Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 - Chuyên đề 15: Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông (Tiếp)

 Ngày soạn: 18/02/2021 Ngày dạy: 11/03/2021
 Chuyờn đề 15. CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG
 NHAU CỦA TAM GIÁC VUễNG (tiếp)
A. Kiến thức cần nhớ
Ngoài cỏc trường hợp bằng nhau đó biết của hai tam giỏc vuụng, cũn cú trường hợp bằng nhau theo cạnh 
huyền – cạnh gúc vuụng.
 • Nếu cạnh huyền và một cạnh gúc vuụng của tam giỏc vuụng này bằng cạnh huyền và một cạnh gúc 
vuụng của tam giỏc vuụng kia thỡ hai tam giỏc đú bằng nhau.
à à ỹ
A = AÂ= 90°ù
 ù
BC = BÂCÂ ýù ị DABC = DAÂBÂCÂ (cạnh huyền – cạnh gúc vuụng).
 ù
AC = AÂCÂ ù
 ỵù
B. Một số vớ dụ
Vớ dụ 1: Cho tam giỏc cõn tại A. Đường thẳng 
vuụng gúc với AB tại B cắt đường thẳng vuụng 
gúc với AC tại C ở D. Chứng minh rằng AD là 
tia phõn giỏc của gúc BAC.
 Giải
* Tỡm cỏch giải. Để chứng minh AD là tia phõn giỏc của gúc BAC, chỳng ta cần chứng minh 
BãAD = CãAD . Do đú hiển nhiờn cần chứng minhDBAD = DCAD .
* Trỡnh bày lời giải.
Xột DBAD và DCAD cú: ÃBD = ÃCD(= 90°); AD là cạnh chung; AB = AC (DABC cõn tại A).
Do đú DBAD = DCAD (cạnh huyền - cạnh gúc vuụng)
ị BãAD = CãAD (cặp gúc tương ứng).
Vậy AD là tia phõn giỏc gúc BAC.
* Nhận xột. Chỳng ta cũn cú DA là tia phõn giỏc của gúc BDC, tam giỏc DBC cõn tại D.
AD vuụng gúc với BC. Vớ dụ 2: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, vẽ AH vuụng gúc với BC. Trờn cạnh BC lấy điểm E sao cho
BE = BA . Kẻ EK ^ AC(K ẻ AC). Chứng minh rằng AK = AH.
 Giải
* Tỡm cỏch giải. Để chứng minh AK = AH , 
chỳng ta cần ghộp chỳng vào hai tam giỏc và 
chứng minh hai tam giỏc đú bằng nhau. Do vậy 
cần chứng minh DAEH = DAEK . 
* Trỡnh bày lời giải. 
DABE cõn tại B nờn BãAE = BãEA,EK / / AB (vỡ 
cựng vuụng gúc với AC) ị EãAB = ÃEK (slt) 
ị ÃEH = ÃEK
ị DAEH = DAEK (ch – gn) ị AK = AH .
Vớ dụ 3. Cho tam giỏc ABC (AB < AC), M là trung điểm của BC. Đường trung trực của BC cắt tia phõn 
giỏc của gúc BAC tại điểm P. Vẽ PH và PK lần lượt vuụng gúc với đường thẳng AB và đường thẳng AC.
a) Chứng minh PB = PC và BH = CK.
b) Chứng minh ba điểm H, M, K thẳng hàng.
c) Gọi O là giao điểm của PA và HK.
Chứng minh OA2 + OP2 + OH2 + OK 2 = PA2
 Giải
 a) DPMB và DPMC cú 
PãMB = PãMC(= 90°), MB = MC , MP là cạnh chung
ị DPMB = DPMC (c.g.c)ị PB = PC (hai cạnh tương ứng)
b) DPHA và DPKA cú PãHA = PãKA(= 90°),PãAH = PãAK , AP là cạnh chung
ị DPHA = DPKA (cạnh huyền - gúc nhọn)
ị PH = PK (hai cạnh tương ứng)
DPHB và DPKC cú PãHB = PãKC = 90°,PB = PC, PH = PK
ị DPHB = DPKC (cạnh huyền - cạnh gúc vuụng)
ị BH = CK (hai cạnh tương ứng)
b) Kẻ BE / / AC(E ẻ HK)ị BãEH = ÃKH (hai gúc đồng vị) (1)
Mà DPHA = DPKA (chứng minh trờn) ị AH = AK (hai cạnh tương ứng)
ị DAHK cõn tại A ị ÃHK = ÃKH (tớnh chất tam giỏc cõn) (2)
Từ (1) và (2) ị BãEH = ÃHK hay BãEH = BãHE ị DBEH cõn tại B ị BH = BE.
Mà BH = CK (chứng minh trờn) ị BE = CK
DBEM và DCKM cú MB = MC,EãBM = KãCM, BE = CK
ị DBEM = DCKM (c.g.c)
ị BãME = CãMK (hai gúc tương ứng)
Mà BãME + EãMC = 180°(hai gúc kề bự)
ị CãMK + EãMC = 180° ị EãMK = 180° ị E, M, K thẳng hàng.
Mà E ẻ HK ị H, M, K thẳng hàng.
c) DAOH và DAOK cú AH = AK,OãAH = OãAK, AO là cạnh chung
ị DAOH = DAOK , suy ra ÃOH = ÃOK , mà hai gúc này kề bự nờn
ÃOH = ÃOK = 90° ị PA ^ HK tại O.
Áp dụng định lý Py-ta-go vào cỏc tam giỏc vuụng tại O là OAH, OAK, OPH, OPK ta cú:
OA2 + OH2 = AH2 ;OA2 + OK 2 = AK 2
OP2 + OH2 = PH2 ;OP2 + OK 2 = PK 2
ị 2(OA2 + OP2 + OH2 + OK 2 )= 2(AH2 + PH2 ) (vỡ AH = AK và PH = PK )
ị OA2 + OP2 + OH2 + OK 2 = AH2 + PH2
Mà tam giỏc PAH vuụng tại H ị AH2 + PH2 = PA2 (định lý Py-ta-go)
ị OA2 + OP2 + OH2 + OK 2 = PA2
C. Bài tập vận dụng
Bài 1. Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Trờn cạnh BC lấy D, E (D nằm giữa B và E) sao cho BD = CE . Vẽ 
DM ^ AB tại M, EN ^ AC tại N. Gọi K là giao điểm của MD và NE. Chứng minh rằng:
a) DMBD = DNCE; b) DMAK = DNAK.
Hướng dẫn:
a) Xột DMBD và DNCE cú: BãMD = CãNE(= 90°);
Bà= Cà;BD = CE . Do đú DMBD = DNCE
(cạnh huyền – gúc nhọn) ị MB = NC .
b) DMBD = DNCE (chứng minh trờn) ị MB = NC
AM + MB = AN + NC nờn AM = AN
Xột DMAK và DNAK cú: ÃMK = ÃNK(= 90°);
AK là cạnh chung; AM = AN.
Do đú DMAK = DNAK (cạnh huyền – cạnh gúc vuụng). Bài 2. Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Trờn tia đối của tia BC lấy điểm D, trờn tia đối của tia CB lấy điểm E 
sao cho BD = CE . Kẻ BH ^ ADtại H, kẻ CK ^ AE tại K.
Chứng minh rằng:
a) DBHD = DCKE; b) DAHB = DAKC; c) BC / /HK.
Hướng dẫn: a) Ta cú ÃBD+ ÃBC = 180°;ÃCE + ÃCB = 180° mà 
ÃBC = ÃCB ị ÃCE = ÃBD
DABD và DACE cú AB = AC;ÃBD = ÃCE;BD = CE
ị DABD = DACE (c.g.c) ị ÃDB = ÃEC
DBHD và DCKE cú BãHD = CãKE(= 90°);HãDB = KãEC ;
BD = CE ị DBHD = DCKE (cạnh huyền – gúc nhọn).
b) Ta cú DAHB và DAKC cú ÃHB = ÃKC(= 90°);
AB = AC;BH = CK(DBHD = DCKE)
ị DAHB = DAKC (cạnh huyền – cạnh gúc vuụng).
c) DAHB = DAKC ị AH = AK
 180°- HãAK
ị DAHK cõn tại A ị ÃHK =
 2
 180°- Dã AE
DADE cõn tại A ị ÃDE =
 2
ị ÃHK = ÃDE ị HK / /DE . Vậy BC // HK.
Bài 3. Cho tam giỏc ABC cú M là trung điểm của BC, AM là tia phõn giỏc gúc A. Kẻ MH vuụng gúc với 
AB; MK vuụng gúc với AC. Chứng minh rằng:
a) MH = MK; b) DABC cõn.
Hướng dẫn: 
a) DAHM và DAKM cú: ÃHM = ÃKM = 90° ;
AM chung; HãAM = KãAM
ị DAHM = DAKM (cạnh huyền gúc nhọn)
ị MH = MK .
b) DBHM và DCKM cú BãHM = CãKM(= 90°);
BM = MC;MH = MK
ị DBHM = DCKM (cạnh huyền, cạnh gúc vuụng)
ị Bà= Càị DABC cõn tại A. Bài 4. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú Cà= 30°, đường cao AH. Trờn đoạn HC lấy điểm D sao cho
HD = HB . Từ C kẻ CE ^ AD . Chứng minh rằng:
a) Tam giỏc ABD là tam giỏc đều. b) EH song song với AC.
Hướng dẫn: 
a) DAHB = DAHD (c.g.c), suy ra AB = AD.
DABC vuụng tại A, cú Cà= 30° nờn Bà= 60° .
Tam giỏc ABD cõn, cú Bà= 60° nờn DABD là tam giỏc đều.
b) EãAC = BãAC- BãAE = 90°- 60° = 30°
ị EãAC = ÃCB
ị DAHC = DCEA (cạnh huyền – gúc nhọn)
Suy ra CH = AE.
DADC cõn tại vỡ Dã AC = Dã CA nờn DA = DC.
Suy ra AE - AD = CH - CD hay DE = DH . Do đú DDEH cõn tại D, hai tam giỏc cõn DAC và DEH 
cú gúc ở đỉnh ÃDC = EãHD ị EãAC = ÃEH
ị EH / / AC .
Bài 5. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Trờn cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BA . Qua D vẽ đường 
thẳng vuụng gúc với BC cắt AC tại E.
a) Chứng minh rằng: AE = DE .
b) Đường phõn giỏc gúc ngoài tại C cắt đường thẳng BE tại K. Tớnh BãAK .
Hướng dẫn:
 a) DABE và DDBE cú:
À= Dà= 90° (Vỡ AE ^ AB, AD ^ BC ) 
AB = AD (giả thiết), BE: cạnh chung
Vậy DABE = DDBE (ch-cgv)
ị AE = DE .
b) Từ cõu a) suy ra ÃBE = Dã BE , do đú BK là phõn giỏc của gúc ABC.
Vẽ KN ^ BA,KH ^ AC,KM ^ BC .
 ả à
Tam giỏc vuụng KMC và tam giỏc vuụng KHC cú: C2 = C1 (giả thiết); CK cạnh chung.
Do đú DKMC = DKHC (cạnh huyền – gúc nhọn), suy ra KM = KH (1)
Ta lại cú DKMB = DKNB (cạnh huyền – gúc nhọn) nờn KM = KN (2)
Từ (1) và (2) suy ra KH = KN
Tam giỏc vuụng AKH và tam giỏc vuụng AKN cú KH = KN;AK cạnh chung.
 à ả ã
Do đú DAKH = DAKN (cạnh huyền – cạnh gúc vuụng) ị A1 = A2 = 45° ị BAK = 135° Bài 6. Cho tam giỏc ABC cú AB = AC; BãAC = 90° và M là trung điểm của BC. Trờn tia đối của tia CB 
lấy điểm D. Kẻ BK vuụng gúc với đường thẳng AD tại K.
 Chứng minh rằng KM là tia phõn giỏc của BãKD .
Hướng dẫn: Kẻ MH ^ BK, MI ^ KD
DABC vuụng cõn tại A cú MB = MC nờn dễ dàng suy ra DAMB = DAMC (c.c.c), từ đú suy ra 
AM ^ BC, BãMA = CãAM
ị AM = MB;Mã AC = 45°
Ta cú: KãBA = CãAD(= 90°- BãAK)ị KãBC = Mã AI
DBMH và DAMI cú 
ÃIM = BãHM = 90°;BM = AM , Mã BH = Mã AI 
 ị DBMH = DAMI (cạnh huyền – gúc nhọn)
 ị MH = MI .
DMHK và DMIK cú Mã HK = Mã IK = 90° , MK chung; MH = MI
ị DMHK = DMIK (cạnh huyền – cạnh gúc vuụng)ị HãKM = IãKM
Vậy KM là tia phõn giỏc BãKD
Bài 7. Cho tam giỏc DEF vuụng tại D và DF > DE . Kẻ DH vuụng gúc với EF (H thuộc cạnh EF). Gọi M 
là trung điểm của EF. Chứng minh rằng Mã DH = Eà- Fà.
Hướng dẫn: Ta cú: ME = MD
ị DMDE cõn tại M ị Mã DE = Eà
Mặt khỏc, ta cú: HãDE = Fà (cựng phụ với gúc HDF)
Ta cú: Mã DH = Mã DE - HãDE = Eà- Fà
Bài 8. Cho tam giỏc ABC vuụng cõn đỏy BC. Gọi M, N là trung điểm của AB, AC. Kẻ NH ^ CM tại H, 
kẻ HE ^ AB tại E. Chứng minh rằng:
a) Tam giỏc ABH cõn. b) HM là tia phõn giỏc gúc BHE.
Hướng dẫn: a) Từ A kẻ AK ^ MC tại K và AQ ^ HN tại Q.
Hai tam giỏc vuụng MAK và NCH cú
 ổ ử
 ỗ 1 ữ à à
MA = NCỗ= ABữ, A1 = C1 (cựng phụ với gúc AMC)
 ốỗ 2 ứữ
ị DMAK = DNCH ị AK = HC (1)
 à à
DBAK và DACH cú AK = CH, A1 = C1 , AB = CA
ị DBAK = DACH(c.g.c)ị BãKA = ÃHC
DAQN và DCHN cú AN = NC, ÃNQ = CãNH ị DANQ = DCNH(ch- gn)ị AQ = CH (2)
Từ (1) và (2), suy ra: AK = AQ.
DAKH và DAQH cú ÃKH = ÃQH = 90°, AK = AQ, AH chung
ị DAKH = DAQH(ch- cgv)KãHA = QãHA ị HA là tia phõn giỏc của gúc KHQ 
ị ÃHQ = 45° ị ÃHC = 135° ị BãKA = 135°
Từ BãKA+ BãKH + ÃKH = 360° ị BãKH = 135°
Tam giỏc AKH cú KãHA = 45° nờn nú vuụng cõn tại K suy ra KA = KH.
ị DBKA = DBKH(c.g.c)ị BA = BH hay DABH cõn tại B.
 à ả
b) Dễ chứng minh được DAKB và DHKB(c.c.c)ị A1 = H1
 ả à à à ả ả
Mà HE / /CA ị H2 = C1 (gúc đồng vị) vỡ A1 = C1 ị H1 = H2 .
Hay HM là tia phõn giỏc gúc BHE.