3(x+3)+10 ) 
(x+3)(y-3)=-10 
Lập bảng: 
x+3 1 10 -1 -10 5 2 -5 -2 
y+3 10 1 -10 -1 2 5 -2 -5 
X -2 7 -4 -13 2 -1 -8 -5 
Y 7 -2 -13 -4 -1 2 -5 -8 
Với các biểu thức có dạng: ta nhân quy đồng đưa về dạng Ax+By+Cxy+D=0 
Ví dụ: (nhân quy đồng với mẫu số chung là 3xy) 
  3x+3y-xy=0 ( bài toán quay về dạng ax+by+cxy+d=0) 
 x(3-y)-3(3-y)+9=0  (x-3)(3-y)=-9 
Lập bảng: 
x-3 1 -9 -3 3 
3-y -9 1 3 -3 
x 4 -6 0 6 
y 12 2 0 6 
BÀI TẬP 
Bài 1: Tìm số nguyên a để số hữu tỉ x = 101
a 7
 là một số nguyên. 
Bài 2: Tìm các số nguyên x để số hữu tỉ t = 3x 8
x 5
 là một số nguyên. 
Bài 3: Chứng tỏ số hữu tỉ 2m 9x
14m 62
 là phân số tối giản, với mọi m N 
Bài 4: Tìm x để các biểu thức sau nguyên 
A= ; B= ; C= ; D= ; E= 
Bài 5: Tìm các số x,y nguyên thỏa mãn: 
a, xy+2x+y=11 b, 9xy-6x+3y=6 c, 2xy+2x-y=8 d, xy-2x+4y=9 
TOÁN HỌC LỚP 7 
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Trang 7 
Dạng 7: Các bài toán tìm x. 
Phương pháp: 
- Quy đồng khử mẫu số 
- Chuyển các số hạng chứa x về một vế, các số hạng tự do về một vế ( chuyển vế đổi dấu) rồi tìm x 
Chú ý: Một tích bằng 0 khi một trong các thừa số bằng không. 
- Chú ý các bài toán nâng cao: dạng lũy thừa, dạng giá trị tuyệt đối, dạng tổng các bình phương bằng 0, các 
bài toán tìm x có quy luật. 
BÀI TẬP 
Bài 1. Tìm x, biết: 
a) x. 3 5
7 21
 ; b) 
5 281 .x
9 9
 ; c) 2 15x :
5 16
 ; d) 
4 2: x
7 5
Bài 2. Tìm x, biết: 
a) 2 5 3x
3 7 10
 ; b) 3 1 3x
4 2 7
Bài 3. Tìm x, biết: 
a) 1 3 33x x
2 5 25
 ; b) 2 4 1 3x : x 0
3 9 2 7
 ; c) 
x 5 x 6 x 7 3
2005 2004 2003
Bài 4: a) x x x x1 3 5 7
65 63 61 59
 b) x x x x29 27 17 15
31 33 43 45
 c) x x x x6 8 10 12
1999 1997 1995 1993
 d) x x x x1909 1907 1905 1903 4 0
91 93 95 91
 e) x x x x x x29 27 25 23 21 19
1970 1972 1974 1976 1978 1980
 x x x x x x1970 1972 1974 1976 1978 1980
29 27 25 23 21 19
HD: 
 => => x= -2010 
Bài 5:Giải các phương trình sau: (Biến đổi đặc biệt) 
 a) x x x x1 3 5 7
35 33 31 29
 (HD: Cộng thêm 1 vào các hạng tử) 
 b) x x x x x10 8 6 4 2
1994 1996 1998 2000 2002
 (HD: Trừ đi 1 vào các hạng tử) 
 x x x x x2002 2000 1998 1996 1994
2 4 6 8 10
 c) x x x x x1991 1993 1995 1997 1999
9 7 5 3 1
TOÁN HỌC LỚP 7 
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Trang 8 
 x x x x x9 7 5 3 1
1991 1993 1995 1997 1999
 (HD: Trừ đi 1 vào các hạng tử) 
 d) x x x x85 74 67 64 10
15 13 11 9
 (Chú ý: 10 1 2 3 4 ) 
 e) x x x x1 2 13 3 15 4 27
13 15 27 29
 (HD: Thêm hoặc bớt 1 vào các hạng tử) 
Dạng 8: Các bài toán tìm x trong bất phương trình: 
Phương pháp: 
- Nếu a.b>0 thì hoặc ; - Nếu a.b≥0 thì hoặc ; 
- Nếu a.b<0 thì hoặc ; - Nếu a.b≤0 thì hoặc 
- Nếu thì hoặc ;- Nếu hoặc ; 
- Nếu hoặc ; - Nếu hoặc 
Chú ý: Dạng toán a.b<0 có cách giải nhanh bằng việc đánh giá. Hãy xem Ví dụ c. 
Ví dụ: 
a. (2x+4)(x-3)>0 b. c. (x-2)(x+5)<0 
HD: 
a. (2x+4)(x-3)>0 suy ra hoặc 
=> hoặc => hoặc =>x>3 hoặc x<-2 
b. suy ra hoặc => hoặc (không tồn tại x) 
=> -5<x<1 
c. (x-2)(x+5) x-2 nên (x-2)(x+5) => -5<x<2 
BÀI TẬP: 
Tìm x biết: 
a. (x-1)(x+4)>0 b. (3x-1)(2x+4)≥0 c. (3-x)(x+1)<0 
d. (x-7)(3x+4)≤0 e. 
Dạng 9: các bài toán tính tổng theo quy luật: 
Tính tổng dãy số có các số hạng cách nhau một số không đổi: 
Phương pháp: 
TOÁN HỌC LỚP 7 
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Trang 9 
- Tính số các số hạng: 
- Tổng = 
Ví dụ: 1+2+3+ ..+99 (khoảng cách bằng 2) 
số các số hạng: số hạng 
Tổng = 
Chú ý: 
A = 1.3+2.4+3.5+...+(n-1)(n+1) =n/6 [ (n-1) .(2n+1) ] 
A = 1.2 + 2.3 + 3.4 +. + (n – 1) n = n. (n – 1 ).(n + 1) 
A = 1+2+3+ +(n-1)+n = n (n+1):2 
A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+(n-2)(n-1)n = ¼ .(n-2)(n-1)n(n+1) 
A = 12 +22 +32+...+992 +1002 = n(n+1)(2n+1):6 
Tính tổng dãy số A có các số hạng mà số đứng sau gấp số đứng trước một số không đổi n: 
Phương pháp: 
- Tính A.n 
- Tính A.n-A rồi suy ra tổng A 
Ví dụ: A= 2+22+23 .+2100 (ở đây n=2: số đứng sau gấp số đứng trước 2 đơn vị) 
Ta có : 2.A=22+23 +24 .+2101 (nhân 2 vế với n=2) 
 2A-A=22+23 +24 .+2101 -(2+22+23 .+2100) (chú ý: 2A-A=A) 
A=2101-2 
Tính tổng các phân số có tử số không đổi, mẫu số là tích của 2 số có hiệu không đổi. 
Phương pháp: 
Phân tích tử số thành hiều 2 số dưới mẫu 
Ví dụ: A= 
 = 
BÀI TẬP: 
A = 1 1 1 1 1 1...
199 199.198 198.197 197.196 3.2 2.1
 . 
B = 2 2 2 2 21 ...
3.5 5.7 7.9 61.63 63.65
 . 
Tìm x, biết: 1 1 1 1 1
x(x 1) (x 1)(x 2) (x 2)(x 3) x 2010
Tính tổng các phân số có tử số không đổi, mẫu số là tích của 3 số có hiệu số cuối trừ số đầu không 
đôi: 
Phương pháp: 
TOÁN HỌC LỚP 7 
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Trang 10 
Phân tích tử số thành hiệu của hai số ( số cuối – số đầu ) ở dưới mẫu 
Sn = 100.99.98
2.....4.3.2
2
3.2.1
2 
3 1 4 2 100 98 3 1 100 98
..... .....
1.2.3 2.3.4 98.99.100 1.2.3 1.2.3 98.99.100 98.99.100
1 1 1 1 1 1 1
.....
1.2 2.3 2.3 98.99. 99.100 1.2 99.100
BÀI TẬP 
Bài 1: 
A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101 
 A = 1.4+2.5+3.6+...+99.102 (Hướng dẫn: thay thừa số 4, 5, 6.....102 bắng (2+2), (3+2), (4+2)....(100 +2) 
A = 4+12+24+40+...+19404+19800 (Hướng dẫn: Chia 2 vế cho 2) 
A = 1+ 3 + 6 +10 +...+4851+4950 (Nhân 2 vế với 2) 
A = 6+16+30+48+...+19600+19998 (Hướng dẫn: Chia 2 vế cho 2) 
Bài 2:Tìm giá trị của x trong dãy tính sau: 
 (x+2)+(x+12)+(x+42)+(x+47) = 655 
Bài 3: 
a) Tìm x biết : x + (x+1) + (x+2) + (x+3) + + (x+2009) = 2009.2010 
b) Tính M = 1.2+2.3+3.4+ + 2009. 2010 
Bài 4: Cho A= 3 + 32 + 33 + 34 +.....3100 Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A + 3 = 3n 
Bài 5: Cho M = 3 + 32 + 33 + 34 +.....3100 
a. M có chia hết cho 4, cho 12 không ? vì sao? b.Tìm số tự nhiên n biết rằng 2M+3 = 3n 
Bài 6: Cho biểu thức: M = 1 +3 + 32+ 33+ + 3118+ 3119 
a) Thu gọn biểu thức M. b) Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao? 
Bài 7: 
S = 100.99
1.......13.12
1
12.11
1
11.10
1 S = 1+2+22 +....... + 2100 
S = 100.99
1........4.3
1
3.2
1
2.1
1 S = 61.59
4....9.7
4
7.5
4 
 A = 66.61
5......26.21
5
21.16
5
16.11
5 M = 2005210 3
1.....3
1
3
1
3
1 
Sn = )2)(1(
1.....4.3.2
1
.3.2.1
1
 nnn Sn = 100.99.98
2.....4.3.2
2
3.2.1
2 
Sn = )3)(2)(1(
1......5.4.3.2
1
4.3.2.1
1
 nnnn 
Bài 8: 
a) 2009.2006
3...14.11
3
11.8
3
8.5
3 A b) 406.402
1...18.14
1
14.10
1
10.6
1 B 
TOÁN HỌC LỚP 7 
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Trang 11 
c) 507.502
10...22.17
10
17.12
10
12.7
10 C d) 258.253
4...23.18
4
18.13
4
13.8
4 D 
Bài 9: 
a) 509.252
1...19.7
1
7.9
1
9.2
1 A b) 405.802
1...17.26
1
13.18
1
9.10
1 B 
c) 405.401
3
304.301
2...13.9
3
10.7
2
9.5
3
7.4
2 C 
d) 1 1 1 1 1 3 5 7 ... 49( ... )4.9 9.14 14.19 44.49 89
Bài 10: Tìm x 
a) 8
5
120
1...21
1
15
1
10
1
2008 
x b) 45
29
45.41
4...17.13
4
13.9
4
9.5
47 
x
c) 93
15
)32)(12(
1...9.7
1
7.5
1
5.3
1 xx 
Bài 11: Chứng minh 
a) 46)23)(13(
1...11.8
1
8.5
1
5.2
1
 n
n
nn
b) 34
5
)34)(14(
5...15.11
5
11.7
5
7.3
5
 n
n
nn
c) 15
1
)45)(15(
3...24.19
3
19.14
3
14.9
3 nn 
Bài 12:Cho 403.399
4...23.19
4
19.15
4 A Chứng minh: 80
16
81
16 A
Bài 13: Cho S= Chứng minh S<4 
HD: 2S= Suy ra 2S-S= 
Bài 14: Cần bao nhiêu số hạng của tổng S = 1+2+3+ để được một số có ba chữ số giống nhau . 
HD: aann .37.31112
)1( (vì aaa=111.a) nên n=37 hoặc n+1=37 ta tìm được n=36. 
CHUYÊN ĐỀ II: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 
Kiến thức cần nhớ 
 Nếu aaa 0 
 Nếu aaa 0 
 Nếu x-a 0=>| |x-a = x-a 
 Nếu x-a 0=>| |x-a = a-x 
TOÁN HỌC LỚP 7 
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Trang 12 
Chú ý: Giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm 0 a với mọi a R 
* Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, và ngược lại hai số có giá trị tuyệt đối 
bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau hoặc đối nhau. 
ba
ba
ba 
* Mọi số đều lớn hơn hoặc bằng đối của giá trị tuyệt đối của nó và đồng thời nhỏ hơn hoặc bằng giá trị 
tuyệt đối của nó. 
aaa và 0;0 aaaaaa 
* Trong hai số âm số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối lớn hơn. baba 0 
* Trong hai số dương số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn baba 0 
* Giá trị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối. baba .. 
* Giá trị tuyệt đối của một thương bằng thương hai giá trị tuyệt đối. 
b
a
b
a 
* Bình phương của giá trị tuyệt đối của một số bằng bình phương số đó. 22 aa 
* Tổng hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của hai số, dấu bằng xảy ra 
khi và chỉ khi hai số cùng dấu. 
 baba và 0. bababa 
CÁC DẠNG TOÁN 
Dạng 1: Tính giá trị biểu thức và rút gọn biểu thức 
Bài 1: Tính x , biết: 
a) x = 3
17
. b) x = 13
161
 . c) x = - 15,08 
Bài 2. Tính: a) 6 4 2
25 5 25
 . b) 5 3 4 8
9 5 9 5
Bài 3: Tính giá trị của biểu thức: 
a) M = a + 2ab – b với 75,0;5,1 ba b) N = 
b
a 2
2 với 75,0;5,1 ba 
Bài 4: Tính giá trị của biểu thức: 
a) yxyxA 22 với 4
3;5,2 yx b) babaB 33 với 25,0;3
1 ba 
c) 
b
aC 33
5 với 25,0;3
1 ba d) 123 2 xxD với 2
1 x 
Bài 5: Tính giá trị của các biểu thức: 
a) 4236 23 xxxA với 3
2 x b) yxB 32 với 3;2
1 yx 
TOÁN HỌC LỚP 7 
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Trang 13 
c) xxC 1322 với x = 4 d) 13
175 2
x
xxD với 2
1 x 
Bài 6: Rút gọn biểu thức sau với 1,45,3 x 
a) xxA 1,45,3 b) 1,45,3 xxB 
Bài 7: Rút gọn biểu thức sau khi x < - 1,3: 
a) 5,23,1 xxA b) 5,23,1 xxB 
Bài 8: Rút gọn biểu thức: 
a) 7,15,2 xxA b) 5
2
5
1 xxB c) 31 xxC 
Bài 9: Rút gọn biểu thức khi 7
1
5
3 x 
a) 5
4
5
3
7
1 xxA b) 6
2
5
3
7
1 xxB 
Bài 10: Rút gọn biểu thức: 
a) 9,15,28,0 xxA với x < - 0,8 b) 93
21,4 xxB với 1,43
2 x 
c) 5
185
1
5
12 xxC với 5
125
1 x d) 2
132
13 xxD với x > 0 
Dạng 2: kA(x) ( Trong đó A(x) là biểu thức chứa x, k là một số cho trước ) 
Phương pháp: 
- Nếu k < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn đẳng thức( Vì giá trị tuyệt đối của mọi số đều không 
âm ) 
- Nếu k = 0 thì ta có 0)(0)( xAxA 
- Nếu k > 0 thì ta có: 
kxA
kxA
kxA )(
)()( 
BÀI TẬP 
Bài 1: Tìm x, biết: 
a) 452 x b) 4
124
5
3
1 x c) 3
1
5
1
2
1 x d) 8
7124
3 x 
Bài 2: Tìm x, biết: 
a) 2
1322 x b) 5,42535,7 x c) 15,275,315
4 x 
Bài 3: Tìm x, biết: 
a) 51132 x b) 312 
x c) 5,32
1
5
2 x d) 5
123
1 x 
Bài 4: Tìm x, biết: 
TOÁN HỌC LỚP 7 
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Trang 14 
a) %54
3
4
1 x b) 4
5
4
1
2
32 x c) 4
7
4
3
5
4
2
3 x d) 6
5
3
5
2
1
4
35,4 x 
Bài 5: Tìm x, biết: 
a) 23
1:4
95,6 x b) 2
7
5
14:2
3
4
11 x c) 32
1
4
3:5,24
15 x d) 63
2
4:35
21 x 
Dạng 3: B(x)A(x) ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x ) 
Phương pháp: 
Vận dụng tính chất: 
ba
ba
ba ta có: 
 )()(
)()()()(
xBxA
xBxA
xBxA 
BÀI TẬP 
Bài 1: Tìm x, biết: 
a) 245 xx b) 02332 xx c) 3432 xx d) 06517 xx 
Bài 2: Tìm x, biết: 
a) 142
1
2
3 xx b) 05
3
8
5
2
7
4
5 xx c) 4
1
3
4
3
2
5
7 xx d) 052
1
6
5
8
7 xx 
Dạng 4: B(x)A(x) ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x ) 
Cách 1: Điều kiện: B(x) 0 (*) 
(1) Trở thành 
 )()(
)()()()(
xBxA
xBxA
xBxA ( tìm x rồi đối chiếu giá tri x tìm được với điều kiện ( * ) 
sau đó kết luận. 
* Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối: 
)()( xBxA (1) 
 Nếu A(x) 0 thì (1) trở thành: A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện ) 
 Nếu A (x ) < 0 thì (1) trở thành: - A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện ) 
BÀI TẬP 
Bài 1: Tìm x, biết: 
a) xx 232
1 b) 231 xx c) 125 xx d) 157 xx 
Bài 2: Tìm x, biết: 
a) xx 29 b) 235 xx c) xx 296 d) 2132 xx 
Bài 3: Tìm x, biết: 
a) xx 424 b) xx 213 c) xx 3115 d) 252 xx 
Bài 4: Tìm x, biết: 
a) 152 xx b) xx 123 c) 1273 xx d) xx 112 
Bài 5: Tìm x, biết: 
TOÁN HỌC LỚP 7 
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Trang 15 
a) xx 55 b) 77 xx c) xx 3443 d) xx 2727 
Dạng 5: Đẳng thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối: 
* PP: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối: 
mxCxBxA )()()( Căn cứ bảng trên xét từng khoảng giải bài toán ( Đối chiếu điều kiện tương ứng ) 
BÀI TẬP 
Bài 1: Tìm x, biết: 
a) 123752134 xxxx b) 59351243 xxxx 
c) 2,15
185
1
5
12 xx d) xxx 5
122
132
132 
Bài 2: Tìm x, biết: 
a) 8362 xx 
c) 935 xx d) 2432 xxx 
e) 6321 xxx f) 11422 xx 
Bài 3: Tìm x, biết: 
a) 98232 xxx b) 122213 xxxx 
c) 422331 xxx d) xxx 215 
e) 132 xxx f) 31 xxxx 
Bài 4: Tìm x, biết: 
a) 352 xx b) 853 xx 
c) 45212 xx d) 12433 xxx 
Dạng 6:: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối hàng loạt: 
)D(xC(x)B(x)A(x) (1) 
Điều kiện: D(x) 0 kéo theo 0)(;0)(;0)( xCxBxA 
Do vậy (1) trở thành: A(x) + B(x) + C(x) = D(x) 
Ví dụ: xxxx 4321 
Điều kiện: 4x≥0, suy ra x≥0. 
Với x≥0 thì x+1>0; x+2>0; x+3>0 
 Nên xxxx 4321 khi (x+1)+(x+2)+(x+3)=4x, suy ra x=6 (thỏa mãn đk) .Vậy x=6. 
BÀI TẬP 
Bài 1: Tìm x, biết: 
a) xxxx 4321 b) 154321 xxxxx 
TOÁN HỌC LỚP 7 
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Trang 16 
c) xxxx 42
1
5
32 d) xxxxx 54,13,12,11,1 
Bài 2: Tìm x, biết: 
a) xxxxx 101101
100...101
3
101
2
101
1 
b) xxxxx 100100.99
1...4.3
1
3.2
1
2.1
1 
c) xxxxx 5099.97
1...7.5
1
5.3
1
3.1
1 
d) xxxxx 101401.397
1...13.9
1
9.5
1
5.1
1 
Dạng 7: Dạng hỗn hợp: 
Bài 1: Tìm x, biết: 
a) 5
4
2
112 x b) 22
12 22 xxx c) 22 4
3 xxx 
Bài 2: Tìm x, biết: 
a) 5
1
2
112 x b) 5
2
4
312
1 x c) xxx 4
32 
Bài 3: Tìm x, biết: 
a) xxx 4
32 b) 4
324
322
1 
 xxx c) 4
324
322
1 xxx 
Bài 4: Tìm x, biết: 
a) 14132 xxx b) 211 x c) 2513 x 
Dạng 8: 0BA 
Phương pháp: 
Cách giải chung: 0 BA 
B1: đánh giá: 00
0 
 

BA
B
A
B2: Khẳng định: 0 BA 
 0
0
B
A
BÀI TẬP 
Bài 1: Tìm x, y thoả mãn: 
a) 05343 yx b) 025
9 yyx c) 05423 yx 
Bài 2: Tìm x, y thoả mãn: 
TOÁN HỌC LỚP 7 
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Trang 17 
a) 037
2
4
35 yx b) 013
23
17
115,14
3
2
1
3
2 yx c) 020082007 yx 
* Chú ý1: Bài toán có thể cho dưới dạng 0 BA nhưng kết quả không thay đổi 
* Cách giải: 0 BA (1) 
00
0 
 

BA
B
A (2) 
Từ (1) và (2) 0 BA 
 0
0
B
A 
Bài 3: Tìm x, y thoả mãn: 
a) 08615 yx b) 0342 yyx c) 0122 yyx 
Bài 4: Tìm x, y thoả mãn: 
a) 0511812 yx b) 01423 yyx c) 0107 xyyx 
* Chú ý 2: Do tính chất không âm của giá trị tuyệt đối tương tự như tính chất không âm của luỹ thừa 
bậc chẵn nên có thể kết hợp hai kiến thức ta cũng có các bài tương tự. 
Bài 5: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: 
a) 032 yyx b) 043 20082007 yyx 
c) 0120072006 yyx d) 0320075 2008 yyx 
Bài 6: Tìm x, y thoả mãn : 
a) 031 22 yx b) 072552 54 yx 
c) 02
1423 2004 yyx d) 02
1213
2000
 yyx 
Bài 7: Tìm x, y thoả mãn: 
a) 020082007 yx b) 03
2103
7
5 yyx 
c) 025
6
5
4
2008
2007
2
1
4
3
2
1 2006 
 yx d) 04200822007 20072008 yyx 
Dạng 9: BABA 
Phương pháp: 
Sử dụng tính chất: baba Từ đó ta có: 0. bababa 
Bài 1: Tìm x, biết: 
a) 835 xx b) 352 xx c) 61353 xx 
d) 115232 xx e) 23321 xxx f) 24253 xxx 
Bài 2: Tìm x, biết: 
TOÁN HỌC LỚP 7 
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Trang 18 
a) 264 xx b) 451 xx c) 132373 xx 
d) xxx 342315 e) 31132 xxx f) 472 xx 
Bài 3: Tìm x, y thoả mãn : 
a) 031 22 yx 
Bài 4: Tìm x, y thoả mãn: 
a) |x-2007|+|y-2008|≤0 
b) |x+5|+|3-x|=8 
Dạng 10: |f(x)|>a (1) 
Phương pháp: 
- Nếu a<0: (1) luôn đúng với mọi x 
- Nếu a>0: (1) suy ra f(x)>a hoặc f(x)<-a. 
- Nếu a=0(1) suy ra f(x)=0 
Ví dụ: 
BÀI TẬP: 
Tìm x nguyên sao cho 
|x-2|>6 ; |3x+1|≥5 ; |x+1|≥-6 
Dạng 11: Tìm x sao cho |f(x)|<a 
Phương pháp: 
- Nếu a<0: không tồn tại x 
- Nếu a>0 thì |f(x)|<a khi –a<f(x)<a. Từ đó tìm được x. 
- Nếu a=0 suy ra f(x)=0 
BÀI TẬP: 
Tìm x nguyên sao cho: 
|x-2|<6 ; |3x+1|≤5 ; |x+1|<-6 ; 3<|x+2|<5 
Dạng 12: Tìm cặp giá trị ( x; y ) nguyên thoả mãn đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: 
Nếu: mBA với 0 m 
* Cách giải: 
* Nếu m = 0 thì ta có 0 BA 
 0
0
B
A 
* Nếu m > 0 ta giải như sau: 
mBA (1) 
Do 0 A nên từ (1) ta có: mB 0 từ đó tìm giá trị của B và A tương ứng . 
Bài 1: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn: 
a) 020082007 xx b) 032 yyx c) 0122 yyx 
Bài 2: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn: 
a) 043 5 yyx b) 035 4 yyx c) 02313 yyx 
TOÁN HỌC LỚP 7 
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Trang 19 
Bài 3: Tìm cặp số nguyên (x, y ) thoả mãn: 
a) 324 yx b) 4112 yx c) 553 yx d) 7325 yx 
Bài 4: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: 
a) 5453 yx b) 121246 yx c) 10332 yx d) 21343 yx 
Bài 5: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: 
a) 3232 xy b) 152 xy c) 432 2 xy d) 2123 2 xy 
Dạng 13: mBA với m > 0. 
* Cách giải: Đánh giá 
mBA (1) 
00
0 
 

BA
B
A (2) 
Từ (1) và (2) mBA 0 từ đó giải bài toán kBA như dạng 1 với mk 0 
Bài 1: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: 
a) 3 yx b) 425 yx c) 3412 yx d) 453 yx 
Bài 2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: 
a) 7215 yx b) 53524 yx c) 31253 yx d) 7124123 yx 
Dạng 14:Sử dụng bất đẳng thức: baba xét khoảng giá trị của ẩn số. 
Bài 1: Tìm các số nguyên x thoả mãn: 
a) 341 xx b) 532 xx c) 761 xx d) 83252 xx 
Bài 2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau. 
a) x + y = 4 và 62 yx b) x +y = 4 và 512 xyx 
c) x –y = 3 và 3 yx d) x – 2y = 5 và 612 yx 
Bài 3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn đồng thời: 
a) x + y = 5 và 421 yx b) x – y = 3 và 416 yx 
c) x – y = 2 và 41212 yx d) 2x + y = 3 và 8232 yx 
Bài 4: Tìm các số nguyên x thoả mãn: 
a) 032 xx b) 05212 xx c) 0223 xx d) 02513 xx 
Bài 5: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: 
a) 112 yxx b) yxx 13 c) 21252 yxx 
Bài 6: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: 
a) 1231 yxx b) 1152 yxx c) 0253 yxx 
Dạng 15:Sử dụng phương pháp đối lập hai vế của đẳng thức: 
TOÁN HỌC LỚP 7 
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Trang 20 
* Cách giải: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: A = B 
Đánh giá: mA (1) 
Đánh giá: mB (2) 
Từ (1) và (2) ta có: 
mB
mA
BA 
Bài 1: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: 
a) 22312 yxx b) 31
1215 yxx 
c) 262
1053 2 xy d) 33
631 yxx 
Bài 2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: 
a) 252
81232 2 yxx b) 22
1613 yyxx 
c) 23
125313 2 yxx d) 24
10512 yyx 
Bài 3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: 
a) 31
1472 2 yyyx b) 523
2042 2 yx 
c) 22008
6320072 yx d) 653
3052 yyx 
Dạng 16: Tìm GTLN-GTNN của biểu thức 
Phương pháp: 
- Tìm giá trị nhỏ nhất a+ +c. ( Chỉ có GTNN) 
Vì ≥0; nên a+ +c. a. Vậy GTNN là a khi =0 và =0 suy ra x 
- Tìm giá trị nhỏ nhất ( Chỉ có GTNN) 
Vì ≥0; nên a- -c. a., suy ra . Vậy GTNN là . khi 
=0 và =0 suy ra x. 
- Tìm giá trị lớn nhất a- -c. ( Chỉ có GTLN) 
Vì ≥0; nên a- -c. a. Vậy GTLN là a khi =0 và =0 suy ra x. 
- Tìm giá trị lớn nhất ( Chỉ có GTLN) 
Vì ≥0; nên a+ +c. a., suy ra . Vậy GTLN là . khi 
=0 và =0 suy ra x. 
BÀI TẬP 
TOÁN HỌC LỚP 7 
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Trang 21 
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: 
a) 5,35,0 xA b) 24,1 xB c) 54
23
x
x
C d) 13
32
x
x
D 
e) 5,125,5 xE f) 1432,10 xF g) 123254 yxG 
h) 8,55,2
8,5
 xH i) 8,55,2 xI k) 2410 xK 
l) 125 xL m) 32
1
 xM n) 453
122 xN 
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
a) xA 4,37,1 b) 5,38,2 xB c) xC 3,47,3 
d) 2,144,83 xD e) 5,175,7534 yxE f) 8,55,2 xF 
g) 8,29,4 xG h) 7
3
5
2 xH i) xI 9,15,1 
k) 4132 xK l) 1232 xL m) 1415 xM 
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
a) 3734
155 xA b) 721158
21
3
1
x
B c) 85453
20
5
4
 yxC 
d) 612322
246 xyxD e) 14553
21
3
2
2 xyxE 
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
a) 457
11572
x
x
A b) 6722
1372
y
y
B c) 816
32115
x
x
C 
Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
a) 24754
85 
x
A b) 35865
14
5
6
 yB c) 351233
28
12
15
 xyxC 
Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
a) 5643
336421
x
x
A b) 1452
1456
y
y
B c) 1273
68715
x
x
C 
Sử dụng bất đẳng thức baba 
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
a) 32 xxA b) 5242 xxB c) 1323 xxC 
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
a) 415 xxA b) 82373 xxB c) 125434 xxC 
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
TOÁN HỌC LỚP 7 
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Trang 22 
a) 7523 xxxA b) 51431 xxxB 
c) 35242 xxxC d) 311653 xxxD 
Bài 4: Cho x + y = 5 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
21 yxA 
Bài 5: Cho x – y = 3, tìm giá trị của biểu thức: 
16 yxB 
Bài 6: Cho x – y = 2 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
1212 yxC 
Bài 7: Cho 2x+y = 3 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2232 yxD 
CHUYÊN ĐỀ III: LŨY THỪA 
Các công thức: 
1. n
n thua so
a a.a...a  7. 
n
n
n
a a( )
b b
2. 0a 1 a 0 8. m n n m m.n(a ) (a ) a 
3. n
n
1a
a
 9. n
m
mnn m aaa )( 
4. m n m na .a a 10. nkn k aa 
5. 
m
m n
n
a a
a
 11. 
m
n
m n m
n
1 1a
a
a
6. n n n(a.b) a .b 
12. 
knvoia
knvoia
an n
2
12, 
CÁC DẠNG TOÁN: 
Dạng 1: Tính giá trị biểu thức 
BÀI TẬP: 
Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau 
a) 4. 
2 3 3 31 3 5 325. : :4 4 4 2
 b) 
0 23 1 12 3. 1 2 : 82 2
Bài 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa 
 a) 2 19.3 . .2781 d) 
3 14.32 : 2 .16
TOÁN HỌC LỚP 7 
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Trang 23 
 c) 4 5 13 .3 : 27 d) 
2
2 5
2 .4.32
2 .2 
Bài 3: Tính hợp lý 
 a) 30,25 .32 b) 3 40,125 .80 
 c) 
2 5
20
8 .4
2 d) 
11 17
10 15
81 .3
27 .9 
 e) 2 2 2
1 13 . .81 .243 3 f) 
6 2 44 .256 .2 
 g) A = 
6 5 9
4 12 11
4 .9 6 .120
8 .3 6
 h)B = 
2 2
3 2
4 .25 32.125
2 .5
Dạng 2: Các bài toán tìm x 
Phương pháp: 
Cần đưa về cùng số mũ hoặc cùng cơ số. Chú ý lũy thừa mũ chẵn ta phải chia 2 trường hợp, mũ lẻ chỉ có 
một trường hợp. 
Chú ý: 
a2n=b2n thì a=b hoặc a=-b 
a2m=a2n thì a=0, 1,-1 
Ví dụ: a, x3 = -27=(-3)3 b, (2x – 1)3 = 8=23 c, (2x – 3)2 = 9 =32 
BÀI TẬP: 
Bài 1: Tìm x biết 
a) (x -1)3 = 27; b) x2 + x = 0; c) (2x + 1)2 = 25; c) (2x - 3)2 = 36; e) 5x + 2 = 625; 
d) (x -1)x + 2 = (x -1)x + 4; e) (2x - 1)3 = -8. f) 1 2 3 4 5 30 31. . . . ... .4 6 8 10 12 62 64 = 2
x; 
Bài 2: Tìm số nguyên dương n biết: 
a) 32 < 2n 128; b) 2.16 ≥ 2n 4; c) 9.27 ≤ 3n ≤ 243. 
d) 4 n 1 41 .3 .3 99
 e) n n 51 .2 4.2 9.22 f) 5
-3.25n=53n 
Bài 3: Tìm x biết 
a) 
5 73 3.x5 7
b) 
31 1.x3 81
 c) 
31 1x 2 27
d) 
41 16x 2 81
 e) x
3 = -27 f) (2x – 1)3 = 8 
g) (x – 2)2 = 16 h) (2x – 3)2 = 9 
Bài 4: Tìm số hữu tỉ biết : (3y - 1)10 = (3y - 1)20 
TOÁN HỌC LỚP 7 
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Trang 24 
Bài 5 : Tìm x, y : (3x - 5)100 + (2y + 1)200 0 
Bài 6 : 
 a. 9 . 27n = 35 b. (23 : 4) . 2n = 4 
 c. 3-2. 34. 3n = 37 d. 2-1 . 2n + 4. 2n = 9. 25 
 e. 125.5 5n 5.25 f. (n54)2 = n 
 g. 243 3n 9.27 h. 2n+3 . 2n =32 
Bài 7: Tìm số tự nhiên n biết 
a) 2x.4=128 b) 2x-15=17 c) 3x+25=26.22+2.30 d) 27.3x=243 
e) 49.7x=2401 g) 34.3x=37 
Bài 8.Tìm x, y a. 2x+1 . 3y = 12x b. 10x : 5y = 20y 
Bài 9. Tìm n 
 a. 411 . 2511 2n. 5n 2012.512 
 b. n222
666666.333
4444
55
555555
555
5555
Dạng 3: Các bài toán so sánh: 
Phương pháp: 
Ta đưa về cùng cơ số rồi