Kỳ thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 (Có đáp án) - Năm học 2009-2010 - Trường THCS Nga Sơn

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN NGA SƠN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7
NĂM HỌC 2009-2010
Môn thi: TOÁN
Câu 1 ( 4 điểm) Tìm x biết:
Câu 2 (3 điểm) So sánh: 
và b) và 
c) và 
Câu 3 (4 điểm) Tìm ba số tự nhiên có tổng các bình phương là 1201; số thứ nhất và số thứ hai có tỉ lệ là 3 và 4; số thứ nhất và số thứ ba tỉ lệ với 5 và 8
Câu 4 (8 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân ở A. Gọi M là trung điểm BC, điểm E nằm giữa M và C. Kẻ BH, CK cùng vuông góc với AE (H và K thuộc đường thẳng AE). Chứng minh rằng:
BH = CK
Tam giác MHK là tam giác vuông cân
Khi E di động trên đoạn thẳng MC thì luôn không đổi
Câu 5 (1 điểm) Cho ba số chính phương . Chứng minh rằng
ĐÁP ÁN HSG 7 NGA SƠN 2009-2010
Câu 1.
Vậy 
 hoặc 
*Nếu 
*Nếu 
Vậy 
 Vậy 
*) Xét , VP < 0 nên không có giá trị nào của x thỏa mãn
*) Xét và nên 
Khi đó (*) trở thành: 
Vậy 
Câu 2. 
Ta có: 
Vì nên 
Vậy 
Ta có: 
Vậy 
Ta có 
Vì nên từ (1) và (2) suy ra 
Vậy P > Q
Câu 3. 
Gọi 3 số tự nhiên cần tìm là . Theo đề bài ta có: 
và 
Đặt 
Vậy là ba số phải tìm
Câu 4
Xét và có:
(cùng phụ với 
Dễ thấy 
Mà 
Do vuông cân nên vuông cân tại M
Xét và có: (chứng minh câu a)
(cùng phụ với ; MA = MB (chứng minh trên)
Theo câu b) và (1)
Mà 
Từ (1) và (2) vuông cân tại M
Khi E khác M và C
Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông ACK ta có:
mà 
không đổi
*Khi E trùng với C thì 
*Khi E trùng với M thì 
Vậy khi E di động trên đoạn thẳng MC thì tổng luôn không đổi
Câu 5. Theo đề bài là 3 số chính phương. Mà một số chính phương khi chia cho 3 hoặc cho 4 đều chỉ có thê dư 0 hoặc dư 1
Do đó trong 3 số chính phương x; y; z khi chia cho 3 phải có hai số có cùng số dư, nên 3 số phải có ít nhất 1 số chia hết cho 3 suy ra
Chứng minh tương tự ta cũng có 
Mà nên