Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 - Chuyên đề 11: Đa thức - Nguyễn Văn Ma

 CHUYÊN ĐỀ: ĐA THỨC LỚP 7
 Dạng 1: XÁC ĐỊNH ĐA THỨC VÀ TÍNH GIÁ TRỊ
Bài 1: Cho đa thức: f x a.x2 bx c , Xác định các hệ số a,b,c biết: f 0 2; f 1 7; f 2 14
Bài 2: Cho đa thức: f x a.x2 bx c , Xác dịnh a, b, c biết: f 2 0, f 2 0 và a là số lớn hơn c ba 
đơn vị
Bài 3: Cho đa thức bậc hai: P x a.x2 bx c , biết rằng P(x) thỏa mãn cả hai điều kiện sau: 
 P 0 2,4P x P 2x 1 6x 6 , CMR: a+b+c=0 và xác định đa thức P(x)
 3 2 1 
Bài 4: Cho hàm số f x ax bx cx d thỏa mãn: f 1 2, f 0 1, f 3, f 1 7, 
 2 
Xác định giá trị a, b, c và d
Bài 5: Xác định đa thức: P x a.x3 bx2 cx d , biết: P 0 2017,P 1 2,P 1 6,P 2 6033 
Bài 6: Cho hàm số: y f x ax2 bx c cho biết f(0)=2010, f(1)=2011, f(-1)=2012, Tính f(-2)
HD: 
 Theo gt ta có: f (0) 2010 c 2010, f (1) 2011 a b c 2011 a b 1
 3 1
 và f ( 1) 2012 a b c 2012 a b 2 =>a= , b khi đó hàm số có dạng 
 2 2
 3 1
 y f x x2 x 2010 => f(2)=2017
 2 2
Bài 7: Cho đa thức G x a.x2 bx c (a, b, c là các hệ số)
 a, Hãy tính G 1 biết a+c=b - 8
 b, Tìm a, b, c biết: G 0 4,G 1 9,G 2 14
 2015
Bài 8: Cho đa thức: f x x2 ax 3 và g x x3 x2 x a 1 
a, Tìm a biết -1 là 1 nghiệm của f(x)
b, Với a tìm được ở câu a, Tìm nghiệm còn lại của f(x) và tính g(2)
Bài 9: Cho hàm số y f x ax2 bx c và biết f 0 2014, f 1 2015, f 1 2017 , 
Tính f 2 
HD:
 Ta có: f 0 2014 c 2014
 f 1 2015 a b c 2015 a b 1
 f 1 2017 a b c 2017 a b 3
 2
 a 2,b 1, khi đó: f x 2x2 x 2014 f 2 2. 2 2 2014 2024
Bài 10: Xác định a,b,c để hai đa thức sau là hai đa thức sau đồng nhất:
 A a.x2 9x 6x2 4x2 3x và B 2x2 3bx c 1
Bài 11: Xác định các hệ số a, b của đa thức : f x x2 +a.x+b trong mỗi trường hợp sau :
 a, f(0) = 4 và f(x) nhận x = 1 là nghiệm của nó
 b, Các nghiệm của đa thức g(x) = (x+1)(x-2) cũng là nghiệm của f(x)
Bài 12: Cho f x a.x3 4x x2 1 8 và g x x3 4x bx 1 c 3 , trong đó a,b,c là các hằng số
Xác định a,b,c để f(x)=g(x)
 Nguyễn Văn Ma 1 Bài 13: Cho hai đa thức: P x x2 2mx m2 và Q x x2 2m 1 x m2 , Tìm m để 
 P 1 Q 1 
Bài 14: Cho hai đa thức: p(x) x2 2mx m2 & q(x) x2 2m 1 x m2 , 
Tìm m biết rằng : p(2) = q(-2) 
Bài 15: Cho hai biểu thức : P x x3 2ax a2 , Q x y2 3a 1 y a2 . Tìm số a sao cho P 1 Q 3 
Câu 16: Cho hàm số y f x ax 4 có đồ thì đi qua điểm A a 1;a2 a 
a, Tìm a
b, Với a vừa tìm được, tính giá trị của x thỏa mãn: f 3x 1 f 1 3x 
HD:
 a, Đồ thị hàm số y=ax+4 đi qua điểm A a 1;a2 a nên ta có: a2 a a a 1 4
 => a2 a a2 a 4 a 2 . Vậy a=-2 thì đồ thị hàm số đi qua điểm A
 b, Với a=-2 ta có hàm số y f x 2x 4 f 3x 1 6x 6 và f 1 3x 6x 2
 1
 Để f 3x 1 f 1 3x 6x 6 6x 2 x 
 3
Bài 17: Cho f x a.x3 4x x2 1 8 và g x x3 4x bx 1 c 3 , Trong đó a, b, c là các hằng số, 
Xác định a, b, c để f x g x 
HD :
 Ta có : f x a.x3 4x x2 1 8 a.x3 4x3 4x 8 a 4 x3 4x 8 
 Và g x x3 4x bx 1 c 3 x3 4bx2 4x c 3 
 a 4 1
 Do f x g x nên ta có : 4b 0 a 3;b 0;c 11
 c 3 8
Bài 18: Tìm đa thức bậc hai sao cho : f x f x 1 x . Áp dụng tính tổng : S 1 2 3 4 ... n 
HD :
 Vì đa thức là bậc hai nên có dạng f x ax2 bx c a 0 
 2
 Ta có : f x 1 a x 1 b x 1 c 
 1
 1 a 
 2a 2
 Và f x f x 1 2ax a b x 2 
 1
 b a 0 b 
 2
 1 1
 Vậy đa thức cần tìm là : f x x2 x c , c là hằng số
 2 2
 Áp dụng : Với x 1 f 1 f 0 1 
 Với x 2 f 2 f 1 2 
 Với x n f n f n 1 n 
 n2 n n n 1 
 => S 1 2 3 ... n f n f 0 c c 
 2 2 2
 Nguyễn Văn Ma 2 1 2
Bài 19: Cho đa thức P(x) xác định với mọi x thuộc R, Biết rằng với mọi x ta đều có: f x 3 f x
 x 
Tính f(2)
HD: 
 1 1 1 1 3
 Ta có: f 2 3 f 4 (1) và f 3 f 2 => 9 f 2 3 f (2)
 2 2 4 2 4
 13 13
 Trừ từng vế của (2) cho (1) ta có: 8 f 2 , do đó: f 2 
 4 24
Bài 20: Cho f x x17 2015x16 2015x15 2015x14 ... 2015x 1, Tính f 2014 
Bài 21: Cho đa thức:
f x 4 4x4 3x2 6x 4x4 2x2 2x , Tính giá trị của f x khi x 1 1
Bài 22: Tính giá trị của đa thức sau biết x+y=0
a, A 2x 2 y 3xy x y 5 x3 y2 x2 y3 2
b, B 3xy x y 2x3 y 2x2 y2 5
Bài 23: Cho x2 y2 1, Tính giá trị của biểu thức : P 2x4 3x2 y2 y4 y2
Bài 24: Tính giá trị của biểu thức: N xy2 z3 x2 y3z4 x3 y4 z5 ... x2014 y2015z2016 , tại x=-1, y=-1, z=-1
HD :
 Ta có N xyz.yz2 x2 y2 z2.yz2 x3 y3z3.yz2 ... x2014 y2014 z2014.yz2
 Thay y=-1, z=-1 vào ta được: N xyz x2 y2 z2 x3 y3z3 ... x2014 y2014 z2014
 xyz xyz 2 xyz 3 ... xyz 2014
 Thay xyz=-1 vào ta được : N 1 1 1 1 ... 1 1 0
Bài 25: Cho đa thức: A 2x x 3 x x 7 5 x 403 .Tính giá trị của A khi x=4, Tìm x để A=2015
 2
Bài 26: Cho đa thức: A 11x4 y3 z2 20x2 yz 4xy2 z 10x2 yz 3x4 y3 z2 2008xyz2 8x4 y3z 
a, Tìm bậc của A
b, Tính A nếu 15x-2y=1004z
HD: 
 Thu gọn A 30x2 yz 4xy2 z 2008xyz2 2xyz(15x 2y 1004z)
Bài 27: Tính giá trị của biểu thức: 5x2 6x 2 khi x 1 2
Bài 28: Tính giá trị của biểu thức: x5 2009x4 2009x3 2009x2 2009x 2010 tại x=2008
Bài 29: Tính giá trị của biểu thức: 2x5 5y3 4 , biết x 1 20 y 2 30 0
Bài 30: Cho đa thức: A x x x2 x3 ... x100 , 
 1
a, CMR: x=-1 là nghiệm của A(x) b, Tính giá trị của A(x) tại x 
 2
HD:
 a, A(-1)= -1+1-1+1-....-1+1=0 nên -1 là 1 nghiệm của A, hoặc 
 A x x x 1 x2 x 1 ... x99 x 1 
 1 1 1 1
 b, Với x A ... 
 2 2 22 2100
 Nguyễn Văn Ma 3 Bài 31: Tính giá trị của đa thức: N xy2z3 x2 y3z4 x3y4z5 ... x2014 y2015z2016 , Tại x 1; y 1;z 1 
HD:
 Ta có: xyz.yz2 x2 y2z2.yz2 x3y3z3.yz2 ... x2014 y2014z2014.yz2 
 Thay y 1;z 1 vào ta được: N xyz x2 y2z2 x3y3z3 .... x2014 y2014z2014 
 Thay xyz 1 N 1 1 1 1 ... 1 1 0
Bài 32: Cho biểu thức: M a.x b (a,b Z )
Lương nói: Giá trị của biểu thức M tại x=23 là 2009
Minh nói: Giá trị của biểu thức M tại x=18 là: 1458
CMR trong hai bạn trên có ít nhất 1 bạn nói sai !
HD: 
 Giả sử cả hai bạn cùng đúng, ta có:
 23a+b=2009 và 18a+b=1458 do đó: 
 23a b 18a b 2009 1458 5a 551 a Z ( Vô lý) vậy có ít nhất 1 bạn nói sai
Bài 33: Tính giá trị của biểu thức : B 9x10 12x7 6x4 3x 2010 , tại x thỏa mãn :3x9 4x6 2x3 1 0
Bài 34: Cho đa thức: B x a.x2 bx c
a, Cho biết: 5a+b+2c=0, CMR: A 2 .A 1 0
b, Cho A(x) =0 với mọi x, CMR: a=b=c
c, Nếu 13a-b+2c=0 thì f 2 . f 3 0
Bài 35: Cho đa thức: B x a.x2 bx c
a, Cho biết 5a+b+2c=0, CMR: A 2 .A 1 0
b, Cho A x 0,x , Chứng minh rằng a=b=c=0
Bài 36: Cho đa thức: f x a.x2 bx c
a, CMR nếu: 5a b 2c 0 thì f 1 . f 2 0
b, CMR: Nếu 13a b 2c 0 thì f 2 .f 3 0
Bài 37: Cho P x a.x2 bx c , CMR nếu: 5a b 2c 0 thì P 2 .P 1 0
HD: 
 Ta có : P 2 P 1 5a b 2c 0 P 2 P 1 vậy P 2 .P 1 0
Bài 38: Cho đa thức : P(x) a.x2 bx c , CMR nếu 5x-b+2c=0 thì P(1).P(-2) 0
HD : 
 Ta có : P(1) P( 2) a b c 4a 2b c 5a b 2c 0 nên P(1)= -P(-2)
Bài 39: Cho đa thức f x a.x2 bx c, f 0 , f 1 , f 2 có giá trị nguyên, CMR:
a, a+b+c, 2a, 2b đều là các số nguyên
b, f n là số nguyên với mọi giá trị nguyên của n
Bài 40: Cho đa thức f x a.x2 bx c , trong đó a, b, c là các số nguyên, biết rằng giá trị của f x 3 với 
mọi giá trị nguyên của x, CMR a,b,c đều  cho 3
Bài 41: Cho P xyz xy2 xz2 ,Q x3 y3 , CMR: nếu x-y=z thì P+Q=0
Bài 42: Cho đa thức bậc nhất : f(x)=a.x+b, Hãy tìm điều kiện của hằng số b để thỏa mãn hệ thức : 
f x1 x2 f x1 f x2 
Bài 43: Cho đa thức f x a.x2 bx c biết rằng f(0),f(1),f(2) có giá trị nguyên, CMR: 
a, a+b+c, c, 2a, 2b đều là các số nguyên
b, f(n) là số nguyên với mọi giá trị của n
Bài 44: Cho f x a.x2 bx c , Trong đó a, b, c là các số nguyên, biết rằng giá trị của f(x) chia hết cho 3 
với mọi giá trị của x, CMR a, b, c đều chia hết cho 3
 Nguyễn Văn Ma 4 Bài 45: Cho đa thức: Q x ax3 bx2 cx d, a,b,c,d Z , Biết Q(x) chia hết cho 3 với mọi số nguyên x, 
CMR: các hệ số a,b,c,d đều chia hết cho 3 
Bài 46: Cho hàm số : f x ax2 bx c. a,b,c Z . Biết f(1) chia hết cho 3, f(0) chia hết cho 3,
 và f(-1) cũng chia hết cho 3, CMR a,b,c đều chia hết cho 3
HD: 
 Ta có f(0)=c, f(1)= a+b+c, f(-1)=a-b+c, Vì f(0)  3 nên c 3, Vì f(-1) 3 nên a+b+c 3=>a+b 3 (1)
 và f(-1) 3 nên a-b+c 3 => a-b 3 (2), Từ (1) và (2) nên (a+b)+(a-b) 3 =>2a 3=>a 3=>b 3
Bài 47: Cho f x 2010x , CMR : f(a+b)=f(a)+f(b)
Bài 48: Cho đa thức : a.x2 bx c 0 với mọi giá trị của x, CMR : a=b=c=0
HD: 
 Vì đa thức a.x2 bx c 0 với mọi x, Ta cho x nhận các giá trị x=0, x=1 và x=-1
 Ta có : c=0, a+b+c=0 và a-b+c=0=> a=b=c=0
Bài 49: Cho đa thức: f x ax2 bx c , CMR nếu f(x) nhân 1 và -1 là nghiệm thì a và c là hai số trái dấu
HD: 
 Ta có 1 là nghiệm của f(x) nên f(1)=0 hay a+b+c=0, và -1 là nghiệm nên a-b+c=0
 Cộng theo vế ta được: 2a+2c=0=> a =-c, vậy a và c là hai số đối nhau
Bài 50: Cho f x a.x2 bx c nhận giá trị nguyên với mọi giá trị nguyên của x, CMR : 2a, a+b và c là các 
số nguyên
HD: 
 Ta có : f 0 a.02 b.0 c c Z và f 1 a b c Z a b 
 f 2 4a 2b c Z 2a 2(a b) c Z 2a Z
Bài 51: Cho đa thức P(x) a.x3 bx2 cx d với P(0) và P(1) là 1 số lẻ, CMR : P(x) không thể có nghiệm là 
1 số nguyên 
HD : 
 P(0)=d lẻ và P(1)=a+b+c+d lẻ, do đó - P(1) là 1 số lẻ
 Giả sử P(x) có 1 nghiệm nguyên là m ta có P(m)=0 => am3 bm2 cm d a b c d lẻ
 => a(m3 1) b(m2 1) c(m 1) lẻ => m chẵn=> P(m) lẻ, Điều này mâu thuẫn
Bài 52: Cho f x a.x2 bx c có tính chất f(1),f(4),f(9) là các số hữu tỉ, CMR khi đó a,b,c là các số hữu tỉ
HD: 
 f 1 a b c Q , f 4 16a 4b c Q và f 9 81a 9b c Q
 Từ (1) và (2) => 16a 4b c a b c 15a 3b 3 5a b Q do đó 5a b Q
 Từ (2) và (3) => 81a 9b c 16a 4b c 65a 5b 5 13a b Q 13a b Q
 Nên 13a 5b 5a b Q 8a Q a Q
 Khi a Q thì b Q và c Q
Bài 53: Cho đa thức bậc hai thỏa mãn : P(1) P( 1) , CMR : P(x) P( x) với mọi x
HD : 
 Giải sử : P(x) a.x2 b.x c ,
 ta có : P(1) P( 1)  a b c a b c  2b 0  b 0 Vậy P(x) a.x2 c
 Do vậy P( x) a( x)2 c a.x2 c P(x)
 Nguyễn Văn Ma 5 100x
Bài 54: Cho hàm số f x , CMR : nếu a,b là hai số thỏa mãn : a+b=1 thì f a f b 1
 100x 10
HD :
 a b b a
 100a 100b 100 100 10 100 100 10 
 Ta có : f a f b 
 100a 10 100b 10 100a 10 100b 10 
 2.100a b 10 100a 100b 200 10 100a 100b 
 = 1
 100a b 10 100a 100b 100 200 10 100a 100b 
Bài 55: Cho đa thức bậc 4 đối với biến x và P(1)=P(-1), P(2)=P(-2), CMR : P(x)=P(-x) với mọi x
HD : 
 P(x) là đa thức bậc 4 nên có dạng : P(x) a.x4 bx3 cx2 dx e
 Ta có : P(1)=P(-1) và P(2)=P(-2) => d+b= - d - b 2d+8b=-2d-8b=> b=d=0
 Vậy P(x) a.x4 cx2 d và P( x) a.x4 cx2 d =P(x)
 5 1890 2010
Bài 56: Cho đơn thức : 19t x y , Tìm t thỏa mãn : 
 t 
a, Đơn thức dương với mọi x,y khác 0 b, Âm với mọi x,y khác 0
HD : 
 2
 5 1890 2010 19t 5 1890 2010 2 1890 2010
 a, 19t x y .x y mà 19t 5 0 và x y 0 
 t t
Bài 57: Cho A 4mx4 y2 15x4 y2 mx4 y2 , x và y khác 0. Với giá trị nào của m thì :
 a, A dương với mọi x,y b, A âm với mọi x,y khác 0
Bài 58: Cho đã thức: P 9x2 7xy 11y2 và Q 4x2 7xy 6y2 ,CMR P và Q không thể cùng có giá trị âm
HD : 
 Xét tổng luôn dương
Bài 59: Cho hai đa thức : A 13x2 10xy 3y2 và B 7x2 5xy y2 , CMR: A và B không thể có cùng giá 
trị âm
Bài 60: Cho đa thức: P x ax2 bx c và 6a 2b 3c , CMR: Trong ba số P(1), P(2),P(-1) có ít nhất một 
số không âm, ít nhất một số không dương
Bài 61: Cho đa thức: P x x8 x5 x2 x 1, CMR: P(x) luôn dương với mọi giá trị của x thuộc P
Bài 62: Cho hai đa thức: M 6x2 3xy 2y2 & N 3y2 2x2 3xy , CMR không tồn tại giá trị nào của x và 
y để hai đa thức cùng có giá trị âm
Bài 63: Cho các đa thức : A 5x2 6xy 7y2 , B 9x2 8xy 11y2 và C 6x2 2xy 3y2
CMR A ,B ,C không thể cùng âm
Bài 64: Cho các đã thức: M 6x2 5xy 13y2 và N x2 xy 2y2 , CMR: M, N không thể cùng có giá trị 
dương
Bài 65: Cho hai đa thức: M 6x2 3xy 2y2 , N 3y2 2x2 3xy CMR không tồn tại giá trị nào của x và y 
để hai đa thức này có cùng giá trị âm
Bài 66: Cho hai đã thức : A x 4x2 7x3 5x4 7 , B x 3x2 3x4 7x3 9 , CMR trong hai đã thức trên 
có 1 đa thức có giá trị dương
HD: 
 Xét tổng bằng dương
 Nguyễn Văn Ma 6 Bài 67: Cho hai đa thức : P x 5x3 6x2 9x 4 và Q x 5x3 4x2 9x 5, CMR: không tồn tại giá trị 
nào của x để đa thức P(x) và Q(x) cùng có giá trị không dương
HD: 
 Xét tổng bằng dương
 6
Bài 68: Cho 3 đơn thức: M 5x19 y, N 11xy12 , P x2 y3 , CMR ba đơn thức này không thể có cùng giá trị 
 5
dương
Bài 69: Cho hai đa thức: M 6x2 3xy 2 y2 và N 3y2 2x2 3xy chứng minh rằng không tồn tại giá trị 
nào của x và y để hai đa thức cùng có giá trị âm
Bài 70: Cho đa thức A 4x2 7xy 6y2 và B 9x2 7xy 11y2 , CMR A và B không thể cùng có giá trị 
âm
Bài 71: Cho P x2 5xy 2 y2 ,Q 6x2 5xy 13y2 , CMR: P và Q không thể có cùng giá trị dương
Bài 72: Cho đa thức : P(x) a.x2 bx c Cho biết 9a-b=-3c, CMR : Trong ba số P(-1) ; P(-2) ; P(2) có ít nhất 
1 số âm, ít nhất 1 số không dương
HD : 
 Ta có : P(-1)+P(-2)+P(2)=9a-b+3c=0 do đó trong ít nhất ba số trên có 1 số không âm, ít nhất 1 số 
không dương
 2008 2009
Bài 73: Tính tổng các hệ số của đa thức sau khi bỏ dấu ngoặc : P x 8x2 3x 10 8x2 x 10 
HD: 
 n n 1
 Sau khi bỏ ngoặc ta được : P x an x an 1x ... a1x a0 với n 2.2008 2.2009
 Thay x=1, thì giấ trị của P 1 bằng tổng các hệ số của P(x)
 2008 2009
 Ta có P 1 8.12 3.1 10 8.12 1 10 1
Bài 74: Tính tổng các hệ số của đa thức F(x) sau khi thu gọn: 
 2011 2008
f x 1999x2 2000x 2 . 2002x3 2003x2 2005x 2005 
Bài 75: Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận được sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức:
 2016 2019
 3 4x x2 . 3 4x x2 
 Nguyễn Văn Ma 7 Dạng 2. NGHIỆM CỦA ĐA THỨC
Bài 1: Chứng minh rằng đa thức sau không có nghiệm với mọi x: f x x2016 x2015 x2 x 1
Bài 2: Chứng minh rằng đa thức: f x 5x3 2x4 x2 3x2 x3 x4 1 4x3 không có nghiệm.
Bài 3: CMR đa thức x2 x 1 không có nghiệm
Bài 4: CMR: đa thức f(x) có ít nhất hai nghiệm nếu: x. f x 2 x 4 f x với mọi x
Bài 5: CMR: đa thức f(x) có ít nhất hai nghiệm nếu: x 3 f x 2x 1 f x 2 với mọi x
Bài 6: CMR đa thức P(x) có ít nhất hai nghiệm, biết : x 6 P x x 1 P x 4 
HD : 
 Vì x 6 P x x 1 P x 4 với mọi x nên
 Khi x=6 thì 6 6 P 6 6 1 P 6 4 0 7P 2 P 2 0 => 2 là nghiệm của P(x)
 Khi x=-1 thì 1 6 P x 1 1 P 1 4 7P 1 0 P 1 0 
 => -1 là nghiệm của P(x)
Bài 7: Cho đa thức P(x) thỏa mãn: xP(x 2) (x2 9).P(x) , CMR đa thức có ít nhất ba nghiệm
HD: 
 Xét x=0, x=3 và x= -3
Bài 8: Cho đa thức P(x) thỏa mãn điều kiện : (x 5)P(x 4) (x 3)P(x) CMR đa thức trên có ít nhất hai 
nghiệm
Bài 9: Cho đa thức P(x) thỏa mãn điều kiện xP x 2 x 5 P x , CMR đa thức có ít nhất hai nghiệm
Bài 10: Cho đa thức Q x thỏa mãn điều kiện x 1 Q x 2 x2 9 Q x , CMR đa thức có ít nhất 3 
nghiệm
Bài 11: Tìm tất cả các đa thức P(x) thỏa mãn: P(x) a.P(1 x) (a 1).x với mọi giá trị của x, biết 
a 0;1; 1
Bài 12: Tìm 1 đa thức có bậc nhỏ nhất nhận 19; 5 và 2017 làm nghiệm
HD : 
A(x) (x 19)(x 5)(x 2017)
Bài 13: Tìm 1 đa thức có bậc nhỏ nhất nhân 1 ; 3 ; 5 ; ... ;2019 làm nghiệm
Bài 14: Cho đa thức : Q(x) x2 mx 12 (m là hằng số). Tìm các nghiệm của Q(x), biết rằng Q(x) có 1 
nghiệm là -3
Bài 15: Cho hàm số : f x ax b a,b Z , CMR không thể đồng thời có f(17)=71, f(12)=35
 2 2
Bài 16: Xét hai đa thức P(x) x a.x b,Q(x) x cx d và x1; x2 là hai số khác nhau. CMR nếu P(x) và 
Q(x) cùng nhận x1; x2 làm nghiệm thì P(x) = Q(x)
HD : 
 2 2
 Ta có : x1 a.x1 b x1 cx1 d 0
 2 2
 x2 a.x2 b x2 cx2 d 0 Nên a x1 x2 c x1 x2 a c
 Do đó : a.x1 b cx1 d và a.x2 b cx2 d =>b d Vậy P(x)=Q(x)
 2
 x 1 3 1 x 1 4 2 x 
Bài 17: Cho đa thức: q(x) x x x x x 
 2 2 2 3 2 3 
 a, Tìm bậc của q(x)
 1 
 b, Tính q 
 2 
 c, CMR: đa thức q(x) nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên
 Nguyễn Văn Ma 8 Bài 18: Cho hàm số y f x 0 x R, x 0 , có tính chất f x1; x2 f x1 . f x2 
 1
 1 
Hãy CMR: a f 1 1 b, f x f x 
Bài 19: Cho hàm số f x xác định với mọi x thuộc R, biết rằng với mọi x ta đều có: 
 1 2
f x 3 f x , Tính f 2 
 3 
HD:
 1 
 Ta có: x 2 f 2 3. f 4 
 2 
 1 1 1 47
 Và x f 3 f 2 f 2 
 2 2 4 32
Bài 20: Cho đa thức f x thỏa mãn: x2 5x . f x 2 x2 3x 2 . f x 1 , với mọi x
CMR: f x có ít nhất 4 nghiệm.
 Nguyễn Văn Ma 9