Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 - Chuyên đề 4: Chứng minh chia hết - Nguyễn Văn Ma

 CHUYấN ĐỀ CHỨNG MINH CHIA HẾT
 Dạng 1: CHỨNG MINH CHIA HẾT
Bài 1: Chứng minh rằng:
a, ab ba11 b, ab ba9 (a > b) c, abcabc7,11,13
HD:
 a, Ta cú : ab ba 10a b 10b 1 11b 11b11
 b, Ta cú : ab ba (10a b) (10b a) 9a 9b9
 c, Ta cú : abcabc abc.1001 abc.7.11.137,11,13 
Bài 2: Chứng minh rằng:
a, (n 10)(n 15)2 b, n(n 1)(n 2)2,3 c, n 2 n 1 khụng 4,2,5
HD:
 a, Ta cú: Nếu n là số lẻ thỡ n 152
 Nếu n là số chẵn thỡ n 102 , Như vậy với mọi n là số tự nhiờn thỡ : n 10 n 15 2
 b, Ta cú: Vỡ n n 1 n 2 là 3 số tự nhiờn liờn tiếp nờn sẽ cú 1 số chia hết cho 2,1 số chia hết cho 3
 c, Ta cú : n(n 1) 1 là 1 số lẻ nờn khụng  cho 4,2 và cú chữ số tận cựng khỏc 0 và 5
Bài 3: Chứng minh rằng:
a, (n 3)(n 6)2 b, n2 n 6 khụng  5 c, aaabbb37
HD:
 a, Ta cú: Nếu n là số chẵn thỡ n 62
 Nếu n lẻ thỡ n 32 , Như vậy với mọi n là số tự nhiờn thỡ n 3 n 6 2
 b, Ta cú : n2 n 6 n n 1 6, Vỡ n n 1 là tớch hai số tự nhiờn liờn tiếp nờn chỉ cú chữ số tận 
 cựng là : 0, 2, 6, Do đú : n n 1 6 sẽ cú tận cựng là 6, 8, 2 nờn khụng  5
 c, Ta cú : aaabbb aaa000 bbb a.11100 b.111 a.300.37 b.3.37 chia hết cho 37 
Bài 4: Chứng minh rằng:
a, aaaa ,37 b, ab(a b)2 c, abc cba99
HD:
 a, Ta cú : aaa a.111 a.3.37 chia hết cho a và chia hết cho 37
 b, Ta cú: Vỡ a, b là hai số tự nhiờn nờn a,b cú cỏc TH sau:
 TH1: a, b cựng tớnh chẵn lẻ=> (a+b) là 1 số chẵn nhưu vậy a+b chia hết cho 2
 TH2: a, b khỏc tớnh chẵn lẻ thỡ 1 trong 2 số phải cú 1 số chẵn khi đú số đú chia hết cho 2
 c, Ta cú: abc cba 100a 10b c 100c 10b a 99a 99c 99 a c 99
Bài 5: CMR : ab 8.ba9
HD:
 Ta cú: ab 8.ba 10a b 8 10b a 18a 18b 18 a b 9
Bài 6: Chứng minh rằng: ab a b 2,a,b N 
Bài 7: Chứng minh rằng số cú dạng : abcabc luụn chia hết cho 11
HD :
 Ta cú : abcabc a.105 b.104 c.103 b.10 c a.102 103 1 b.10 103 1 c 103 1 
 103 1 a.102 b.10 c 1001 a.102 b.10 c 11.91.abc11
Nguyễn Văn Ma 1 Bài 8: Tỡm n là số tự nhiờn để: A n 5 n 6 6n 
HD:
 Ta cú: A 12n n n 1 30 , Để A6n n n 1 306n 
 Ta cú: n n 1 n 30n n U 30 1;2;3;5;6;10;15;30 
 Và n n 1 6 n n 1 3 n 1;3;6;10;15;30 
 Thử vào ta thấy n 1;3;10;30 thỏa món yờu cầu đầu bài
Bài 9: CMR : 2x+y9 thỡ 5x+7y9
HD:
 Ta cú : 2x y9 7 2x y 9 14x 7y9 9x 5x 7y9 5x 7y9
Bài 10: Chứng minh rằng:
a, Nếu ab cd11 thỡ abcd11 b, Cho abc deg7 cmr abc deg7
HD:
 a, Ta cú: ab cd a.10 b 10c d (a c)10 b d (a c)(b d)11 hay (a+c) – (b+d)11
 Khi đú abcd11 vỡ cú (a+c) - ( b+d)  11
 b, Ta cú:
 Ta cú abc deg 1000abc deg 1001abc (abc deg) mà abc deg7 nờn abc deg7
Bài 11: Chứng minh rằng:
a, CMR: ab 2.cd abcd67 b, Cho abc27 cmr bca27 
HD:
 a, Ta cú: Ta cú abcd 100ab cd 200cd cd 201cd67
 b, Ta cú : Ta cú abc27 abc027 1000a bc027 999a a bc027 27.37a bca27
 Nờn bca27
Bài 12: Chứng minh rằng:
a, abc deg23,29 nếu abc 2.deg b, Cmr nếu (ab cd eg)11 thỡ abc deg11
HD:
 a, Ta cú : abc deg 1000abc deg 1000.2deg deg 2001deg deg.23.29.3
 b, Ta cú : abc deg 10000.ab 100cd eg 9999ab 99cd (ab cd eg)11
Bài 13: Chứng minh rằng:
a, Cho abc deg37 cmr abc deg37 b, Nếu abcd99 thỡ ab cd99
HD:
 a, Ta cú : abc deg 1000abc deg 999abc (abc deg)37
 b, Ta cú : abcd 100.ab cảd 99.ab ab cd 99 ab cd9
Bài 14: Chứng minh rằng:m, Nếu abcd101 thỡ ab cd101
HD :
 Ta cú : abcd101 100.ab cd 101.ab ab cd 101.ab ab cd 101=> ab cd101
Bài 15: Chứng minh rằng:
a, 2a - 5b+6c  17 nếu a-11b+3c 17 (a,b,c Z) b, 3a+2b  17 10a+b  17 (a,b Z)
HD:
 a, Ta cú: a-11b+3c  17 và 17a-34b +51c  17 nờn 18a-45b+54c  17 => 9(2a-5b+6c)  17
 b, Ta cú: 3a+2b  17 và 17a - 34b  17 nờn 20a – 32b  17 10a – 16b  17
 10a +17b – 16b 17 10a+b  17
Bài 16: Chứng minh rằng:
Nguyễn Văn Ma 2 a, abcd29  a 3b 9c 27d29 b, abc21  a 2b 4c21
HD:
 a, Ta cú : abcd 1000a 100b 10c d29 => 2000a+200b+20c+2d  29
 => 2001a – a +203b - 3b +29c - 9c +29d - 27d  29
 => (2001a+203b+29c+29d)- (a+3b+9c+27d) 29 => (a+3b+9c+27d) 29
 b, Ta cú: abc 100a 10b c 21 =>100a - 84a +10b – 42b + c +63c  21
 => 16a - 32b +64c 21 => 16(a- 2b +4c) 21
Bài 17: Chứng minh rằng:
a, abcd4  d 2c4 b, abcd16 d 2c 4b 8a16 (c chẵn)
HD:
 a, Ta cú: Vỡ e, abcd4 cd4 10c d4 2c d4
 b, Ta cú: Vỡ abcd16 1000a 100b 10c d16 992a 8a 96b 4b 8c 2c d  16
 => (992a+ 96b+8c) + (8a+4b+2c+d) 16, mà c chẵn nờn 8c  16 => (8a+4b+2c+d) 16
Bài 18: Chứng minh rằng:
a, Cho a - b  7 cmr 4a+3b 7 (a,b Z) b, Cmr m +4n  13 10m+n  13
HD:
 a, Ta cú: a – b 7 nờn 4(a –b) 7 => 4a – 4b +7b 7 => 4a +3b  7
 b, Ta cú: m+4n  13 => 10(m+4n) 13 => 10m +40n – 39n13 =>10m+ n 13
Bài 19: Cho a,b là cỏc số nguyờn, CMR nếu 6a+11b  31 thỡ a+7b cũng  31, điều ngược lại cú đỳng khụng?
HD:
 Ta cú : 6a +11b 31 => 6( a+7b) - 31b 31 => a+7b 31
Bài 20: Cho a,b là cỏc số nguyờn, CMR 5a+2b  17 khi và chỉ khi 9a+7b  17
HD:
 Ta cú : 5a +2b 17 => 5a – 68a +2b -51b 17 => - 63a – 49b 17 => -7( 9a +7b) 17 => 9a+7b  17
Bài 21: Cho a,b là cỏc số nguyờn, CMR nếu 2a+3b  7 thỡ 8a + 5b  7
HD:
 Ta cú: 2a+3b 7 => 4(2a+3b) 7 =>8a +12b 7=> 8a+12b -7b 7=>8a+5b 7
Bài 22: Cho a,b là cỏc số nguyờn, CMR nếu a - 2b  7 thỡ a-9b  7, điều ngược lại cú đỳng khụng?
HD:
 Ta cú: a – 2b 7 => a- 2b -7b 7=> a - 9b 7, Điều ngược lại vẫn đỳng
Bài 23: Cho a,b là cỏc số nguyờn và 5a+8b  3 cmr
a, - a +2b  3 b, 10a +b  (-3) c, a +16b  3
HD:
 a, Ta cú: 5a +8b 3=> 5a- 6a+8b-6b3=> -a+2b 3
 b, Ta cú: 5a +8b 3 => 2(5a+8b) 3=>10a+16b3=>10a+16b-15b3
 c, Ta cú: 5a +8b 3=> 5(a+16b) – 72b 3 =>a+16b 3
Bài 24: Cho biết a-b  6, CMR cỏc biểu thức sau cũng chia hết cho 6
a, a +5b b, a +17b c, a - 13b
HD:
 a, Ta cú: a-b 6 => a-b+6b6=> a+5b6
 b, Ta cú: a-b 6 => a-b +18b 6=> a+17b 6
 c, Ta cú: a - b 6 => a-b-12b 6=> a-13b  6
Bài 25: CMR : nếu x 25 thỡ 3x 4 y5 và ngược lại
Nguyễn Văn Ma 3 Bài 26: Cho hai số nguyờn a và b khụng chia hết cho 3, nhưng khi chia cho 3 thỡ cú cựng số dư: 
CMR: (ab-1)  3
HD:
 Ta cú: a= 3p+r, b=3q+r (p,q,r Z, r=1,2) khi đú 
 r 1 r 2 1 03
 2
 ab-1=(3p+r)(3q+r)-1= 3p(3q+r)+r(3q+r) -1 = 9pq+3pr+3qr+r -1 2
 r 2 r 1 33
Bài 27: Chứng minh rằng nếu viết thờm vào đằng sau 1 số tự nhiờn cú hai chữ số gồm chớnh hai chữ số ấy 
viết theo thứ tự ngược lại thỡ được 1 số chia hết cho 11.
HD:
 Ta cú : Gọi số tự nhiờn cú 2 chữ số là ab theo bài ra ta cú 
 abba11 vỡ abba 1001a 110b 7.11.13a 11.10b
Bài 28: Chứng minh rằng tổng của ba số tự nhiờn liờn tiếp thỡ chia hết cho 3, cũn tổng của 4 số tự nhiờn liờn 
tiếp thỡ khụng chia hết cho 4
HD:
 Gọi ba số tự nhiờn liờn tiếp là a,a+1,a+2 xột tổng
 Gọi bốn số tự nhiờn liờn tiếp là a, a+1,a+2,a+3 xột tổng, ta được 
 a a 1 a 2 a 3 4a 6 4
Bài 29: Chứng minh rằng tổng của 5 số chẵn liờn tiếp thỡ chia hết cho 10, cũn tổng của 5 số lẻ liờn tiếp thỡ 
khụng chia hết cho 10
HD:
 Gọi 5 số chẵn liờn tiếp là a, a+2, a+4, a+6, a+8 xột tổng, ta được:
 a a 2 a 4 a 6 a 8 5a 2010 Vỡ a là số chẵn
 Tương tự với 5 số lẻ liờn tiếp : 2a 1, 2a 1, 2a 3, 2a 5, 2a 7, xột tổng ta được :
 2a 1 2a 1 2a 3 2a 5 2a 7 10a 1510
Bài 30: Khi chi 135 cho 1 số tự nhiờn ta được thương là 6 và cũn dư, Tỡm số chia và thương
HD:
 Gọi số chia là x và số dư là r, Khi đú 135 6x r 0 r x 
 => r 135 6x 0 135 6x x 
 1
 Từ 135 6x 0 6x 135 x 22 
 2
 135 2
 Từ 135 6x x x x 19 , Vậy x 20,21,22 
 7 7
Bài 31: Bạn Thắng học sinh lớp 6A viết 1 số cú hai chữ số mà tổng cỏc chữ số của nú là 14 , sau đú bạn 
Thắng đem chia số đú cho 8 thỡ đươc dư là 4 , nhưng khi chia cho 12 thỡ được dư là 3
a, CMR bạn Thắng làm sai ớt nhất 1 phộp chia
b, Nếu phộp chia thứ nhất đỳng, thỡ phộp chia cho 12 dư bao nhiờu?
HD:
 Gọi số cần tỡm là n= ab
 a, n chia 8 dư 4 =>n chẵn và n chia 12 dư 3=> n lẻ => mõu thuẫn
 b, Vỡ a+b=14 nờn ab 3 dư 2 khi đú 4 ab chia 12 dư 8 
 Nếu phộp chia thứ nhất đỳng thỡ ab chia 8 dư 4=> ab 4 => 3 ab 12 => n chia 12 dư 8
Bài 32: Chứng minh rằng nếu abc chia hết cho 37 thỡ bca và cab đều chia hết cho 37
Bài 33: Một số tự nhiờn chia cho 7 dư 5, chia cho 13 dư 4. Nếu đem số đú chia cho 91 thỡ dư bao nhiờu?
Bài 34: Tỡm 1 số tự nhiờn biết nếu chia cho 17 thỡ được số dư đỳng bằng hai lần bỡnh phương của số thương
Bài 35: Chứng minh rằng khụng thể tồn tại 1 số tự nhiờn khi chia cho 21 dư 7 và khi chia cho 84 lại dư 3
Bài 36: Cho 4 số nguyờn dương khỏc nhau thỏa món : tổng của hai số bất kỡ chia hết cho 2 và tổng của ba số 
bất kỡ chia hết cho 3, Tớnh giỏ trị nhỏ nhất cảu tổng bốn số đú
Nguyễn Văn Ma 4 Bài 37: Tỡm số tự nhiờn cú 4 chữ số chia hết cho 5 và 27, biết rằng hai số giữa của nú là 97
HD:
 Gọi số cần tỡm là a97b vỡ a97b 5 nờn b = 0 hoặc b = 5 => 2 trường hợp
 TH1: Với b 0 a97027 a 9 7 0 a 169 a 2 , Khi đú số cần tỡm là 2970 thỏa món 
 chia hết cho 27
 TH2: Với b 5 a97527 a 9 7 5 a 219 a 6, Khi đú số cần tỡm là 6975 khụng 
 chia hết cho 27 
Bài 38: Tỡm 1 số cú hai chữ số biết số đú chia hết cho tớch cỏc chữ số của nú
HD:
 Gọi số cần tỡm là ab
 => ab 10a b Mà aba.b 10a bab 10a ba ba b k.a k N 
 Và 10a bb 10ab , mà do b chia hết cho a=> 10a b.q 10a z.k.q 10 k.q
 Do k là số cú 1 chữ số nờn k= 1;2;5
 Với k=1=> a=b, ta cú cỏc số 11,22,33,....99, cú số 11 thỏa món
 Với k=2=>b=2a, ta cú cỏc số 12, 24, 36, 48, cú cỏc số 12, 24, 36 thỏa món
 Với k=5=> b=5a ta cú số 15 thỏa món.
 Vậy cỏc số cần tỡm là 11, 12, 24, 36, 15
Bài 39: Cho số tự nhiờn abbằng ba lần tớch cỏc chữ số của nú, cmr b  a
HD:
 Ta cú: ab =3ab=>10a+b=3ab=>10a+b a =>ba
Bài 40: Tỡm a, b, c biết: 2009abc315
HD:
 Ta cú: 315 5.7.9 , Mà (5;7;9) 1 2009abcBCNN 5;7;9 
 Ta cú: 2009abc 2009000 abc 315.6377 245 abc
 245 abc 315 315 U 245 abc 
 Mà 100 abc 999 345 245 abc 1244 245 abc 630;945 abc 385;700
Bài 41: Tỡm a,b biết: a-b=3 và (14a3 35b2)9
HD:
 Ta cú: Để : 14a3 35b29 1 4 a 3 3 5 b 2 a b 189 a b9
 mà a và b là số chú 1 chữ số nờn a b 0, a b 9, a b 18
 kết hợp với a - b =3 để tỡm a và b
Bài 42: Tỡm a,b biết:c, 5a6b23và a - b=4
HD:
 Để 5a6b23 5 a 6 b 2 a b 133 a b 13
 Do a, b là hai số tự nhiờn cú 1 chữu số nờn: 
 a b 2, a b 5, a b 8, a b 11, a b 14, a b 17, , Kết hợp với a b 4 để tỡm a,b
Bài 43: Tỡm a,b biết rằng: 1999 1a6 29 
Bài 44: Tỡm a biết rằng: 1999 19a8 1997 
Bài 45: Cho x y 7 x, y Z , CMR cỏc biểu thức sau chia hết cho 7
a/ 22x y b/ 8x 20 y c/ 11x 10 y
HD:
 a, Ta cú: x y 7 x y7 x y 21x7 22x y7
 b, Ta cú: x y 7 x y 7x 21y 7 8x 20y7
 c, Ta cú: x y7 11x 11y7 11x 11y 21y7 11x 10y7
Nguyễn Văn Ma 5 Bài 46: Cho A 111...1Gồm 20 chữ số 1: hỏi A cú chia hết cho 111 khụng?
HD:
 Ta cú: 111 3.37, nờn để 111...1111 111...13 và chia hết cho 37
 Ta cú: 111...1 ( 20 số 1 ) cú tổng cỏc chữ số là 1+1+1+...+1=20 
 khụng chia hết cho 3 nờn 111...1111 
Bài 47: CMR: nếu 7x+4y 29 thỡ 9x+y  29
HD:
 Ta cú: 7x 4y9 36x 29x 4y9 36x 4y9 4 9x y 9 9x y9
Bài 48: CMR nếu abcd29 thỡ a+3b+9c+27d chia hết cho 29
HD:
 Ta cú: abcd29 1000a 100b 10c d29
 200a 200b 20c 2d29 2001a 1 203b 3b 29c 9c 29d 2d 29
 2001a 203b 29c 29d a 3b 9c 27d 29
 69.29a 7.29b 29c 29d a 3b 9c 27d 29
 Khi đú: a 3b 9c 27d29
Bài 49: Chứng minh rằng nếu x,y là cỏc số nguyờn sao cho 7x 3y 13 thỡ 5x 4y cũng chia hết cho 13 
và ngược lại
HD:
 Ta cú: 5x 4y13 4 5x 4y 13 20x 16y13 7x 3y13. Từ đú ta đi ngược lại là ra
Bài 50: Cho A n2 n 2 , CMR A khụng chia hết cho 15 với mọi số tự nhiờn n
HD:
 n2 n 2 n n 1 2 , Vỡ n n 1 là tớch hai số tự nhiờn liờn tiếp nờn chỉ cú chữ số tận cựng là : 
 0, 2, 6, Do đú : n n 1 2 sẽ cú tận cựng là 2, 4, 8 nờn khụng  5, vậy A khụng chia hết cho 35
Bài 51: Cho a,b là hai số chớnh phương lẻ liờn tiếp, CMR : a 1 b 1 192
HD:
 Ta cú: Vỡ a, b là số lẻ nờn a 1 b 1 4
 2 2
 Đặt a 2k 1 ,b 2k 1 a 1 4k k 1 , b 1 4k k 1 
 Khi đú : a 1 b 1 16k2 k 1 k 1 , Mà k k 1 k 2 3 
 Và k k 1 ,k k 1 đều chia hết cho 2 
 Nờn k2 k 1 k 1 12 a 1 b 1 16k2 k 1 k 1 192 ,
 Khi a, b là số chớnh phương lẻ liờn tiếp
Bài 52: Tỡm số nguyờn tố tự nhiờn n biết 2n+7 chia hết cho n+1 và 12n+1
HD:
 Ta cú : 2n 7n 1 2x 2 5n 1 2 n 1 5n 1 n 1 U 5 
 Tương tự : 
 2n 712n 1 6 2n 7 12n 1 12n 4212n 1 12n 1 4112n 1 12n 1 U 41
Bài 53: Tỡm x,y nguyờn dương biết (x+1) chia hết cho y và (y+1) chia hết cho x
HD:
 Ta cú : Vỡ vai trũ của x, y bỡnh đẳng nờn giả sử : x y
 y 1
 Nếu x 1 x 1 2 y x; y 1;1 , 1;2 
 y 2
Nguyễn Văn Ma 6 x 1 y
 Nếu x 2 2 x y x 1 y 1 xy x y 1 xy x y 1 xy
 y 1x
 x y 1 1 1 1
 là số nguyờn dương
 xy x y xy
 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1
 Mà 2 x y 1 (1)
 x y xy 2 2 4 4 x y xy
 1 1 1 1 1 1 5
 1 2x 5 x 2 , Thay vào (1) ta cú :
 x y xy x x 2x 2x
 1 1 1
 1 y 3
 2 y 2y
 Vậy cỏc cặp số (x ; y) phải tỡm là : (1 ;1), (1 ;2), (2 ; 1), (2 ; 3), (3 ;2)
Bài 54: Tỡm 1 số cú ba chữ số biết số đú chia cho 11 được thương bằng tổng cỏc chữ số của số đú
HD :
 Ta cú : Gọi số cần tỡm là : abc
 Theo bài ra ta cú : abc 11 a b c 100a 10b c 11a 11b 11c
 89a b 10c 89a cb, Vỡ cb là số cú hai chữ số nờn 0 < a< 2
 => a = 1, Khi đú ta cú : 89 cb bc 98 abc 198
Bài 55: Chứng minh rằng : n : 6 1 thỡ n 1 n 1 24
HD :
 Vỡ n;6 1 n  2,n  3 n 2k 1,n 3k 1,n 3k 2
 Với: n 2k 1 A 2k 1 1 2k 1 1 4k k 1 8
 TH1 : n 3k 1 A 3k 3k 2 3 A24
 TH2: n 3k 2 A 3k 1 3k 3 3 A24
Bài 56: CMR: an 4 an 30, với mọi n là số nguyờn dương
Bài 57: Chứng minh rằng 2x+3y chia hết cho 17 khi và chỉ khi 9x+5y chia hết cho 17
HD:
 Ta cú : 2x 3y17 9 2x 3y 17 18x 27y17 18x 10y17 2 8x 5y 17
 Khi đú : 8x 5y17 , Chứng minh tương tự điều ngược lại
Bài 58: CMR: M a b a c a d b c b d c d chia hết cho 12, Với a, b, c, d là cỏc số 
nguyờn
HD:
 Ta cú : M a b a c a d b c b d c d 
 Trong 4 số a,b,c,d chắc chắn cú hai số chia cho 3 cú cựng số dư, Nờn hiệu của chỳng chia hết cho 3, 
 Như vậy M đó chia hết cho 3
 Lại cú trong 4 số nguyờn a,b,c,d hoặc cú 2 số chẵn hoặc cú 2 số lẻ, Giả sử a,b là số chẵn, c,d là số lẻ 
 Khi đú a b , c d 2 a b c d 4 M4
 Hoặc nếu khụng phải như trờn thỡ trong 4 số trờn tồn tại 2 số chia 4 cú cựng số dư nờn hiệu của 
 chỳng chia hết cho 4, Khi đú M  4
 Như vậy M chia hết cho cả 3 và 4 nờn M chia hết cho 12
Bài 59: Một số chia cho 7 dư 3, Chia cho 17 dư 12 chia 23 dư 7, hỏi số đú chia cho 2737 dư bao nhiờu?
HD:
 Gọi số đó cho là A, theo bài ra ta cú: A=7a+3=17b+12=23c+7
 Mặt khỏc : a+39=7a+42=17b+51=23c+46=7(a+6)=17(b+3)=23(c+2) vậy a+39 đồng thời chia hết cho 
 7,17,23
 Mà 7,17,23 đụi 1 nguyờn tố nờn A+39 chia hết cho 7.17.23=2737, vậy A chia 27737 dư 2698
Nguyễn Văn Ma 7 Bài 60: CMR: A 88 220 , chia hết cho 17
HD:
 Ta cú: A = 88 220 224 220 220 24 1 220.1717 
Bài 61: Khi chia 1 số tự nhiờn gồm 3 chữ số giống nhau cho 1 số tự nhiờn gồm 3 chữ số giống nhau ta được 
thương là 2 và cũn dư, Nếu xúa 1 chữ số ở số bị chia và xúa 1 chữ số ở số bị chia thỡ thương của phộp chia 
vẫn bằng 2 nhưng số dư giảm hơn trước là 100, Tỡm số chia và số bị chi lỳc đầu?
HD:
 Gọi số bị chia lỳc đầu là aaa và số chia lỳc đầu là bbb , số dư lỳc đầu là r
 Ta cú: aaa 2.bbb r và aa 2.bb r 100 nờn
 aaa aa 2 bbb bb 100 a00 2.b00 100 a 2b 1
 Do a, b là cỏc chữ số nờn ta cú bảng:
Bài 62: Cho D=1-2+3-4+...+99-100
a, D cú chia hết cho 2 khụng, cho 3, cho 5 khụng? vỡ sao?
b, D cú bao nhiờu ước số tự nhiờn, bao nhiờu ước số nguyờn? 
HD:
 a, Ta tớnh được D= - 50, nờn D cú chia hết cho 2, và 5 nhưng khụng chia hết cho 3 
 b, D = -50 2.52 nờn cú (1+1)(1+2)=6 ước tự nhiờn, và cú 12 ước nguyờn
Bài 63: CMR : 102011 8 chia hết cho 72
HD:
 2011
 10 8 1000...008 Cú tổng cỏc chữ số là 9 nờn chia hết cho 9, và cú chữ số tận cựng là 008 nờn 
 2010
 chia hết cho 8, Như vậy chia hết cho 8.9 = 72
Bài 64: Cho A 9999931999 5555571997 , CMR A chia hết cho 5
HD:
 1996 3 1996 1
 Ta cú : A 999993 555557 9999931996.9999933 5555571996.555557
 A .....1.......7 ......1......7 ....05 A5
Bài 65: Cho 4 số tự nhiờn liờn tiếp  cho 5, khi chia cho 5 được cỏc số dư khỏc nhau, 
CMR: tổng của chỳng 5
Bài 66: Cho a,n N * , biết a n 5 , cmr a 2 150 chia hết cho 25
HD:
 Ta cú: a 5 5 mà 5 là số nguyờn tố a5 a 2 25 a 2 15025 
Bài 67: Chứng minh rằng nếu a khụng là bội của 7 thỡ a 6 1 chia hết cho 7
Bài 68: Chứng minh rằng a 5 a10 
Bài 69: CMR : p n2 3n 5, khụng chia hết cho 121 với mọi số tự nhiờn n
Bài 70: Cho a,b là hai số nguyờn, CMR : Nếu 3a 2 11ab 4b2 169 thỡ ab13
Bài 71: CMR nếu a, b là cỏc số tự nhiờn sao cho 5a 3b,13a 8b cựng chia hết cho 2003, thỡ a và b cựng 
chia hết cho 2013
Bài 72: Chứng minh rằng: 817 279 913 chia hết cho 405
Bài 73: Cho a, b N * , thỏa món số M 9a 11b 5b 11a chia hết cho 19, Hóy giải thớch vỡ sao M 
chia hết cho 361
HD:
 Ta cú: M 9a 11b 5b 11a 19 mà 19 là số nguyờn tố nờn 9a 11b19 hoặc 5b 11a19 
 Xột M 3 9a 11b 5b 11a 27a 33b 5b 11a 38a 38b 19 2a 2b 19 
 + Nếu 9a 11b19 3 9a 11b 19 mà N19 5b 11a19 (1) 
 + Nếu 5b 11a19 , mà N19 3 9a 11b 19 9a 11b19 (2)
Nguyễn Văn Ma 8 Từ (1) và (2) suy ra : 9a 11b 19 và 5b 11a 19 M192 361 
Bài 73: Cho hai số tự nhiờn a và b thỏa món : m 16a 17b 17a 16b là 1 bội số của 11, CMR : Số m 
cũng là một bội số của 121
HD:
 Vỡ 11 là số nguyờn tố: mà m 16a 17b 17a 16b 11 16a 17b11 hoặc 17a 16b11 
 Khụng mất tớnh tổng quỏt: giả sử: 16a 17b11 , ta cần chứng minh 17a 16b 11 
 Thật vậy: 16a 17b11 2 16a 17b 11 33 a b b a11 b a11 a b11 
 Lại cú: 2 17a 16b 33 a b a b11 17a 16b 11 
 Vậy 16a 17b 17a 16b 11.11 121 
Bài 73: Cho a, b là hai số nguyờn thỏa món: 17a 5b 5a 17b chia hết cho 11, 
Chứng minh rằng : 17a 5b 5a 17b 121 
Bài 73: Cho a, b là hai số tự nhiờn. CMR: ab a2 b2 4a2 b2 5 
Bài 73 : Cho a, b là hai số nguyờn. CMR: ab a2 b2 a2 b2 30 
Bài 74: Cho a, b là cỏc số nguyờn dương sao cho : a 1,b 2007 chia hết cho 6. CMR: 4a a b6 
HD:
 Vỡ a Z 4a  1 mod3 4a 2  0 mod3 
 Mà 4a 2  0 mod 2 4a 26 
 Khi đú ta cú: 4a a b 4a 2 a 1 b 2017 20106 
 Mà a 16,b 20176 4a a b6 
 1 1 1
Bài 75: Cho A ... , CMR : A khụng là số tự nhiờn
 11 12 40
HD:
 Ta quy đồng tổng A, Khi đú mẫu số sẽ là tớch của 2 5 với cỏc thừa số lẻ nhở hơn 40 và lứn hơn 10
 Gọi k11, k12, k13, ..., k40 là cỏc thừa số phụ tương ứng
 k11 k12 ... k40 
 Khi đú tổng A cú dạng : A , Trong 30 phõn số của tổng A, chỉ cú duy nhất 
 25.11.13.....39
 1
phõn số cú mẫu chứa 2 5 , nờn trong cỏc thừa số phụ k11, k12, ... k40 chỉ cú k32 là số lẻ, cũn lại cỏc 
 32
thừa số phụ khỏc đều chẵn vỡ cú ớt nhất 1 thừa số 2, Khi đú phõn số A cú Mẫu chia hết cho 2, cũn tử khụng 
chia hết cho 2 nờn A khụng là số tự nhiờn
 1 1 1
Bài 76: Cho A 1 ... , CMR : A khụng là số tự nhiờn
 2 3 100
HD:
 Ta quy đồng tổng A, Khi đú mẫu số sẽ là tớch của 26 với cỏc thừa số lẻ nhỏ hơn 100 
 Gọi k1, k2, k3, ..., k100 là cỏc thừa số phụ tương ứng
 k1 k2 ... k100 
 Khi đú tổng A cú dạng : A , 
 25.3.5.7.....99
 1
 Trong 100 phõn số của tổng A, chỉ cú duy nhất phõn số cú mẫu chứa 26 , 
 64
 nờn trong cỏc thừa số phụ k1, k2, ... , k100 chỉ cú k62 là số lẻ, cũn lại cỏc thừa số phụ khỏc đều chẵn 
 vỡ cú ớt nhất 1 thừa số 2, Khi đú phõn số A cú Mẫu chia hết cho 2, cũn tử khụng chia hết cho 2 nờn A 
 khụng là số tự nhiờn
Nguyễn Văn Ma 9 1 1 1
Bài 77: CMR: A ... thỡ A khụng là số tự nhiờn
 2 3 50
HD:
 Ta quy đồng tổng A, Khi đú mẫu số sẽ là tớch của 2 5 với cỏc thừa số lẻ nhỏ hơn 50, lớn hơn 1 
 Gọi k2, k3, k4, ..., k50 là cỏc thừa số phụ tương ứng
 k2 k3 ... k50 
 Khi đú tổng A cú dạng : A , 
 25.3.5.....50
 1 5
 Trong 49 phõn số của tổng A, chỉ cú duy nhất phõn số cú mẫu chứa 2 , 
 32
 nờn trong cỏc thừa số phụ k2, k3, ... k50 chỉ cú k32 là số lẻ, cũn lại cỏc thừa số phụ khỏc đều chẵn vỡ 
 cú ớt nhất 1 thừa số 2, Khi đú phõn số A cú Mẫu chia hết cho 2, cũn tử khụng chia hết cho 2 nờn A 
 khụng là số tự nhiờn
 49 48 2 1
Bài 78: Cho 50A ... , CMR A khụng là số tự nhiờn?
 1 2 48 49
HD:
 48 47 2 1 
 50A 1 1 ... 1 1 1
 2 3 48 49 
 50 50 50 50 50 1 1 1 
 50A ... 50 ... 
 2 3 4 49 50 2 3 50 
 1 1 1 1
 A ... , Theo chứng minh của bài 24 thỡ A khụng là số tự nhiờn
 2 3 4 50
 1 1 1 1 a
Bài 79: Cho A 1 ... , Chứng minh rằng b2431
 2 3 4 18 b
HD :
 Tỏch 2431=17.13.11
 Quy đồng A ta thấy rằng b=1.2.3.....18 cú chứa 17.13.11 
Nguyễn Văn Ma 10