Bài tập Hình học 7 - Chủ đề 7: Tam giác cân. Tam giác đều

CHỦ ĐỀ 7: TAM GIÁC CÂN. TAM GIÁC ĐỀU.
A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1/ Tam giác cân.
	* Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau
	+ Hai cạnh bằng nhau gọi là hai cạnh bên.
	+ Cạnh còn lại gọi là cạnh đáy.
	* Tính chất:
	+ Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.
	+ Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
	* Tam giác vuông cân 
+ Có hai cạnh góc vuông bằng nhau.
+ Hai góc ở đáy bằng 45o
2/ Tam giác đều.
	* Tam giác đều: là tam giác có ba cạnh bằng nhau.
	* Hệ quả:
	+ Trong tam giác đều, mỗi góc bằng 60o
	+ Nếu một tam giác có ba góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.
	+ Tam giác cân có một góc bằng 60o là tam giác đều.
B/ BÀI TẬP VẬN DỤNG.
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. 
	a/ Chứng minh rằng tam giác ADE là tam giác cân. 
	b/ Kẻ BH ^ AD ( H Î AD ), kẻ CK ^ AE ( K Î AE). Chứng minh rằng BH = CK và HK//BC
	c/ Gọi O là giao điểm của BH và CK. Tam giác OBC là tam giác gì? Vì sao? 
	d/ Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh rằng AM, BH, CK đồng quy.
HD: a. DABD=DACE b. DBDH = DCKE 
 c. DOBC cân tại O vì B = C d, Chỉ ra A,O,M thẳng hàng
Bài 2: Cho D ABC cân tại A . Vẽ BH ^ AC ( H Î AC), CK ^ AB, ( KÎ AB ). 
	a/ Vẽ hình 	
	b/ Chứng minh rằng AH = AK 
	c/ Gọi I là giao điểm BH và CK. Chứng minh 	
	d/ Đường thẳng AI cắt BC tại P. Chứng minh AI ^ BC tại P. 
HD: b. DAHB=DAKC c. DKAI=DHAI d. DABH=DACH
Bài 3: Cho D ABC cân tại A. Kẻ AH ^ BC ( H Î BC ) . 
	a/ Chứng minh BH = HC 	 
	b/ Kẻ HE ^ AC ( E Î AC), HF ^ AB ( F Î AB ). Hỏi D HEF là tam giác gì? Vì sao? 
HD: a. DABH=DACH b. DHFB=DHEC
Bài 4: Cho tam giác ABC cân có AB = AC = 5cm, BC= 8cm . Kẻ AH vuông góc với BC tại H.
a/ Chứng minh: HB = HC và BAH = CAH.
b/ Tính độ dài AH.
c/ Kẻ HD ^ AB ( D Î AB ), Kẻ HE ^ AC (E Î AC ). Chứng minh: êHDE là tam giác cân
HD: a, DABH=DACH b. Pitago AH=3cm c. DBHP=DCHE
Bài 5: Cho êABC cân tại A. Kẻ BD vuông góc với AC và kẻ CE vuông góc với AB. BD và CE cắt nhau tại I. Chứng minh:
a) 
b) BAI = CAI 
c) AI là đường trung trực của BC.
HD:b. DEAI = DDAI c. Gọi H là giao AI và BC, DABH=DACH
Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Qua A vẽ đường thẳng d // BC. Chứng minh rằng:
a) êABD = êACD.
b) AD là tia phân giác của góc BAC.
c) ADd.
HD: b. DADB=DADC c. AD vuông BC, BC//d
Bài 7: Cho êABC có góc A bằng 600. Tia phân giác của góc ABC cắt tia phân giác của góc ACB ở I.
a) Cho biết CBA = 2ACB. Tính số đo ACB .
b) Tính số đo BIC.
HD: a. B + C = 120O 
Bài 8: Cho êABC, D là trung điểm cạnh BC. Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE = DA. Chứng minh rằng:
a) êADB = êEDC.
b) AB//CE.
c) ABE = ECA
HD:b. DAB = DEC theo a c. êACE =êEBA
Bài 9: Cho êABC vuông tại A. Tia phân giác của góc B cắt AC ở D; E là một điểm trên cạnh BC sao cho BE = BA. 
a) Chứng minh rằng: êABD = êEBD.
b) Chứng minh rằng: DEBC.
c) Gọi F là giao điểm của DE và AB. Chứng minh rằng DC = DF.
HD: c. êDEC = êDAF.
Bài 10: Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) có góc A bằng 600. D là trung điểm của cạnh AC. Trên tia AB lấy điểm E sao cho AE = AD. Chứng minh rằng:
a) êADE là tam giác đều.
b) êDEC là tam giác cân.
c) CEAB.
HD:b. DE=CD=AD c. Góc CED=30
Bài 11: Cho êABC vuông cân tại A. M là trung điểm cạnh BC. Điểm E nằm giữa M và C. Vẽ BHAE tại H, CKAE tại K. Chứng minh rằng:
a) BH = AK.
b) êHBM = êKAM.
c) êMHK vuông cân.
HD:a. êABH=êACK c. MK = MH, góc MKH = MHK = MHB = 45
Bài 12: Cho đoạn AB = 7cm, trên AB lấy C sao cho AC = 2cm, trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB kẻ Ax và By cùng vuông góc với AB. Lấy D trên Ax, E trên By sao cho AD = 10cm, BE = 1cm.
a) Tính CD, CE.
b) Chứng minh CD vuông góc CE
HD: b. Kẻ DH vuông By, suy ra ADHB là HCN, từ đó tính ED
Bài 13: Cho D ABC, trung tuyến AM cũng là phân giác.
	a/ Chứng minh rằng D ABC cân
	b/ Cho biết AB = 37, AM = 35, tính BC.
HD: a. Kẻ MK vuông AB, MP vuông AC, suy ra MK = MP, vì dt(AMB)=dt(AMC) nên AC=AB
 b. BC=2BM
Bài 14: Cho tam giác ABC vuông tại A, = 150. Trên tia BA lấy điểm O sao cho BO = 2AC. Chứng minh rằng tam giác OBC cân.
HD: Vẽ D đều BMC, góc OBM =150; gọi H là trung điểm OB =>D HMB = D ABC, = 900
Bài 15: Cho tam giác ABC cân tại A, Â = 800. Gọi O là một điểm ở trong tam giác sao cho góc OBC = 300; góc OCB = 100. Chứng minh rằng D COA cân.
HD: vẽ tam giác đều BCM, DOBC=DAMC(g.c.g) nên CO=CA
Bài 16: Cho D ABC cân tại A, Â = 1000. Gọi O là một điểm nằm trên tia phân giác của góc C sao cho góc CBO = 300. Tính góc CAO.
HD:Vẽ tam giác đều BCM, góc CAO = CMA + MCA
Bài 17: Cho tam giác ABC cân tại A, Â = 300. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa C vẽ tia Bx ^ BA. Trên tia Bx lấy điểm N sao cho BN = BA. Tính góc BCN
HD: kẻ By sao cho BC là phân giác .
 Lấy D sao cho BD = BA.
B = C = 75,
AB ^ BN (gt)Þ 90oÞ ABC + CBN = 90o 
Þ CBN =90o – 75o = 15o
Þ DBN = 2CBN = 2 ´ 15o = 30o 
Þ ABD = ABN - DBN = 90o – 30o = 60o 
Þ DABD đều
Þ BAD = 60o 
Þ CAD = BAD - BAC = 60o – 30o = 30o 
Þ BAC = CAD (= 30o)
DBAC = DDAC (c – g – c) Þ BC = CD 
 	DBDC = DBNC (c – g – c)Þ CD = CN 
Þ BC = CN 
Þ DBCN cân C 
Þ BCN = 180O - (CBN + CNB) = 180o - 2 CBN = 180o – 2 ´ 15o = 150o
Bài 18: Cho DABC cân tại A, Â = 1000. Trên tia AC lấy điểm D sao cho AD = BC. Tính góc CBD.
HD: Dựng tam giác đều ADE ; BAE =400; DBAE=DABC (c.g.c) nên AB = BE = AC
 DADB = DDEB(c.c.c) nên CDB = EDB = 30o nênCBD = 10o
Bài 19: Cho DABC cân tại A, Â = 1080. Gọi O là một điểm nằm trên tia phân giác của góc C sao cho CBO = 120. Vẽ tam giác đều BOM (M và A cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ BO). Chứng minh rằng:
	a) Ba điểm C, A, M thẳng hàng
	b) Tam giác AOB cân
HD: a, MOC =1500; DBOC = DMOC nên OCB = OCM mà OCB = OCA 
Bài 20: Cho DABC cân tại A, Â = 800. Trên cạnh BC lấy điểm I sao cho góc BAI = 500; trên cạnh AC lấy điểm K sao cho góc ABK = 300. Hai đoạn thẳng AI và BK cắt nhau tại H. Chứng minh rằng D HIK cân.
Bài 21: Tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến AM. Trên cạnh AB lấy điểm E, trên cạnh AC lấy điểm F sao cho góc EMF = 900. Chứng minh rằng AE = CF.
HD: DAEM = DCFM (g.c.g)
Bài 22: Cho D ABC cân tại A (AB > BC). Trên tia BC lấy điểm M sao cho MA = MB. Vẽ tia Bx // AM (Bx và AM cùng nằm trong nửa mặt phẳng bờ AB). Trên tia Bx lấy điểm N sao cho BN = CM. Chứng minh rằng:
	a) DABN = DACM
b) D AMN cân.
HD: DABN = DACM (c.g.c)
Bài 23: Cho DABC cân A, cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, trên tia đối BC lấy M sao cho MA=MC, trên tia đối AM lấy N sao cho AN = BM.
a) AMC = BAC.
b) CM = CN
c) Tìm điều kiện DABC để CM vuông CN.
HD: a. AMC = BAC = 180o - 2C, b. DABC cân tại A có A = 45O
Bài 24: Cho DABC, đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành 3 phần bằng nhau. 
a) CMR: DABC vuông
b) CMR: DABM là tam giác đều?
HD: Vẽ MI vuông AC suy ra BH=MH=MI=1/2BM=1/2MC nên C = 30o
Bài 25: Cho DABC vuông tại A, trên BC lấy M,N sao cho BM = BA; CA = CN, Tính góc MAN?
HD:góc MAN = 180 - M1 - N1 = 45.
Bài 26: Cho DABC nhọn có A = 60o, M và N là trung điểm AB,AC, đường cao BD.
a) DBMD và DAMD là tam giác gì?
b) Trên tia AB lấy E sao cho AE=AN. CMR: CE vuông AB.
HD: a, MD = MA = MB = AB:2 
 b, DAEN đều nên EN = AC:2 = NC, ENC = 120 nên CEN = 30 => CEA = CEN + NEA