Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 - Chương II: Tam giác - Chuyên đề 13: Chứng minh ba điểm thẳng hàng

 Chuyên đề 13. CHỨNG MINH
 BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
A. Kiến thức cần nhớ
Ba điểm cùng thuộc một đường thẳng gọi là ba điểm thẳng hàng. Để chứng minh ba điểm thẳng hàng, 
chúng ta có thể sử dụng một số phương pháp sau đây:
1. Phương pháp 1.
Nếu A·BD+ D· BC = 180° thì ba
Điểm A; B; C thẳng hàng. 
2. Phương pháp 2.
Nếu AB // a và AC // a thì ba 
điểm A; B; C thẳng hàng.
(Cơ sở của phương pháp này 
là: tiên đề Ơ-Clit)
3. Phương pháp 3. 
Nếu AB ^ a; AC ^ a thì ba 
điểm A; B; C thẳng hàng. 
(Cơ sở của phương pháp này
là: Có một và chỉ một đường
thẳng a’ đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước)
Hoặc A; B; C cùng thuộc một đường trung trực của một đoạn thẳng.
4. Phương pháp 4. 
Nếu tia OA và tia OB là hai tia phân giác của góc 
xOy thì ba điếm O; A; B thẳng hàng.
(Cơ sở của phương pháp này là:
Mỗi góc khác góc bẹt có một và chỉ một tia phân 
giác). 
* Hoặc: Hai tia OA và OB cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa 
tia Ox, x·OA = x·OB thì ba điểm O, A, B thẳng hàng.
5. Nếu K là trung điểm BD, K’ là giao điểm của BD và AC. Nếu K’ là trung điểm BD thì K¢º K và A, 
K, C thẳng hàng.
(Cơ sở của phương pháp này là: Mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm).
B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông ở A, M là trung điểm AC. Kẻ tia Cx vuông góc CA (tia Cx và điểm B 
ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC).Trên tia Cx lấy điểm D sao cho CD = AB. Chứng minh ba điểm B, 
M, D thẳng hàng. 
 Giải
* Tìm cách giải. Muốn B, M, D thẳng hàng 
cần chứng minh B·MC + C·MD = 180°.Do
A·MB + B·MC = 180° nên cần chứng minh
A·MB = D·MC
* Trình bày lời giải
DAMB và DCMD có:
AB = DC (gt), B·AM = D·CM = 90°,
MA = MC (M là trung điểm AC)
Do đó: DAMB = DCMD (c.g.c), suy ra: A·MB = D·MC
Mà A·MB + B·MC = 180° (kề bù) nên B·MC + C·MD = 180°
Vậy ba điểm B; M; D thẳng hàng.
Ví dụ 2. Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn. Trên tia AB lấy điểm M 
sao cho B là trung điểm AM, trên tia AD lấy điểm N sao cho D là trung điểm AN. Chứng minh ba điểm 
M, C, N thẳng hàng. 
 Giải
* Tìm cách giải. Chứng minh: CM // BD và CN // BD từ đó suy ra M, C, N thẳng hàng.
* Trình bày lời giải 
DAOD và DCOB có OA = OC
(vì O là trung điểm AC)
A·OD = C·OB (hai góc đối đỉnh)
OD = OB 
(vì O là trung điểm BD)
Do đó DAOD = DCOB (c.g.c)
Suy ra: D·AO = O·CB . Mà hai góc ở vị tri so le trong,
do do: AD // BC, nên D· AB = C·BM (ở vị trí đồng vị)
DDAB và DCBM có: AD = BC (doDAOD = DCOB ), D· AB = C·BM , AB = BM (B là trung điểm AM). 
Vậy DDAB = DCBM (c.g.c). Suy ra A·BD = B·MC .Do đó BD // CM. (1)
Lập luận tương tự ta được BD // CN. (2)
Từ (1) và (2), theo tiên đề Ơ-Clit suy ra ba điểm M, C, N thẳng hàng. Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là trung điểm BC.
a) Chứng minh AM ^ BC . 
b) Vẽ hai đường tròn tâm B và tâm C 
có cùng bán kính sao cho chúng cắt 
nhau tại hai điểm P và Q. Chứng minh 
ba điểm A, P, Q thẳng hàng.
 Giải
* Tìm cách giải. Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng, chúng ta có thể:
- Chứng minh AM, PM, QM cùng vuông góc BC
- Hoặc AP, AQ là tia phân giác của góc BAC.
* Trình bày lời giải
a) DABM và DACM có: AB =AC (giả thiết), AM chung, MB = MC (M là trung điểm BC)
Vậy DABM = DACM (c.c.c), do đó A·MB = A·MC (hai góc tương ứng).
Mà A·MB + A·MC = 180° (hai góc kề bù) nên A·MB = A·MC = 90°
Do đó: AM ^ BC (điều phải chứng minh).
b) Cách 1. Chứng minh tương tự ta được: DBPM = DCPM (c.c.c).
Suy ra: P·MB = P·MC (hai góc tương ứng), mà P·MB + P·MC = 180° nên P·MB = P·MC = 90°
Do đó: PM ^ BC.
Lập luận tương tự QM ^ BC.
Từ điểm M trên BC có AM ^ BC, PM ^ BC, QM ^ BC nên ba điểm A, P, Q thẳng hàng (điều phải 
chứng minh).
- Cách 2. DBPA và DCPA có AB = AC, AP là cạnh chung, BP = CP (cùng bán kính) 
Þ DBPA = DCPA (c.c.c) Þ B·AP = C·AP . Vậy AP là tia phân giác của B·AC . (1)
DABQ và DACQ có AB = AC, AQ là cạnh chung, BQ = CQ (cùng bán kính) Þ DABQ = DACQ 
(c.c.c) Þ B·AQ = C·AQ .
Vậy AQ là tia phân giác của B·AC . (2)
Từ (1) và (2) suy ra ba điểm A; P; Q thẳng hàng.
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC cân ở A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối tia CA lấy điểm N sao cho 
BM = CN. Gọi K là trung điểm MN. Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng.
 Giải
- Cách 1. Kẻ ME ^ BC;NF ^ BC(E;F Î BC) DBME và DCNF vuông tại E và F có:
BM = CN (gt), M· BE = N·CF (cùng bằng A·CB )
Do đó: DBME = DCNF (cạnh huyền-góc nhọn)
Suy ra: ME = NF.
Gọi K¢ là giao điểm của BC và MN.
DMEK¢ và DNFK¢vuông ở E và F có: ME = NF (cmt), E·MK¢= F·NK¢
(so le trong của ME // FN). Vậy DMEK¢= DNFK¢(g-c-g).
Do đó: MK¢= NK¢.
Vậy K¢ là trung điểm MN, mà K là trung điểm MN nên K = K¢
Do đó ba điểm B, K, C thẳng hàng.
- Cách 2. Kẻ ME // AC ( E Î BC ) 
Þ A·CB = M· EB (hai góc đồng vị)
Mà A·CB = A·BC nên M· BE = M· EB
Vậy DMBE cân ở M.
Do đó: MB = ME, kết hợp với giả
thiết MB = NC ta được ME = CN.
Gọi K¢ là giao điểm của BC và MN.
DMEK¢và DNCK¢ có: K·¢ME = K·¢NC
(so le trong của ME //AC)
ME = CN (chứng minh trên), M·EK¢= N·CK¢ (so le trong của ME //AC).
Do đó: DMEK¢= DNCK¢ (g.c.g) Þ MK¢= NK¢
Vậy K¢ là trung điểm MN, mà K là trung điểm MN nên K º K¢.
Do đó ba điểm B, K, C thẳng hàng.
- Lưu ý. Cả hai cách giải trên, có nhiều bạn chứng minh DMEK = DNCK vô tình thừa nhận B, K, C 
thẳng hàng, việc chứng minh nghe có lý lắm nhưng không biết là chưa chính xác.
Ví dụ 5. Cho tam giác ABC cân ở A, B·AC = 108°. Gọi O là một điểm nằm trên tia phân giác của góc C 
sao cho C·BO = 12°. Vẽ tam giác đều BOM (M và A cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ BO). Chứng minh 
ba điểm C, A, M thẳng hàng.
 Giải
* Tìm cách giải. Chứng minh O·CA = O·CM từ đó suy ra tia CA và tia CM trùng nhau. 
* Trình bày lời giải
Tam giác ABC cân ở A nên 
 180°- 108°
A·BC = A·CB = = 36°
 2 (tính chất của tam giác cân).
Mà CO là tia phân giác của A·CB ,
nên A·CO = B·CO = 18°. Do đó B·OC = 150°
DBOM đều nên B·OM = 60°.
Vậy: M· OC = 360° —(150°+ 60°)= 150°
DBOC và DMOC có: OB = OM (vì DBOM đều); 
B·OC = M· OC = 150°;
OC chung, do đó: DBOC = DMOC (c.g.c)
Suy ra: O·CB = O·CM mà O·CB = O·CA (gt) nên O·CA = O·CM
Hai tia CA và CM cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ CO và O·CA = O·CM
nên tia CA và tia CM trùng nhau. Vậy ba điểm C, A, M thẳng hàng. (đpcm).
Ví dụ 6. Cho tam giác ABC vuông tại A và Bµ= 60°. Vẽ tia Cx ^ BC và lấy CE = CA (CE và CA cùng 
phía với BC). Trên tia đối tia BC và lấy F sao cho BF = BA. Chứng minh rằng:
a) DACE đều;
b) E, A, F thẳng hàng.
 Giải
* Tìm cách giải. Nhận thấy tam giác 
ABC vuông tại A và Bµ= 60° nên
A·CB = 30° Þ A·CE = 60°
DCAE đều.
Do đó muốn chứng tỏ B, A, F
thẳng hàng thì chúng ta chỉ cần
chứng tỏ B·AF = 30°.
* Trình bày lời giải.
a) ABC vuông tại A và Bµ= 60° nên A·CB = 30°
Þ A·CE = 60° mà CA = CB nên DCAE đều.
b) Ta có: BA = BF (gt) Þ DBFA cân Þ A·BC = 2.B·AF .
Suy ra: B·AF = 30°.
Vậy: F·AB + B·AC + C·AE = 30°+ 90°+ 60° = 180°
Ta suy ra ba điểm F; A; E thẳng hàng.
C. Bài Tập vận dụng 13.1. Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho 
ME = MA .
a) Chứng minh rằng AC = EB và AC // BE.
b) Gọi I là một điểm trên AC; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK.
Chứng minh ba điểm I, M, K thẳng hàng.
13.2. Cho DABC cân tại A, có góc Aµ< 90° . Kẻ BD vuông góc với AC, kẻ CE vuông góc với AB. Gọi K 
là giao điểm của BD và CE. Chứng minh rằng:
a) DBCE = DCBD;
b) DBEK = DCDK;
c) AK là phân giác góc BAC.
d) Ba điểm A, K, I thẳng hàng (với I là trung điểm BC).
13.3. Cho DABC có AB < AC. Kẻ tia phân giác AD của B·AC (D thuộc BC). Trên cạnh AC lấy điểm E 
sao cho AE = AB, trên tia AB lấy điểm F sao cho AF = AC. Chứng minh rằng:
a) DBDF = DEDC;
b) F, D E thẳng hàng;
c) AD ^ FC
13. 4. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Vẽ ra phía ngoài tam giác ABC tam giác BCM cân tại M có 
góc ở đáy là 15°. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C, vẽ tam giác đều ABN. Chứng minh ba điểm 
B, M, N thẳng hàng.
13.5. Cho tam giác ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông tại A là DADB;DACE có 
AB = AD, AC= AE. Kẻ AH vuông góc BC; DM vuông góc AH và EN vuông góc AH. Chứng minh rằng:
a) DM= AH.
b) Gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng D, I, E thẳng hàng.
13.6. Cho góc xOy. Trên hai cạnh Ox và Oy lấy lần lượt hai điểm B và C sao cho OB = OC. Vẽ đường 
tròn tâm B và tâm C có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại hai điểm A và D nằm trong góc xOy. 
Chứng minh ba điểm O, A, D thẳng hàng.
13.7. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, vẽ các điểm D, E 
sao cho BD vuông góc và bằng BA, BE vuông góc và bằng BC. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CE. 
Chứng minh A, D, M thẳng hàng. 
 1
13.8. Cho DABC vuông tại A, BC = 2AB. Gọi D là điểm trên cạnh AC sao cho A·BD = A·BC . Lấy E là 
 3
 1
một điểm trên cạnh AB sao cho A·CE = A·CB . BD và CE cắt nhau tại F; I và K theo thứ tự là chân các 
 3
đường vuông góc kẻ từ F đến BC và AC. Vẽ các điểm G và H sao cho I là trung điểm của FG, K là trung 
điểm của FH. Chứng minh rằng ba điểm H, D, G thẳng hàng. 13.9. Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông góc với BC tại H; A·CB = 30°. Dựng tam giác ACD 
đều (D và B nằm khác phía đối với AC). Kẻ HK vuông góc với AC tại K. Đường thẳng qua H và song 
song với AD cắt AB kéo dài tại M. Chứng minh rằng ba điểm M, K, D thẳng hàng.
 HƯỚNG DẪN GIẢI
13.1.
a) DAMC và DEMB có MA = ME,
A·MC = E·MB;MB = MC
Þ DAMC = DEMB (c.g.c)
Þ AC = EB;C·AM = M· EB
Þ AC / /BD .
b) DAIM và DEKM có AM = EM;
C·AM = M· EB;AI = EK Þ DAIM = DEKM (c.g.c)
Þ A·MI = E·MK mà A·MI + I·ME = 180° Þ E·MK + I·ME = 180°
Þ I, M, K thẳng hàng.
13.2.
a) DBCE và DCBD có B·EC = C·DB = 90°;E·BC = D· CB ; BC là cạnh chung
Þ DBCE = DCBD (cạnh huyền, góc nhọn)
b) DBCE = DCBD Þ BE = CD.
DBKE và DCDK có
B·EK = C·DK = 90°;BE = CD;B·KE = C·KD
Þ DBKE = DCKD (góc nhọn, cạnh góc vuông) 
c) DBKE = DCKD Þ KE = KD.
DAEK và DADK có A·EK = A·DK = 90° ;
AI chung; KE = KD Þ DAEK = DADK Þ E·AK = D·AK
Hay AK là tia phân giác B·AC (1).
d) DABI và DACI có AB = AC; AI là cạnh chung; BI = CI
Þ DABI = DACI (c.c.c)
Þ B·AI = C· AI hay AI là tia phân giác của B·AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra A; K; I thẳng hàng.
13.3.
a) DABD và DAED có AB = AE; B·AD = E·AD ; AD là cạnh chung
Þ DABD = DAED (c.g.c) Þ BD = ED;A·BD = A·ED . Mặt khác A·BD+ D· BF = 180°;A·ED+ D· EC = 180° nên D· BF = D· EC .
Ta có AF = AC;AB = AE Þ BF = EC .
DBDF và DEDC có BF = CF;
D· BF = D· EC;DB = DE
Þ DBDF = DEDC (c.g.c)
b) DBDF = DEDC
Þ B·DF = E·DC mà 
B·DF + F·DC = 180°
Þ E·DC + F·DC = 180°
Þ F, D,E thẳng hàng.
c) Gọi H là giao điểm của AD và CF
DAHF và DAHC có AF = AC; F·AH = C·AH ; AH chung
DAHF = DAHC (c.g.c) Þ A·HF = A·HC mà A·HF + A·HC = 180°
Þ A·HF = A·HC = 90°
Vậy AH ^ FC hay AD ^ FC.
13.4.
Gợi ý: Tính góc A·BN = 60°
Þ A·BM = A·BC + C·BM = 60° mà BN;
BM thuộc cùng một nửa mặt phẳng
bờ AB nên tia BM trùng với tia BN.
Vậy B, M, N thẳng hàng.
13.5.
a) Ta có DDMAvuông tại M nên M· DA+ M· AD = 90° mà B·AH + M· AD = 90° (vì B·AD = 90° )
Þ M· DA = B·AH
Xét DDMA và DAHB có D·MA = A·HB = 90° ;
M· DA = B·AH;AD = AB nên DDMA = DAHB
(cạnh huyền, góc nhọn) Þ DM = AH .
b) Chứng minh tương tự câu a, ta có:
DANE = DCHA, suy ra AH = EN. 
Xét DMID và DNIE có I·MD = I·NE(= 90°),
IM = IN, DM = DN (= AH), suy ra
DMID = DNIE (c.g.c) Þ M· ID = N· IE . Mặt khác M· ID+ N· ID = 180° Þ N· IE + N· ID = 180°
Vậy D, I, E thẳng hàng.
13.6. DBOD và DCOD có: OB = OC (gt); OD cạnh chung;
BD = CD (D là giao điểm của hai đường tròn tâm B và tâm C cùng bán kính). Vậy DBOD = DCOD 
(c.c.c), suy ra: B·OD = C·OD.
Điểm D nằm trong góc xOy nên tia
OD nằm giữa hai tia Ox và Oy.
Do đó OD là tia phân giác của x·Oy .
Chứng minh tương tự ta được OA là
tia phân giác của x·Oy .
Góc xOy chỉ có một tia phân giác nên
hai tia OD và OA trùng nhau. 
Vậy ba điểm O, D, A thẳng hàng.
13.7. Kẻ MK ^ AB; MH ^ AC,
Ta có M là trung điểm của CE nên DBME = DBMC (c.c.c)
Þ E·BM = C·BM = 45°
Mặt khác E·BC = 90° Þ K·BE + A·BC = 90°
Mà A·CB + A·BC = 90° ,suy ra: K·BE = A·CB Þ K·BM = H·CM .
Lại có BM = MC Þ DKBM = DHCM
(cạnh huyền, góc nhọn) Þ MK = MH
Þ DAKM = DAHM (cạnh huyền, cạnh
góc vuông) Þ K·AM = H·AM Þ AM 
là tia phân giác của góc A.
Mặt khác, DBAD vuông cân tại A
Þ B·AD = 45° Þ AD là tia phân giác
của góc A
Þ A; D; M thẳng hàng (vì A; D; M
cùng thuộc tia phân giác của góc A).
13.8. Theo đề bài DABC vuông tại A có BC = 2AB nên A·BC = 60°;A·CB = 30° .
 1
A·BD = A·BC = 20° Þ D· BC = 40°
 3
 1
A·BD = A·BC = 10° Þ B·CE = 20°
 3
DCIF và DCIG có IF = IG (gt) C· IF = C· IG = 90° ; IC: cạnh chung
Þ DCIF = DCIG (c.g.c)
Þ CG = CF và I·CG = I·CF = 20°
Tương tự DCKF = DCKH (c.g.c)
Þ CF = CH và K·CH = K·CF = 10°
Từ đó suy ra CG = CH và G·CF + F·CH = 2A·CB = 60° , do đó C·HG = 60° (1)
DDKF = DDKH vì có KF = KH (giả thiết), D·KF = D·KH = 90° , KD: cạnh chung, do đó DF = DH, vì 
thế DCDF = DCDH (c.c.c) suy ra C·HD = C·FD .
DABD vuông tại A có A·BD = 20° Þ A·DB = 70° Þ C·DF = 110°
Þ C·FD = 180°- C·DF - F·CD = 180°- 110°- 10° = 60° vì thế C·HD = 60° (2).
Từ (1) và (2) suy ra C·HD = 60° = C·HG . Mà hai tia HD, HG cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ là 
đường thẳng HC nên HD trùng với HG, nghĩa là ba điểm H, D, G thẳng hàng.
13.9. Gọi F là trung điểm của AC
 AC
Þ AH = Þ DAHF đều
 2
Þ HF / / AD Þ M, H, F thẳng hàng.
Mà AK = KF; DAMF = DFDA(g.c.g)Þ AM = DF
Þ DAMK = DFDK(c.g.c)
Þ A·KM = D·KF
Þ M, K, D thẳng hàng.