Bài tập môn Đại số 7 - Chuyên đề: Chia hết

CHUYÊN ĐỀ CHIA HẾT
LÝ THUYẾT.
Định nghĩa:
Tính chất:
- Nếu a chia hết cho cả m và n, trong đó m, n là hai số nguyên tố cùng nhau thì a chia hết cho m.n
- Nếu tích a.b chia hết cho c, trong đó (b; c) = 1 thì a chia hết cho c
- Với p là số nguyên tố. Nếu a.b chia hết cho p thì hoặc a chia hết cho p hoặc b chia hết cho p
- Khi chia n + 1 số nguyên dương liên tiếp cho n luôn nhận được hai số dư bằng nhau
- Trong n số nguyên liên tiếp, luôn có duy nhất 1 số chia hết cho n
- Nếu thì tồn tại hai số nguyên x, y sao cho: 
LUYỆN TẬP
DẠNG 1: SỬ DỤNG CÁC DẤU HIỆU, TÍNH CHẤT CỦA PHÉP CHIA
 * Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9
 * Chữ số tận cùng của 2n, 3n ,4n, 5n ,6n, 7n, 8n, 9n 
 * Tính chất chia hết của một tổng
 	Bài 1 : Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : 
chia hết cho 10
HD: ta có = 
 =
 =
 = 10( 3n -2n)
Vậy 10 với mọi n là số nguyên dương.
Bài 2 : Chứng tỏ rằng:
A = 75. (42004 + 42003 + . . . . . + 42 + 4 + 1) + 25 là số chia hết cho 100
HD: A = 75. (42004 + 42003 + . . . . . + 42 + 4 + 1) + 25 = 75.( 42005 – 1) : 3 + 25
 = 25( 42005 – 1 + 1) = 25. 42005 chia hết cho 100
Bài 3 : Cho m, n N* và p là số nguyên tố thoả mãn: = (1)
 Chứng minh rằng : p2 = n + 2 
 HD : + Nếu m + n chia hết cho p do p là số nguyên tố và m, n N* 
 m = 2 hoặc m = p +1 khi đó từ (1) ta có p2 = n + 2
 + Nếu m + n không chia hết cho p , từ ( 1) (m + n)(m – 1) = p2
Do p là số nguyên tố và m, n N* m – 1 = p2 và m + n =1 
m = p2 +1 và n = - p2 < 0 (loại) 
 Vậy p2 = n + 2
Bài 4: a) Sè cã chia hÕt cho 3 kh«ng ? Cã chia hÕt cho 9 kh«ng ?
 b) Chøng minh r»ng: chia hÕt cho 7 
HD: a) Ta có 101998 = ( 9 + 1)1998 = 9.k + 1 ( k là số tự nhiên khác không)
 4 = 3.1 + 1 
 Suy ra : = ( 9.k + 1) – ( 3.1+1) = 9k -3 chia hết cho 3 , không chia hết cho 9
Ta có 3638 = (362)19 = 129619 = ( 7.185 + 1) 19 = 7.k + 1 ( k N*)
 4133 = ( 7.6 – 1)33 = 7.q – 1 ( q N*) 
 Suy ra : = 7k + 1 + 7q – 1 = 7( k + q) 
 Bài 5 : 
Chứng minh rằng: chia hết cho 30 với mọi n nguyên dương 
Chứng minh rằng: 2a - 5b + 6c 17 nếu a - 11b + 3c 17 (a, b, c Î Z)
Bài 6 : a) Chứng minh rằng: (a, b Î Z )
 b) Cho đa thức (a, b, c nguyên). 
 CMR nếu f(x) chia hết cho 3 với mọi giá trị của x thì a, b, c đều chia hết cho 3
HD: a) ta có 17a – 34 b và 3a + 2b 
 vì (2, 7) = 1 
Ta có f(0) = c do f(0) 
 f(1) - f(-1) = (a + b + c) - ( a – b + c) = 2b , do f(1) và f(-1) chia hết cho 3 vì ( 2, 3) = 1
 f(1) do b và c chia hết cho 3 
 Vậy a, b, c đều chia hết cho 3
Bài 7 : a) Chøng minh r»ng lµ mét sè tù nhiên 
 b) Cho lµ sè nguyªn tè (n > 2). Chøng minh lµ hîp sè
 HD : b) ta có (2n +1)( 2n – 1) = 22n -1 = 4n -1 (1) .Do 4n- 1 chia hêt cho 3 và lµ sè nguyªn tè (n > 2) suy ra 2n -1 chia hết cho 3 hay 2n -1 là hợp số 
DẠNG 2: XÉT TẬP HỢP SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên ta có : . 
HD :
	Ta có : n hoặc là số chẵn với mọi số tự nhiên n nên 
	Lấy n chia cho 3 ta được : 
	Với 
	Với 
	Với 
Bài 2: Cho số nguyên a không chia hết cho 2 và 3, Chứng minh rằng : 
HD :
	Vì a không chia hết cho 2 và 3 nên a có dạng : 
	Với 
	Với 
Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho: 
HD:
	Ta có: 
	 , 
Khi đó: hoặc hoặc 
Bài 4: Chứng minh rằng có vô số tự nhiên n sao cho và chia hết cho 13
HD:
	Đặt 
	Chọn sao cho , Vậy với mọi số đều thỏa mãn. 
Bài 5: Chứng minh rằng nếu thì 
HD:
	Vì 
	Khi đó: 
	Thấy: và 
	Với 
	Với 
Bài 6: Tìm tất cả các số tự nhiên n để 
HD:
	Lấy n chia cho 3 ta có: 
	Với 
	Với , 
Mà chia 7 dư 1	
	Với 
	Mà chia 7 dư 3 
	Vậy với thì 
Bài 7: Chứng minh rằng: 
HD:
	Lấy n chia cho 5 ta được: 
	Với 
	Với 
	Với 
Bài 8: Cho và , Chứng minh rằng: 
HD:
	Ta có: 
	Xét 
Bài 9: Chứng minh rằng nếu thì 
HD:
	Vì 
	Với 
Bài 10: Tìm số tự nhiên n để: 
HD:
	Xét 
	Ta có: 
	Xét các TH cụ thể ta được: 
Bài 11: Cho hai số tự nhiên m, n thỏa mãn: , Chứng minh rằng: 	
HD:
	Ta có: 
	Nếu ĐPCM
	Nếu =>
	Nên , ĐPCM.
Bài 12: Tìm tất cả các số nguyên x sao cho : 
HD :
	Ta có : 
	Nếu thỏa mãn 
	Nếu 
Bài 13: Cho hai số tự nhiên a, b, Chứng minh rằng: 
HD:
	Ta có: 
	Mặt khác: 
Bài 15: Cho a, b là các số nguyên dương sao cho chia hết cho tích a.b 
	Tính giá trị của biểu thức: 
HD:
	Gọi , ta có: và 
	Vì và và 
	Vì và 
	Vậy 
Bài 16: Cho m, n là hai số nguyên tố cùng nhau. Hãy tìm ước số chung lớn nhất của hai số 
và 
HD :
	Gọi , Vì cùng tính chẵn lẻ. khi đó :
	 và 	(1) 
	Nếu A, B chẵn thì m, n lẻ và d chẵn, Từ (1) =>
	Nếu A, B lẻ thì d lẻ, Từ , tương tự : 	
	Vì 
Bài 17: Cho số tự nhiên , Chứng minh rằng: nếu thì 
HD:
	Ta có: , ta cần chứng minh 
	Mặt khác : có chữ số tận cùng là b 
	Đặt 
	Nếu có tận cùng là 
	Nếu tận cùng là 
Bài 18: Cho số tự nhiên , Chứng minh rằng: 
HD:
	Đặt: 
	Mặt khác, với n lẻ ta có: 
	Nên 
	Mà 
Bài 19: Cho . Chứng minh rằng 
HD:
	Ta có: 
	Mà 
Bài 20: Cho , thỏa mãn: ,
	Chứng minh rằng: 
HD:
	Đặt , Hơn nữa 
	Thì trong đó các số bằng 1 và -1 là bằng nhau. Giả sử có m số 1 và m số -1 
	 và và 
	Từ đó ta được m là số chẵn => n chia hết cho 4. 
Bài 21: Tìm hai số nguyên dương a, b sao cho: và 
HD:
	Ta có: 
	Vì 
Chọn 
DẠNG 3: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT: LẺ
Bài 1: Chứng minh rằng 
HD:
	Ta có: , ta cần chứng minh 
	Ta có : 
	Áp dụng tính chất : với mọi n tự nhiên và 
	Khi đó : và => Vậy A12
	Tương tự : Khi đó 
Bài 2: Cho , CMR : 
HD:
	Ta cần chứng minh và 
	Ta có : 
	Áp dụng tính chất : 
	Tương tự : 
Bài 3: Cho , Chứng minh rằng: 
HD:
	Ta có: 
	Vì và 
Bài 4: Chứng minh rằng: 
HD :
	Ta có: 
Bài 5: Chứng minh rằng: 
HD:
	Ta có: 
	Vì và 
Bài 6: Chứng minh rằng: 
HD:
	Ta có: 
Bài 7: CMR với mọi số tự nhiên n ta có : 
HD :
Ta có: = 
Vì nên ta có đpcm
Bài 8: Chứng minh rằng: 
HD:
Ta có: 
Bài 9: Chứng minh rằng: 
HD:
	Tách . 
Khi đó: 
	Lại có: , và 
	Khi đó: 
	Mặt khác: , 
Mà và 
Bài 10: Chứng minh rằng: 
HD:
	Với 
	Với 
Bài 11: Chứng minh rằng: 
HD:
	Ta có: 
Bài 12: Chứng minh rằng: 
HD:
	Ta có: 
Bài 13: Chứng minh rằng: và n là số chẵn
HD:
	Đặt hay 
	Mặt khác: và 
Bài 14: Tìm giá trị của n để: 
HD:
	Ta có: 
Bài 15: Tìm số tự nhiên n để 
HD:
	Ta có: 
Bài 16: Cho a, b là hai số chính phương lẻ liên tiếp, Chứng minh rằng: 
HD:
	Đặt , Khi đó ta có:
	 và 3 
Bài 17: Cho ba số nguyên dương a, b, c thỏa mãn: , Chứng minh rằng: 
HD :
	Ta có : 60=3.4.5, đặt 
	Nếu a, b, c đều không chia hết cho 3 chia hết cho 3 dư 1
	 , Do đó có ít nhất 1 số chia hết cho 3. Vậy 
	Nếu a, b, c đều không chia hết cho 5 chia 5 dư 1 hoặc 4
	chia 5 dư 2 hoặc 0 hoặc 3 , Do đó có ít nhất 1 số chia hết cho 5 => M5
	 Nếu a, b, c là các số lẻ chia 4 dư 1 
	Do đó 1 trong hai số a, b phải là số chẵn.
	Giả sử b là số chẵn:
	+ Nếu c là số chẵn =>M4
	+ Nếu c là số lẻ, mà là số lẻ 
	 chẵn 
	Vậy 
Bài 18: Chứng minh rằng: 
HD :
	Ta có: , 
Thấy không đồng thời cùng chẵn hoặc cùng lẻ => ĐPCM
DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP
Bài 1: Chứng minh 
HD:
	Với đúng
	Giả sử và 
	Ta cần chứng minh với thì 
	Thật vậy: 
	 Vậy 
Bài 2: Chứng minh rằng: 
HD:
Bài 3: Chứng minh rằng: