Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 - Chuyên đề 7: Số nguyên tố và số chính phương - Nguyễn Văn Ma

 CHUYÊN ĐỀ SỐ NGUYÊN TỐ VÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
 A, LÝ THUYẾT
1. Số nguyên tố:
Tìm các ước của 2; 3; 4; 5; 6
Các số 2; 3; 5 chỉ có hai ước là 1 và chính nó nên gọi là số nguyên tố, còn 4 và 6 có nhiều hơn hai ước nên gọi 
là hợp số
Đ/N: Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước là 1 và chính nó
 Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước
Chú ý: Số 0, 1 không là số nguyên tố cũng không là hợp số
 Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhât, các số nguyên tố còn lại đều là số lẻ
Các số nguyên tố < 20 là 2; 3; 5;7; 11; 13; 17; 19
 B, LUYỆN TẬP
 Dạng 1: TÌM SỐ NGUYÊN TỐ
Bài 1: Tổng hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số:
a, 3.4.5+6.7 b, 5.7.9.11-2.3.4.7 c, 3.5.7+11.13.17 d, 16354+67541
HD:
 a, Ta có: 3.4.5 6.7 3 4.5 2.7 3, Vậy tổng trên là hợp số
 b, Ta có: 5.7.9.11 2.3.4.7 7 5.9.11 2.3.4 7 , Vậy tổng trên là hợp số
 c, Ta có : 16354 67541 có chữ số tận cùng là 5 nên chia hết cho 5, Vậy tổng trên là hợp số
Bài 2: Tổng hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số:
a, 5.6.7+8.9 b, 5.7.9.11.13-2.3.7 c, 5.7.11+13.17.19 d, 4253+1422
HD :
 a, Ta có : 5.6.7 8.9 3 5.2.7 8.3 3 , Vậy tổng trên là hợp số
 b, Ta có : 5.7.9.11.13 2.3.7 7 5.9.11.13 2.3 7 , Vậy tổng trên là hợp số
 c, Ta có : 5.7.11 là 1 số lẻ, và 13.17.19 cũng là 1 số lẻ, Nên tổng là số chẵn2=> Là hợp số
 d, Ta có : 4253 1422 có chữ số tận cùng là 5 nên chia hết cho 5, Vậy tổng trên là hợp số
Bài 3: Tổng hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số:
a, 17.18.19.31+11.13.15.23 b, 41.43.45.47+19.23.29.31 c, 987654+54321
HD :
 a, Ta có: 17.18.19.31 11.13.15.23 3 17.6.19.31 11.13.5.23 3 , là hợp số
 b, Ta có: 41.43.45.47 là số lẻ, 19.23.29.31 là số lẻ, nên tổng là số chẵn nên là hợp số
 c, Ta có : 987654 54321 có chữ số tận cùng là 5 nên chia hết cho 5, là hợp số
Bài 4: Tổng hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số:
a, 5.31.19.101+62.131.1989.17 b, 23.161.121.19-13.157.22.17 c, 123456789+729
Bài 5: Tổng hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số:
a, 5.7.8.9.11-132 b, 4.5.6+9.13 c, 7.11.13-5.6.7 d, 17.19.23+23.25.27
Bài 6: Tổng hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số:
a, 11.13.17-121 b, 15+3.40+8.9 c, 5.7.9-2.5.6 d, 90.17-34.40+12.51
Bài 7: Tổng hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số:
a, 2010+4149 b, 5 52 53 54 c, 7.8.9.10-2.3.4.5 d, 20072 20102
HD :
 d, Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 3 
Bài 8: Tổng hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số: 1.2.3 . n + 1
HD :
 Xét n 3 1.2.3 1 7 là số nguyên tố
 Xét n 4 1.2.3.4 1 25 là hợp số. Vậy không kết luận được
Bài 9: Cho a=2.3.4.5 .2008. Hỏi 2007 số tự nhiên liên tiếp sau có đều là hợp số không
Nguyễn Văn Ma1 a+2, a+3, a+4, .. , a+2008
HD:
 Ta có: 2007 số trên đều là hợp số vì chúng lần lượt chia hết cho 2; 3; 4; ; 2008, Và lớn hơn 2
Bài 10: Thay chữ số d vào số 5d để được 1 hợp số
HD:
 Vì d 0;1;2;3;...;8;9 
 Nếu d 0;2;4;6;8 5d 2 => là hợp số
 Nếu d 1;7 5d 3 => là hợp số
 Nếu d 5 555 => là hợp số
 Nếu d 3;9 5d là số nguyên tố 
Bài 11: Thay chữ số vào * để 7* là số nguyên tố
HD:
 Vì * 0;1;2;3;....;8;9 
 Nếu * 0;2;4;6;8 7*2 là hợp số
 Nếu * 5;7 7*5,7*7 là hợp số
 Nếu * 1;3;9 7* là số nguyên tố
Bài 12: Thay chữ số vào * để 5* là số nguyên tố
Bài 13: Thay a vào 13a để được 1 số nguyên tố
Bài 14: Thay chữ số vào 8 để 1*,3* là hợp số
Bài 15: Thay chữ số vào * để 5*,9* là số nguyên tố
Bài 16: Tìm số tự nhiên k để 3.k là số nguyên tố, 7.k là số nguyên tố
HD:
 Vì 3.k chia hết cho 3, nên để là số nguyên tố thì 3k chỉ có 2 ước là 1 và chính nó, Vậy k=1
 Vì 7.k chia hết cho 7, nên để là số nguyên tố thì 7k chỉ có 2 ước là 1 và chính nó, Vậy k=7
Bài 17: Thay dấu * bằng chữ số thích hợp để mỗi số sau là số nguyên tố: *1,15*,12*,2*9
Bài 18: Các số sau đây là số nguyên tố hay hợp số: 
a, 111...1( 2010 số 1) b, 333...3 ( 2009 số 3) c, n(n+1),n > 0 d, 3.5.7.9-28
HD:
 a, Số 111...111 (2010 số 1) => là hợp số
 b, Số 333...33 => Là hợp số
 c, Số n n 1 có 2 TH : 
 Nếu n 1 n n 1 2 là số nguyên tố
 Nếu n 2 n n 1 là hợp số vì n và n+1
 d, Số 3.5.7.9 287 => là hợp số
Bài 19: Các số sau đây là số nguyên tố hay hợp số: 
a, 3. n5 b, 111 1 (2001 chữ số 1) c, n4 4 d, 1112111
HD:
 a, Với n 1 3.n5 3 là số nguyên tố
 Với n 2 3.n5 là hợp số
 b, Số 111...1 ( 2001 chữ số 1) có tổng các chữ số là 20013=> là hợp số
 c, Với n 1 n4 4 5 là số nguyên tố
 Với n 2 n4 4 là hợp số
 d, Số 1112111 1111000 1111 1111 103 1 1111 là hợp số
Bài 20: Các số sau đây là số nguyên tố hay hợp số: 
Nguyễn Văn Ma2 a, 111 1(2000 số 1) b, 1010101 c, 311141111
HD:
 a, Số 111....1 (2000 số 1) chia hết cho 11 nên là hợp số
 b, Số 1010101 101.10001101 nên là hợp số
 c, Số 311141111 311110000 31111 chia hết cho 31111 nên là hợp số 
Bài 21: Tìm tất cả các số tự nhiên n để 
a, n2 12n là số nguyên tố b, 3n 6 là số nguyên tố
HD :
 a, Ta có : n2 12n n n 12 , Vì n 12 1 n n 12 có thêm 2 ước là n và n+2
 Để n n 12 là số nguyên tố thì n 1 n2 12n 13 (thỏa mãn)
 b, Nếu n 0 3n 6 7 là số nguyê tố
 Nếu n 0 3n 63 là hợp số
Bài 22: Tìm số nguyên tố p sao cho: 
a, p+2, p+4 cũng là số nguyên tố b, p+10, p+14 là số nguyên tố
HD :
 a, Giả sử với p 2 là số nguyên tố => p 2 4 là hợp số p 2 l 
 Với p 3 là số nguyên tố p 2 5, p 4 7 đều là số nguyên tố=> p 3 t / m 
 Với p 3 p 3k 1, p 3k 2, k N 
 Nếu p 3k 1 giả sử là số nguyên tố p 2 3k 1 23 là hợp số => p 3k 1 l 
 Nếu p 3k 2 giả sử là số nguyên tố => p 4 3k 2 43 là hợp số=> p 3k 2 l 
 Vậy p = 3 là số nguyên tố cần tìm
 b, Giả sử với p 2 là số nguyên tố p 10 122 là hợp số p 2 l 
 Với p 3 là số nguyên tố p 10 13, p 14 17 đều là số nguyê tố p 3 t / m 
 Với p 3 p 3k 1, p 3k 2, k N 
 Nếu p 3k 1 giả sử là số nguyên tố p 14 3k 1 143 là hợp số p 3k 1 l 
 Nếu p 3k 2 giả sử là số nguyên tố p 10 3k 2 103 là hợp số p 3k 1 l 
 Vậy p = 3 là số nguyên tố cần tìm
Bài 23: Tìm số nguyên tố p sao cho: 
a, p+2, p+6, p+8, p+14 cũng là số nguyên tố b, p+6, p+8, p+12, p+14 cũng là số nguyên tố
HD :
 a, Giả sử với p 2 là số nguyên tố => p 2 42 là hợp số=> p 2 l 
 Với p 3 là số nguyên tố p 6 93là hợp số=> p 3 l 
 Với p 5 là số nguyên tố => p 2 7, p 6 11, p 8 13, p 14 19 đều là số nguyên tố
 Với p 5 p 5k 1, p 5k 2, p 5k 3, p 5k 4, k N 
 Nếu p 5k 1 giả sử là số nguyên tố p 14 5k 1 145 là hợp số p 5k 1 l 
 Nếu p 5k 2 giả sử là số nguyên tố p 8 5k 105 là hợp số p 5k 1 l 
 Nếu p 5k 3 giả sử là số nguyên tố p 2 5k 3 25 là hợp số p 5k 3 l 
 Nếu p 5k 4 giả sử là số nguyên tố p 6 5k 4 65 là hợp số p 5k 4 l 
 Vậy p=5 là số nguyên tố cần tìm
Nguyễn Văn Ma3 Bài 24: Tìm số nguyên tố p sao cho: 
a, p+4, p+8 cũng là số nguyên tố b, p+94, p+1994 cũng là số nguyên tố
HD :
 b, Giả sử với p 2 là số nguyên tố => p 94 96 là hợp số p 2 l 
 Với p 3 là số nguyên tố p 94 97, p 1994 1997 đều là số nguyên tố=> p 3 t / m 
 Với p 3 p 3k 1, p 3k 2, k N 
 Nếu p 3k 1 giả sử là số nguyên tố p 1994 3k 1 19943 là hợp số => p 3k 1 l 
 Nếu p 3k 2 giả sử là số nguyên tố => p 94 3k 2 943 là hợp số=> p 3k 2 l 
 Vậy p = 3 là số nguyên tố cần tìm
Bài 25: Tìm số nguyên tố p sao cho: 
a, p+18, p+24, p+26, p+32 cũng là số nguyên tố b, p+2, p+10 cũng là số nguyên tố
Bài 26: Tìm số nguyên tố p sao cho: p+2, p+8, p+16 đều là số nguyên tố
Bài 27: Tìm số nguyên tố p sao cho:
a, 2p-1, 4p-1 cũng là số nguyên tố b, 2p+1, 4p+1 cũng là số nguyên tố
HD:
 a, Giả sử với p 2 là số nguyên tố => 2 p 1 3,4 p 1 7 là số nguyên tố p 2 t / m 
 Với p 3 là số nguyên tố 2 p 1 5,4 p 1 11 đều là số nguyên tố=> p 3 t / m 
 Với p 3 p 3k 1, p 3k 2, k N 
 Nếu p 3k 1 giả sử là số nguyên tố 4 p 1 4 3k 1 1 12k 33 là hợp số 
 => p 3k 1 l 
 Nếu p 3k 2 giả sử là số nguyên tố => 2 p 1 2 3k 2 1 6k 33 là hợp số
 => p 3k 2 l 
 Vậy p = 3 và p = 2 là số nguyên tố cần tìm
 b, Giả sử với p 2 là số nguyên tố => 4 p 1 9 là hợp số p 2 l 
 Với p 3 là số nguyên tố 2 p 1 7,4 p 1 13 đều là số nguyên tố=> p 3 t / m 
 Với p 3 p 3k 1, p 3k 2, k N 
 Nếu p 3k 1 giả sử là số nguyên tố 2 p 1 2 3k 1 1 6k 33 là hợp số 
 => p 3k 1 l 
 Nếu p 3k 2 giả sử là số nguyên tố => 4 p 1 4 3k 2 1 12k 93 là hợp số
 => p 3k 2 l 
 Vậy p = 3 là số nguyên tố cần tìm
Bài 28: Tìm tất cả các số tự nhiên n để n+1, n+3, n+7, n+9, n+13, n+15 đều là số nguyên tố
Bài 29: Tìm tất cả các số nguyên tố p, q sao cho 7p+q và pq+11 cũng là số nguyên tố
HD :
 Nếu pq 11 là số nguyên tố thì nó phải là số lẻ vì nó là số nguyên tố lớn hơn 2
 Suy ra pq là số chẵn, khi đó ít nhất 1 trong 2 số p hoặc q bằng 2
 Giả sử : p 2 7 p q 14 q là số nguyên tố
 Nếu q 2 7 p q 7.2 2 16 l 
 Nếu q 3 p.q 11 2.3 11 17 t / m và 7 p q 7.2 3 17 t / m 
 Nếu q 3 q 3k 1,q 3k 2, k N 
 Với q 3k 1 7 p q 14 3k 13 là hợp số q 3k 1 l 
 Với q 3k 2 pq 11 2q 11 2 3k 2 11 6k 153 là hợp số q 3k 2 l 
 Vậy p 2,q 3 
Nguyễn Văn Ma4 Xét tiếp TH giả sử q 2 thì ta được p 3 
Bài 29 : Cho p và p + 4 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng p + 8 là hợp số
Bài 30: Tìm số nguyên tố k để 5k là số nguyên tố
HD :
 Thấy 5k luôn có 2 ước là 1 và chính nó
 Nên k 1 5k là hợp số
 Để 5k là số nguyên tố thi k=1
Bài 31: Tìm số nguyên tố p sao cho 5p+7 là số nguyên tố
HD :
 Nhận thấy p 2 là số nguyê tố, và 5p 7 17 cũng là số nguyên tố
 Ngoài p 2 thì p chỉ có thể là p 2k 1, k N 
 Nếu p 2k 1 5p 7 5 2k 1 7 10k 122 là hợp số, nên p 2k 1 l 
 Vậy p=2 là số nguyên tố cần tìm
Bài 32: Tìm số tự nhiên k để 11k cũng là số nguyên tố
Bài 33: Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên n (n>1) luôn tìm được n số tự nhiên liên tiếp đều là hợp số
HD :
 Chọn số tự nhiên a 2.3.4....n. n 1 
 Khi đó ta có n số tự nhiên liên tiếp là a 2,a 3,a 4,.....,a n,a n 1 đều là hợp số 
 Vì n số trên lần lượt chia hết cho 2,3,4,....,n,n 1 
Bài 34: Tìm 2002 số tự nhiên liên tiếp đều là hợp số
HD :
 Chọn a 2.3.4.....2002.2003 
 Khi đó ta có 2002 số tự nhiên liên tiếp là a 2,a 3,a 4,....,a 2002,a 2003 đều là hợp số
 Vì 2002 số trên lần lượt chia hết cho 2,3,4,....,2002,2003 
Bài 35: Tìm các số nguyên tố a sao cho 6a+13 là số nguyên tố và 25 6a 13 45
HD :
 Ta có : Từ 25 đến 45 có 5 số nguyên tố là : 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43
 Nên ta có bảng sau :
 6a+13 29 31 37 41 43
 a 3 4 5
 Mà a là số nguyên tố nên a = 4 (loại)
Bài 36: Tìm các số nguyên tố a để 2a+7 là các số nguyên tố <20
Bài 37: Tìm 1 số nguyên tố, biết rằng số đó bằng tổng của hai số nguyên tố và bằng hiệu của hai số nguyên tố
HD :
 Gọi số nguyên tố cần tìm là p, Nhận thấy p>2
 Vì p vừa là tổng vừa là hiệu của 2 số nguyên tố nên trong đó phải có 1 số nguyên tố chẵn, 
 Như vậy số chẵn là 2,Khi đó ta có :
 p a 2 b 2 ( với a, b là các số nguyên tố)
 a p 2, p,b p 2 là 2 số lẻ liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 3, vậy phải có 1 số bằng 3
 Nếu a 3 p 5,b 7 
 Nếu p 3 a 1 l 
 Nếu b 3 p 1 l 
 Vậy số nguyên tố cần tìm là 5
Bài 38: Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 4p+11 là số nguyên tố <30
Bài 39: Tìm ba số tự nhiên lẻ liên tiếp đều là số nguyên tố
Bài 40: Tìm ba số nguyên tố sao cho tích của chúng gấp 5 lần tổng của chúng
Bài 41: Tìm các số nguyên tố a,b,c sao cho a.b.c = 3(a +b+c)
Nguyễn Văn Ma5 Bài 42: Tìm số nguyên tố p sao cho p2 23 có đúng 6 ước dương
HD: 
 Đặt A= p2 23 p 2 A 27 , Để A có 6 ước thì 6=2.3=> A a x .b y x 1 y 1 6
 Với x y 1
 Nếu A chứa 1 thừa số nguyên tố thì x+1=6=>x=5, Chọn thừa số nguyên tố bé nhất là 2 thì A 25 32
 Nếu A chứa hai thừa số nguyên tố thì: x=2, y=1 hoặc ngược lại, để A nhỏ nhất ta chọn thừa số nguyên 
 tố bé có số mũ lớn và thừa số lớn có số mũ bé là A 22.31 6 ước: Đối chiếu đề bài ta thấy A>27 thì 
 32 thỏa mãn: => p2 32 23 9 32 và 3 là số nguyên tố.
Bài 43: Cho 3 số nguyên tố lớn hơn 3 thỏa mãn số sau lớn hơn số trước là k đơn vị. CMR: k6
HD: 
 Gọi 3 số nguyên tố thỏa mãn là: p, p+k và p+2k
 => k là số chẵn=> k chia hết cho 2, Giả sử k không chia hết cho 3 khi đó k 3m 1,k 3m 2
 TH1: k 3m 1
 Với p chia 3 dư 1 thì: p=3n+1=> p+2k=3n+1+6m+2 chia hết cho 3 ( loại)
 Với p chia 3 dư 2 thì: p=3n+2=> p+k = 3n+2+3m+1 chia hết cho 3(loại)
 TH2: k=3m+2
 Với p chia 3 dư 1 thì: p=3n+1=>p+k=3n+1+3m+2 chia hết cho 3 (loại)
 Với p chia 3 dư 2 thì: p=3n+2=> p+2k=3n+2+6m+4 chia hết cho 3(loại)
 nên k phải chia hết cho 3 nên k chia hết cho 3=> k chia hết cho 6
Bài 44: Tìm số nguyên tố p sao cho 2 p2 1 cũng là số nguyên tố
Bài 45: Tìm mọi số nguyên tố thỏa mãn: x2 2y2 1
HD: 
 Từ gt=> x2 1 2y2 , nếu x chia hết cho 3 vì x nguyên tố nên x=3, lúc đó y=2 nguyên tố
 Nếu x không chia hết cho 3 thì x2 1 chia hết cho 3 khi đó 2y2 chia hết cho 3, mà (2;3) =1 
 Nên y chia hết cho 3, => y=3 vậy x2 19 không thỏa mãn,
Bài 46: Tìm số n nhỏ nhất để: n + 1; n + 3; n + 7 đều là nguyên tố.
Bài 47: Tìm hai số nguyên tố p và q biết rằng p > q sao cho p + q và p – q đều là các số nguyên tố. 
Bài 48: Tìm các số nguyên tố p thỏa mãn: 2 p p2 là số nguyên tố.
Bài 49: Tìm ba số nguyên tố x, y, z thỏa mãn: x y 1 z 
Nguyễn Văn Ma6 Dạng 2: CHỨNG MINH LÀ HỢP SỐ 
Bài 1: Cho p và 8p-1 là số nguyên tố, chứng minh rằng 8p+1 là hợp số
HD:
 Nhẩm thấy p 3 là số cần tìm
 Đặt p 3a r r 0;1;2 
 Nếu r 0 p 3a là số nguyên tố nên a 1 p 3,8p 1 23 là các số nguyên tố, 
 Thỏa mãn điều kiện đầu bài, Khi đó 8p 1 25 là hợp số (đpcm)
 Nếu r 1 p 3a 1 giả sử là số nguyên tố 
 và 8p 1 8 3a 1 1 24a 7 giả sử cũng là số nguyên tố, khi đó: 
 8p 1 8 3a 1 1 24a 93 là hợp số(đpcm)
 Nếu r 2 8p 1 8 3a 2 1 24a 153 là hợp số nên r 2 l 
Bài 2: Chứng minh rằng: nếu p là số nguyên tố >3 và 2p+1 là số nguyên tố thì 4p+1 là hợp số
HD:
 Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p 3k 1, p 3k 2 k N 
 Nếu p 3k 1 là số nguyên tố 2 p 1 6k 33 l 
 Nếu p 3k 2 là số nguyên tố 2 p 1 6k 5 giả sử cũng là số nguyên tố, 
 Khi đó : 4 p 1 12k 93 là hợp số, (đpcm)
Bài 3: Cho p là số nguyên tố >3, biết p+2 cũng là số nguyên tố, cmr p+1 chia hết cho 6
HD :
 Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3, nên p 3k 1, p 3k 2, k N * 
 Nếu p 3k 1 giả sử là số nguyên tố p 2 3k 33 l 
 Nếu p 3k 2 giả sử là số nguyên tố p 2 3k 4 giả sử cũng là số nguyên tố, 
 Khi đó : p 1 3k 3 3 k 1 3 
 Mà p nguyên tố nên 3k 2 là số lẻ 3k là số lẻ =>3k là số lẻ=> k là số lẻ=> k+1 là số chẵn
 3 k 1 6 (đpcm)
Bài 4: Cho p và p+4 là số nguyên tố lớn hơn 3, cmr p+8 là hợp số
HD :
 Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3, nên p có dạng p 3k 1, p 3k 2, k N * 
 Nếu p 3k 2 p 4 3k 63 là hợp số (loại)
 Nếu p 3k 1 giả sử là số nguyên tố p 4 3k 5 giả sử cũng là số nguyên tố, 
 Khi đó : p 8 3k 93 là hợp số (đpcm)
Bài 5: Chứng minh rằng với p là số nguyên tố lớn hơn 3 và 8p2 +1 là 2 số nguyên tố thì 8p2 -1 là hợp số
HD :
 Vì p,8p2 1 là 2 số nguyên tố lớn hơn 3 nên không chia hết cho 3
 Khi đó ta có : 8p2 1;8p2;8p2 1 là 3 số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số chia hết cho 3
 Mà 8p2 1 3, p  3 8p2  3 , Vậy 8p2 13 hay là hợp số 
Bài 6: Chứng minh rằng nếu p và p+2 là hai số nguyên tố >3 thì tổng của chúng chia hết cho 12
HD :
 Đặt A p p 2 2 p 2 2 p 1 Và p 2 p 1 3 
 Xét 3 số liên tiếp p 1, p, p 1 phải có 1 số chia hết cho 3
 Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3, nên p không chia hết cho 3, 
 Mặt khác p 1 3 vì nếu chia hết cho 3 thì p 2 sẽ chia hết cho 3, như vậy p 13 2 p 1 3 
 Lại có p là số nguyên tố >3 nên p lẻ p 1 là số chẵn 2, Vậy 2 p 1 12 
Nguyễn Văn Ma7 Bài 7: Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố >3 thì (p-1)(p+1) chia hết cho 24
HD :
 Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ không chia hết cho 2 và 3
 Với p không chia hết cho 2 p 1 , p 1 là hai số chẵn liên tiếp p 1 p 1 8 
 Mặt khác p không chia hết cho 3 nên p 3k 1, p 3k 2 
 Nếu p 3k 1 p 1 3 p 1 p 1 24 
 Nếu p 3k 2 p 1 3 p 1 p 1 24 
Bài 8: Cho p và 10p+1 là các số nguyên tố >3, cmr 5p+1 là hợp số
HD:
 Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p 3k 1, p 3k 2, k N * 
 Với p 3k 1 giả sử là số nguyên tố, 10p 1 30k 11 giả sử cũng là số nguyên tố
 Khi đó: 5p 1 15k 63 là hợp số (đpcm)
 Với p 3k 2 giải sử là số nguyên tố 10p 1 30k 213 (loại)
Bài 9: Cho p và p+8 là các số nguyên tố (p>3) cmr p+4 là hợp số
Bài 10: Cho p và 4p+1 là hai số nguyên tố (p>3), cmr 2p+1 là hợp số
Bài 11: Cho p và 5p+1 là hai số nguyên tố (p>3), cmr 10p+1 là hợp số
Bài 12: Cho p và 8p+1 là hai số nguyên tố (p>3), cmr 4p+1 là hợp số
Bài 13: Cho p và p+10 là các số nguyên tố, cmr p+32 là hợp số
Bài 15: Ta biết rằng có 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100, hỏi tổng 25 số nguyên tố đó là số chẵn hay số lẻ
HD:
 Trong 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100, có 1 số nguyên tố chẵn là số 2
 Còn lại 24 số nguyên tố còn lại là số lẻ => tổng của 24 số lẻ cho ta 1 số chẵn
 Vậy xét tổng của 25 số nguyên tố đó cho ta được 1 số chẵn
Bài 16: Tổng của ba số nguyên tố là 1012, Tìm số nguyên tố nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố đó
HD:
 Tổng của 3 số nguyên tố là 1012 là 1 số chẵn, nên bắt buộc phải có 1 số chẵn,
 Mà số nguyên tố chẵn duy nhất cũng là nhỏ nhất là số 2
Bài 17: CMR mọi số nguyên tố >2 đều có dạng 4n+1 hoặc 4n-1
HD:
 Mọi số nguyên tố p lớn hơn 2 đều có dạng p 2k 1, k N * 
 TH1: Nếu k chẵn k 2n p 2k 1 2.2n 1 4n 1 
 TH2: Nếu k lẻ k 2n 1 p 2k 1 2 2n 1 1 4n 1 , n N * 
Bài 18: CMR p là số nguyên tố >3 thì p có dạng 6k+1 hoặc 6k+5
HD:
 Mọi số tự nhiên p lớn hơn 3 đều có dạng p 3n 1, p 3n 1 
 Vì nếu n lẻ thì p là số chẵn như vậy p không là số nguyên tố
 Nên n phải chẵn n 2k k 0,k N , Xét 2 TH:
 TH1: p 3n 1 6k 1 
 TH2: p 3n 1 3.2k 1 6k 1 6k 5 
Bài 19: CMR nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3, sao cho 14p+1 cũng là số nguyên tố thì 7p+1 là bội số của 6
HD:
 Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ không chia hết cho 2 và 3
 Khi đó 7 p 1 là 1 số chẵn nên chia hết cho 2
 Mặt khác vì p không chia hết cho 3 nên p có dạng p 3k 1, p 3k 3, k N * 
 Với p 3k 1 giả sử là số nguyên tố, 14 p 1 45k 153 nên p 3k 1 l 
 Với p 3k 2 14 p 1 42k 29 giả sử là số nguyên tố, Khi đó:
 7 p 1 21k 153 Như vậy 7 p 16 
Nguyễn Văn Ma8 Bài 20: Cho p là số nguyênt ố lớn hơn 3, CMR: p2 2012 là hợp số
Bài 21: Chứng minh rằng nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p 1 và p 1 không thể là các số 
chính phương
HD:
 Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p2 và p không thể chia hết cho 4 (1)
 - Giả sử p+1 là số chính phương, Đặt p 1 m2 m N 
 Vì p chẵn nên p 1 lẻ m2 lẻ =>m lẻ
 Đặt m 2k 1 k N , Ta có: m2 4k 2 4k 1 p 1 4k 2 4k 1 p 4k 2 4k 4k k 1 
 Mẫu thuẫn với (1)
 =>p+1 không thể là số chính phương
 - Giả sử p 2.3.5.... là 3 p 1 có dạng 3k+2 p 1 không là số chính phương
 Vậy nếu p là tích của n n 1 số nguyên tố đầu tiên thì p – 1 và p + 1 không là số chính phương
Bài 22 : Cho B 1.3.5.7....2017.2019 , Hỏi trong các số 2B 1,2B,2B 1 số nào là số chính phương?
HD :
 Ta có : 2B 1 2.1.3.5...2017.2019 1 , có 2B3 2B 1 3k 2 k N 
 2B 1 không là số chính phương
 Với 2B 2.1.3.5....2017.2019 2B chẵn=> B lẻ nên B  2 2B2 nhưng 2B  4 
 Và 2B chẵn nên 2B không chia cho 4 dư 1 hoặc dư 3, vậy 2B không là số chính phương
 Với 2B 1 2.1.3.5....2017.2019 1 2B 1 là số lẻ, nên 2B 1 4 
 và 2B  4 2B 1 4 dư 1=> 2B +1 không là số chính phương
Bài 23 : Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau
HD :
 Gọi số chính phương phải tìm là : aabb n2 , a,b N ,1 a 9,0 b 9 
 Ta có : n2 aabb 11.a0b 11 100a b 11 99a a b (1)
 Nhân xét thấy : aabb11 a b11 
 Mà 1 a 9,0 b 9 1 a b 18 a b 11 
 Thay vào (1) ta được : n2 112 9a 1 9a 1 là số chính phương
 Bằng phép thử a từ 1 đến 9 ta thấy có a = 7 là thỏa mãn => b=4
 Vậy số cần tìm là 7744
Bài 24 : Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 thỏa mãn : 10p 1 cũng là số nguyên tố, CMR : 5p 16 
HD :
 Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3, nên 10p cũng không chia hết cho 3 (1)
 Lại có 10p 1 là số nguyên tố.10p 1 3 10p 1 3 (2)
 Ta có : 10p 10p 1 10p 2 là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên phải có 1 số chia hết cho 3
 10p 23 5p 13 
 Lại có p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẻ=> 5p 1 là số chẵn nên chia hết cho 2, khi đó 
 5p 16 
Nguyễn Văn Ma9 Dạng 3: CHỨNG MINH LÀ MỘT SỐ NGUYÊN TỐ
Bài 1: Chứng minh các số sau là hợp số
a, 1211 1317 1719 b, 1 2323 2929 25125 c, 4525 3715 d, 95354 5125
HD:
 a, Ta có: 1211 1317 1719 là 1 số chẵn nên là hợp số
 b, 1 2323 2929 25125 là số chẵn nên là hợp số
 c, Ta có : 4525 3715 là 1 số chẵn nên là hợp số
 354 25
 d, Tương tự 95 51 là 1 số chẵn nên là hợp số
Bài 2: Chứng minh các số sau là hợp số
a, 21123 23124 25125 b, 108 107 7 c, 175 244 1321 d, 42525 3715
HD: 
 b, Ta có : 108 107 7 có tổng các chữ số chia hết cho 9 nên là hợp số
 c, Ta có : 175 244 1321 là số chẵn nên là hợp số
 d, 42525 3715 là số chẵn nên là hợp số
Bài 3: Chứng minh các số sau là hợp số
 2n 1 4n 1
a, 1 27 311 513 717 1119 b, 195354 15125 c, 22 3,n N d, 22 7,n N
HD:
 b, Ta có: 195354 15125 là số chẵn nên là hợp số
 2n 1 n n
 c, Ta có : 22n 1 22n.2 4n.2 22 24 .2 24 .4 nên
 n 1
 n n 1 4 2n 1
 4n 41 n 1 4.4n 1 24 .4 24.4 .4 24 .4 ...6.4 ...4 , khi đó 22 3 ...55là hợp số 
 6n 2
Bài 4: Chứng minh các số sau là hợp số: 22 13,n N
Bài 5: Chứng minh các số sau là hợp số:
a, abcabc 7 b, abcabc 22 c, abcabc 39
HD:
 a, Ta có: abcabc a.105 b.104 c.103 a.102 b.10 c 7 
 a.100100 b.10010 1001c 7 1001 100a 101b c 7 
 Vì 1001 chia hết cho 7 nên abcabc7 là hợp số
 b, Tách tương tự, nhưng vì 100111 nên là hợp số
 c, Tách tương tự, nhưng vì 100113 nên là hợp số
Bài 6: Một số nguyên tố chia cho 42 có số dư là r là hợp số, tìm r
Bài 7: Một số nguyên tố chia cho 30 có số dư là r, Tìm r biết r không là số nguyên tố
Bài 8: Cho C=222...22000...00777...77( 2011 số 2, 2011 số 0 và 2011 số 7). Vậy C là nguyên tố hay hợp số?
HD: 
 Tổng các chữ số của C là 2011(2+7)=2011.9 chia hết cho 9 nên C là hợp số
Bài 9: CMR: Hai số lẻ liên tiếp bao giờ cũng nguyên tố cùng nhau.
Bài 10: Có hay không số nguyên tố mà khi chia cho 12 được dư 9
Bài 11: CMR : Trong ba số nguyên tố lớn hơn 3, luôn tồn tại 2 số nguyên tố mà tổng hoặc hiệu của chúng chia 
hết cho 12
Bài 12: Một số nguyên tố p khi chia cho 42 có số dư là 1 hợp số r, tìm r
Bài 13: Cho a,b,c,d là các số nguyên dương thỏa mãn : a2 c2 b2 d 2 , CMR : a+b+c+d là hợp số
HD: 
 Ta có : a2 b2 c2 d 2 a b c d a2 a b2 b c2 c d 2 d 
 => a a 1 b b 1 c c 1 d d 1 2 Mà a2 c2 b2 d 2 a2 b2 c2 d 2 2 b2 d 2 2 
 Do đó a b c d2 Vậy a+b+c+d 4 nên a+b+c+d là hợp số
Bài 14 : Cho các số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn : ab=cd. Chứng minh rằng : A an bn cn d n là 1 
hợp số với mọi số tự nhiên n
Nguyễn Văn Ma 10