Bài tập Hình học 7 - Chủ đề 9: Chứng minh ba điểm thẳng hàng

CHỦ ĐỀ 9: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG.
Đây là kiến thức thường áp dụng đến chương 2 Hình Lớp 7
1. Phương pháp 1: (Hình 1)
 	* Nếu thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.
	Cơ sở lý thuyết: Góc có số đo bằng 180o là góc bẹt
2. Phương pháp 2: ( Hình 2)
 	Nếu AB // a và AC // a thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.
 	Cơ sở lý thuyết là: tiên đề Ơ – Clit- tiết 8- hình 7
3. Phương pháp 3: ( Hình 3)
 	* Nếu AB a ; AC A thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.
 	Cơ sở của phương pháp này là: Có một và chỉ một đường thẳng a’ đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước
* Hoặc chứng minh A; B; C cùng thuộc một đường trung trực của một đoạn thẳng.
4. Phương pháp 4: ( Hình 4) 
 	* Nếu tia OA và tia OB cùng là tia phân giác của góc xOy thì ba điểm O; A; B thẳng hàng.
 	Cơ sở của phương pháp này là: Mỗi góc có một và chỉ một tia phân giác .
 	* Hoặc : Hai tia OA và OB cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox , thì ba điểm O, A, B thẳng hàng.
5. Phương pháp 5: Nếu K là trung điểm BD, K’ là giao điểm của BD và AC. Nếu K’ là trung điểm BD thì K’ K thì A, K, C thẳng hàng.
 	Cơ sở của phương pháp này là: Mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm
B/ BÀI TẬP VẬN DỤNG:
I/ PHƯƠNG PHÁP 1
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông ở A, M là trung điểm AC. Kẻ tia Cx vuông góc CA (tia Cx và điểm B ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC). Trên tia Cx lấy điểm D sao cho CD = AB. Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng. 
 	Gợi ý: Muốn B, M, D thẳng hàng cần chứng minh 
 Do nên cần chứng minh 
Hướng dẫn
XétAMB và CMD có: 
	AB = DC (gt).
 MA = MC (M là trung điểm AC) 
	Do đó: AMB = CMD (c.g.c). Suy ra: 
	Mà (kề bù) nên .
	Vậy ba điểm B; M; D thẳng hàng.
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của AB lấy điểm D mà AD = AB, trên tia đối tia AC lấy điểm E mà AE = AC. Gọi M; N lần lượt là các điểm trên BC và ED sao cho CM = EN. Chứng minh ba điểm M; A; N thẳng hàng. 
Gợi ý: Chứng minh 
	 Từ đó suy ra ba điểm M; A; N thẳng hàng. 
Hướng dẫn
	ABC = ADE (c.g.c) 
	ACM = AEN (c.g.c) 
	Mà (vì ba điểm E; A; C thẳng hàng) 
=> 
Vậy ba điểm M; A; N thẳng hàng (đpcm)
BÀI TẬP THỰC HÀNH CHO PHƯƠNG PHÁP 1
Bài 1: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC, trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BE và CD. Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng. 
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông ở A có . Vẽ tia Cx BC (tia Cx và điểm A ở phía ở cùng phía bờ BC), trên tia Cx lấy điểm E sao cho CE = CA. Trên tia đối của tia BC lấy điểm F sao cho BF = BA. Chứng minh ba điểm E, A, F thẳng hàng. 
Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, điểm D thuộc cạnh AB. Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CE = BD. Kẻ DH và EK vuông góc với BC (H và K thuộc đường thẳng BC). Gọi M là trung điểm HK. Chứng minh ba điểm D, M, E thẳng hàng.
Bài 4: Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB, kẻ Hai tia Ax và By sao cho .Trên Ax lấy hai điểm C và E(E nằm giữa A và C), trên By lấy hai điểm D và F ( F nằm giữa B và D) sao cho AC = BD, AE = BF. Chứng minh ba điểm C, O, D thẳng hàng , ba điểm E, O, F thẳng hàng.
Bài 5. Cho tam giác ABC . Qua A vẽ đường thẳng xy // BC. Từ điểm M trên cạnh BC, vẽ các đường thẳng song song AB và AC, các đường thẳng này cắt xy theo thứ tự tại D và E. Chứng minh các đường thẳng AM, BD, CE cùng đi qua một điểm.
II/ PHƯƠNG PHÁP 2
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB. Trên Các đường thẳng BM và CN lần lượt lấy các điểm D và E sao cho M là trung điểm BD và N là trung điểm EC. Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng. 	
Gợi ý: Ta chứng minh AD // BC và AE // BC.
Hướng dẫn
Xét BMC và DMA có: 
	MC = MA (do M là trung điểm AC)
	 (hai góc đối đỉnh)
	MB = MD (do M là trung điểm BD)
	Vậy: BMC = DMA (c.g.c)
	Suy ra: , hai góc này ở vị trí so le trong nên BC // AD (1)
	Chứng minh tương tự : BC // AE (2) 
	Điểm A ở ngoài BC có một và chỉ một đường thẳng song song BC nên từ (1) và (2) và theo Tiên đề Ơ-Clit suy ra ba điểm E, A, D thẳng hàng. 
Ví dụ 2: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tai trung điểm O của mỗi đoạn. Trên tia AB lấy lấy điểm M sao cho B là trung điểm AM, trên tia AD lấy điểm N sao cho D là trung điểm AN. Chúng minh ba điểm M, C, N thẳng hàng.
Gợi ý: Chứng minh: CM // BD và CN // BD từ đó suy ra M, C, N thẳng hàng.
	Hướng dẫn
XétAOD và COD có: 
	 OA = OC (vì O là trung điểm AC)
	 (hai góc đối đỉnh)
 OD = OB (vì O là trung điểm BD)
	Vậy AOD = COB (c.g.c)
	Suy ra: . 
	Do đó: AD // BC. Nên (ở vị trí đồng vị) Hình 8
	Xét DAB và CBM có : 
 	AD = BC ( do AOD = COB), , AB = BM ( B là trung điểm AM)
	Vậy DAB = CBM (c.g.c). Suy ra . Do đó BD // CM. (1)
	Lập luận tương tự ta được BD // CN. (2)
	Từ (1) và (2) , theo tiên đề Ơ-Clit suy ra ba điểm M, C, N thẳng hàng.
BÀI TẬP THỰC HÀNH CHO PHƯƠNG PHÁP 2
Bài 1. Cho tam giác ABC. Vẽ cung tròn tâm C bán kính AB và cung tròn tâm B bán kính AC. Đường tròn tâm A bán kính BC cắt các cung tròn tâm C và tâm B lần lượt tại E và F. ( E và F nằm trên cùng nửa mặt phẳng bờ BC chứa A). Chứng minh ba điểm F, A, E thẳng hàng.
III/ PHƯƠNG PHÁP 3
Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là trung điểm BC.
	a) Chứng minh AM BC.
b) Vẽ hai đường tròn tâm B và tâm C có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại hai
điểm P và Q . Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng. 
	Gợi ý: Xử dụng phương pháp 3 hoặc 4 đều giải được.
 	- Chứng minh AM , PM, QM cùng vuông góc BC 
	- hoặc AP, AQ là tia phân giác của góc BAC.
Hướng dẫn
Cách 1. Xử dụng phương pháp 3.
a) Chứng minh AM BC.
	XétΔABM và ΔACM có: 
 	AB =AC (gt) 
 	AM chung 
	 	MB = MC (M là trung điểm BC)
	Vậy ΔABM = ΔACM (c.c.c). Suy ra: (hai góc tương ứng)
	Mà (hai góc kề bù) nên 
 Do đó: AM BC (đpcm)
b) Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng.
	Chứng minh tương tự ta được: ΔBPM = ΔCPM (c.c.c).
	Suy ra: (hai góc tương ứng), mà nên = 900
	Do đó: PM BC. 
	Lập luận tương tự QM BC 
	Từ điểm M trên BC có AM BC,PM BC, QM BC 
	=> ba điểm A, P, Q thẳng hàng (đpcm)
Cách 2. Xử dụng phương pháp 4.
	Chứng minh : 
	ΔBPA = ΔCPA . Vậy AP là tia phân giác của . (1)
	ΔABQ = ΔACQ .Vậy AQ là tia phân giác của . (2)
	Từ (1) và (2) suy ra ba điểm A; P; Q thẳng hàng.	
IV/ PHƯƠNG PHÁP 4
Ví dụ: Cho góc xOy .Trên hai cạnh Ox và Oy lấy lần lượt hai điểm B và C sao cho OB = OC. Vẽ đường tròn tâm B và tâm C có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại hai điểm A và D nằm trong góc xOy. Chứng minh ba điểm O, A, D thẳng hàng.
	Gợi ý: Chứng minh OD và OA là tia phân giác của góc xOy
Hướng dẫn
Xét ΔBOD và ΔCOD có: 
	OB = OC (gt) ; OD chung
	BD = CD (D là giao điểm của hai đường tròn tâm B và tâm C cùng bán kính).
	Vậy ΔBOD =ΔCOD (c.c.c). => . 
	Điểm D nằm trong góc xOy nên tia OD nằm giữa hai tia Ox và Oy.
 Do đó OD là tia phân giác của .
 Chứng minh tương tự ta được OA là tia phân giác của .
	Góc xOy chỉ có một tia phân giác nên hai tia OD và OA trùng nhau. 
 Vậy ba điểm O, D, A thẳng hàng.
BÀI TẬP THỰC HÀNH CHO PHƯƠNG PHÁP 4
Bài 1. Cho tam giác ABC có AB = AC. Kẻ BM AC, CN AB (), H là giao điểm của BM và CN.
	a) Chứng minh AM = AN.
	b) Gọi K là trung điểm BC. Chứng minh ba điểm A, H, K thẳng hàng.
Bài 2. Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi H là trung điểm BC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa C kẻ tia Bx vuông góc AB, trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa B kẻ tia Cy vuông AC. Bx và Cy cắt nhau tại E. Chứng minh ba điểm A, H, E thẳng hàng.
V/ PHƯƠNG PHÁP 5
 Ví dụ 1 . Cho tam giác ABC cân ở A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối tia CA lấy điểm N sao cho BM = CN. Gọi K là trung điểm MN. Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng
	Gợi ý: Xử dụng phương pháp 5
Hướng dẫn
Cách 1: Kẻ ME BC ; NF BC ( E ; F BC)
 và vuông tại E và F có:
 BM = CN (gt), ( cùng bằng )
	Do đó: = (Trường hợp cạnh huyền- góc nhọn)
	Suy ra: ME = NF.
	Gọi K’ là giao điểm của BC và MN.
	MEK’ và NFK’ vuông ở E và F có: ME = NF (cmt), ( so le trong của ME // FN) . Vậy MEK’ = NFK’ (g-c-g). Do đó: MK’ = NK’ .
	Vậy K’ là trung điểm MN, mà K là trung điểm MN nên K K’
	Do đó ba điểm B,K,C thẳng hàng.
Cách 2. Kẻ ME // AC (E BC) (hai góc đồng vị)
	Mà nên . Vậy ΔMBE cân ở M.
	Do đó: MB = ME kết hợp với giả thiết MB = NC ta được ME = CN.
	Gọi K’ là giao điểm của BC và MN.
	Xét ΔMEK’ và ΔNCK’ có: 
	 (so le trong của ME //AC)
	 	ME = CN (chứng minh trên)
	 	 (so le trong của ME //AC)
	Do đó : ΔMEK’ = ΔNCK’ (g.c.g) MK’ = NK’. 
	Vậy K’ là trung điểm MN, mà K là trung điểm MN nên K K’
	Do đó ba điểm B,K,C thẳng hàng.
Lưu ý: Cả hai cách giải trên đa số học sinh chứng minh ΔMEK = ΔNCK vô tình thừa nhận
	 B, K, C thẳng hàng, việc chứng minh nghe có lý lắm nhưng không biết là sai
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC cân ở A , , Gọi O là một điểm nằm trên tia phân giác của góc C sao cho . Vẽ tam giác đều BOM ( M và A cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ BO). Chứng minh ba điểm C, A, M thẳng hàng.
	Gợi ý: Chứng minh từ đó suy ra tia CA và tia CM trùng nhau.
 Hướng dẫn
	Tam giác ABC cân ở A nên (tính chất của tam giác cân). 
	Mà CO là tia phân giác của , nên . Do đó 
ΔBOM đều nên .
	Vậy : 
	Xét ΔBOC và ΔMOC có: 
 	OB = OM ( vì ΔBOM đều)
	OC chung 
	Do đó : ΔBOC = ΔMOC (c.g.c)
	Suy ra: mà (gt) nên .
	Hai tia CA và CM cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ CO và nên tia CA và
 tia CM trùng nhau. Vậy ba điểm C, A, M thẳng hàng. (đpcm)
Lưu ý: Đây mới chỉ là những bước đi định hướng cho 5 phương pháp cơ bản, thầy cô giáo dạy toán lớp 7 muốn sử dụng tài liệu ở mức độ hoàn chỉnh hơn cho phù hợp với HS của mình thì cần bổ sung thêm chi tiết hơn.