Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 7 - Chuyên đề 1: Dãy số viết theo quy luật – Dãy phân số

 TÊN CHUYÊN ĐỀ. DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT-DÃY PHÂN SỐ
 ĐS7. CHUYÊN ĐỀ 1- DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT – DÃY PHÂN SỐ.
 ĐS7.I. DÃY CÁC SỐ TỰ NHIÊN
 PHẦN I.TÓM TẮT LÍ THUYẾT.
 A. Dãy số mà các số hạng cách đều (dãy cộng)
 1. Lý thuyết
 Dãy số a1;a2;a3;...;an trong đó a2 a1 d;a3 a2 d;a4 a3 d;...
 Dãy số trên là dãy số cách đều khoảng cách d
 * Số hạng thứ n của dãy khi biết d;a1 
 an a1 n 1 d
 * Số số hạng của dãy
 n an a1 : d 1
 * Tổng các số hạng đầu tiên của dãy cộng:
 S a1 an .n : 2
 Chú ý: 
 * Công thức tổng quát: A 1 2 3 4  n n n 1 : 2
 B. Dãy số mà các số hạng không cách đều nhau 
 *Một số công thức tổng quát: 
 A 1.2 2.3  n 1 .n n 1 .n. n 1 : 3
 A 1.2.3 2.3.4 3.4.5  n - 1 .n. n 1 . n 1 .n. n 1 n 2 : 4
 PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI.
 Dạng 1. Dãy số mà các số hạng cách đều (dãy cộng)
 I.Phương pháp giải.
 * Số hạng thứ n của dãy khi biết d;a1 
 an a1 n 1 d
 * Số số hạng của dãy
 n an a1 : d 1
 * Tổng các số hạng đầu tiên của dãy cộng:
 S a1 an .n : 2
 Chú ý: 
 * Công thức tổng quát: A 1 2 3 4  n n n 1 : 2
 II. Bài toán.
 Bài 1: Tính tổng của dãy số: 
 a) A 1 2 3 4  100 TÊN CHUYÊN ĐỀ. DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT-DÃY PHÂN SỐ
 b) B 6 7 8 ... 245
 Lời giải 
 a) A 1 2 3 4  100
 Số số hạng của tổng là: 100 1 :1 1 100 (số hạng)
 A 1 2 3 4  100 100 1 .100: 2 5050
 b) B 6 7 8 ... 245
 Số số hạng của tổng là: 245 6 :1 1 240 (số hạng)
 B 6 7 8 ... 245 245 6 .240: 2 30120
 Bài 2: Tính tổng của dãy số: 
 a) C 1 3 5 7  99
 b) D 2 5 8 ... 98
 Lời giải 
 a) C 1 3 5 7  99
 Số số hạng của tổng là: 99 1 : 2 1 50(số hạng)
 C 1 3 5 7  99 1 99 50: 2
 b) D 2 5 8 ... 98
 Số số hạng của tổng là: 98 2 :3 1 33 (số hạng)
 D 2 5 8 ... 98 98 2 .33: 2 
 Bài 3: Cho tổng S 1 4 7 ... 199
 a) Tìm số hạng thứ 50 của tổng
 b) Tính S.
 Lời giải 
 Cho tổng S 1 4 7 ... 199
 a) Số hạng thứ 50 của tổng là: 
 1 50 1 .3 148
 b) Số số hạng của tổng là: 
 199 1 .3 1 67 ( số hạng)
 S 1 4 7 ... 199 199 1 .67 : 2 6700
 Bài 4: Tính tổng của dãy số: 
 a) A 1 2 3 4  200 ;
 b) B 5 6 7 ... 144 .
 Lời giải TÊN CHUYÊN ĐỀ. DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT-DÃY PHÂN SỐ
 a) A 1 2 3 4  200
 Số số hạng của tổng là: 200 1 :1 1 200 (số hạng)
 A 1 2 3 4  200 200 1 .200: 2 20100
 b) B 5 6 7 ... 144 .
 Số số hạng của tổng là: 166 1 :3 1 56 (số hạng)
 B 5 6 7 ... 144 144 5 .56: 2 4172
 Bài 5: Tính tổng của dãy số: 
 a) E 1 3 5 7  99 ;
 b) F 1 4 7 ... 91.
 Lời giải 
 a) E 1 3 5 7  49
 Số số hạng của tổng là: 49 1 : 2 1 25(số hạng)
 E 1 3 5 7  99 99 1 25: 2 1250
 b) F 1 4 7 ... 91
 Số số hạng của tổng là: 91 1 :3 1 31(số hạng)
 F 1 4 7 ... 91 91 1 .31: 2 1426
 Bài 6: 
 a) Tính tổng các số tự nhiên nhỏ hơn 50 ;
 b) Tính tổng các số tự nhiên chẵn không vượt quá 100 ;
 c) Tính tổng các số tự nhiên lẻ nhỏ hơn 200 .
 Lời giải 
 a) Tính tổng các số tự nhiên nhỏ hơn 50 là 1 2 3 ... 49
 Số số hạng của tổng là: 49 1 :1 1 49 (số hạng)
 1 2 3 ... 49 49 1 .49: 2 1225
 b) Tính tổng các số tự nhiên chẵn không vượt quá 100 là 2 4 6 ... 100
 Số số hạng của tổng là: 100 2 : 2 1 50 (số hạng)
 2 4 6 ... 100 100 2 .50: 2 2550
 c) Tính tổng các số tự nhiên lẻ nhỏ hơn 200 là 1 3 5 ... 199
 Số số hạng của tổng là: 199 1 : 2 1 100(số hạng)
 1 3 5 ... 199 199 1 .100: 2 10000.
 Bài 7: Cho tổng M 1 4 7 ... 166 TÊN CHUYÊN ĐỀ. DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT-DÃY PHÂN SỐ
 a) Tìm số hạng thứ 41 của tổng
 b) Tính M.
 Lời giải 
 M 1 4 7 ... 166
 a) Số hạng thứ 41 của tổng là: 
 1 41 1 .3 121
 b) Số số hạng của tổng M là: 166 1 :3 1 56 (số hạng)
 M 1 4 7 ... 166 166 1 .56: 2 4676 .
 Dạng 2. Dãy số mà các số hạng không cách đều nhau.
 I.Phương pháp giải.
 *Một số công thức tổng quát: 
 A 1.2 2.3  n 1 .n n 1 .n. n 1 : 3
 A 1.2.3 2.3.4 3.4.5  n - 1 .n. n 1 . n 1 .n. n 1 n 2 : 4
 II.Bài toán.
 Bài 1: Tính tổng: 
 a) 1.2 2.3 3.4 .. n. n 1 
 b) 1.2.3 2.3.4 3.4.5  . n n 1 (n 2) với n là số tự nhiên khác không.
 Lời giải.
 a) 1.2 2.3 3.4 .. n. n 1 
 1.2. 3 0 2.3. 4 1 3.4 5 2 ... n n 1 n 2 n 1 : 3
 = 1.2.3 -1.2.3 2.3.4 - 2.3.4  n n 1 n 2 : 3
 = n n 1 n 2 : 3
 b) 1.2.3 2.3.4 3.4.5  . n n 1 (n 2)
 1.2.3 4 0 2.3.4 5 1 3.4.5. 6 2  n n 1 n 2 n 3 n 1 : 4
 n n 1 n 2 n 3 : 4
 Bài 2: Tính tổng: A 1.2 2.3 3.4  8.9 9.10
 Lời giải 
 3A 3. 1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 
 3A 1.2. 3 0 2.3. 4 1 3.4. 5 2 4.5. 6 3 5.6. 7 4 6.7. 8 5 
 7.8. 9 6 8.9. 10 7 9.10. 11 8 TÊN CHUYÊN ĐỀ. DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT-DÃY PHÂN SỐ
 1.2.3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5  8.9.10 8.9.10 9.10.11
 9.10.11 990 
 A 990 : 3 330
 Ta chú ý tới đáp số 990 9.10.11, trong đó 9.10 là số hạng cuối cùng của A và 11 là số tự 
nhiên kề sau của 10, tạo thành tích ba số tự nhiên liên tiếp.
Bài 3: Tính tổng của dãy số: A 1.2.3 2.3.4 4.5.6  8.9.10
 Lời giải
 A 1.2.3 2.3.4 3.4.5 4.5.6 5.6.7 6.7.8 7.8.9 8.9.10
 4A 1.2.3 2.3.4 3.4.5 4.5.6 5.6.7 6.7.8 7.8.9 8.9.10 .4
 4A 1.2.3. 4 0 2.3.4. 5 -1  8.9.10. 11 7 
 4A 1.2.3.4 1.2.3.4 2.3.4.5 2.3.4.5  -7.8.9.10 8.9.10.11 
 4A 8.9.10.11 
 Vậy A 8.9.10.11: 4 1980
Bài 4: Tính tổng: A 1.2 3.4  99.100
 Giải
 A 1.2 3.4  99.100
 3A 1.2 3 0 2.3 4 1 3.4 5 2  99.100 101 98 
 1.2.3 2.3.4 1.2.3 3.4.5 2.3.4 ... 99.100.101 98.99.100
 99.100.101
 99.100.101
 A 333300
 3
 Trong bài toán này, ta có thể không nhân A với một số mà tách ngay một thừa số trong mỗi số hạng 
làm xuất hiện các dãy số mà ta đã biết cách tính hoặc dễ dàng tính được.
 Cách 2:
 A 2 2 1 .4 4 1 6  98 1 .100
 2 2.4 4 4.6 6  98.100 1 00
 2.4 4.6  98.100 2 4 6 8  1 00 
 Cách 3:
 A 1. 3 1 3 5 1 5 7 1  99 101 1 
 1.3 1 3.5 3 5.7 5  99.101 99
 1.3 3.5 5.7  99.101 1 3 5 7  99 TÊN CHUYÊN ĐỀ. DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT-DÃY PHÂN SỐ
 Bài 5: Tính tổng: B 1.2 3.4 5.6 ... 99.100
 Ta có: B 1.2 3.4 5.6 ... 99.100
 B 2 2 1 .4 4 1 .6 ... 98 1 .100
 B 2 2.4 1.4 4.6 1.6 ... 98.100 1.100
 B 2.4 4.6 6.8 ... 98.100 2 4 6 ... 100 
 Đặt M 2.4 4.6 6.8 ... 98.100
 6M 2.4(6 0) 4.6(8 2) 6.8(10 4) ... 98.100(102 96)
 6M 2.4.6 0 4.6.8 2.4.6 6.8.10 4.6.8 ... 98.100.102 96.98.100
 98.100.102
 6M 98.100.102 M 166600
 6
 Đặt N 2 4 6 ... 100 100 2 .50 : 2 2550 
 Do đó B 166600 2550 169150
 Bài 6: Tính tổng: E 1.3 2.4 3.5 ... 97.99 98.100
 Lời giải
 E 1.3 2.4 3.5 ... 97.99 98.100
 E 1 1 2 2 2 2 3 3 2 ... 97 97 2 98 98 2 
 E 1.1 1.2 2.2 2.2 3.3 3.2 ... 97.97 97.2 98.98 98.2 
 E 1.1 2.2 3.3 ... 97.97 98.98 2 1 2 3 4 ... 97 98 
 Đặt A 1.1 2.2 3.3 ... 98.98 và B 1 2 3 4 ... 97 98
 Tính rồi thay vào E
 Bài 7: Tính tổng: 
 a) A 1.2.3 2.3.4 3.4.5 ... 99.100.101
 b) B 1.3.5 3.5.7  5.7.9  95.97.99
 Lời giải: 
 A 1.2.3 2.3.4 3.4.5 ... 99.100.101
 4A 1.2.3 2.3.4 3.4.5 4.5.6 ... 99.100.101 .4
 4A 1.2.3. 4 0 2.3.4. 5 -1  99.100.101. 102 98 
 4A 1.2.3.4 1.2.3.4 2.3.4.5 2.3.4.5  - 98.99.100.101 99.100.101.102
 4A 99.100.101.102 
 Vậy A 99.100.101.102 : 4 25497450
 b) B 1.3.5 3.5.7  5.7.9  95.97.99
 8B 1.3.5.8 3.5.7.8 5.7.9.8  95.97.99.8 TÊN CHUYÊN ĐỀ. DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT-DÃY PHÂN SỐ
 8B 1.3.5 7 1 3.5.7 9 1 5.7.9 11 3  95.97.99 101 93 
 8B 1.3.5.7 15 3.5.7.9 1 .3.5.7 5.7.9.11 3.5.7.9  95.97.99.101 93.95.97.99 
 8B 15 95.97.99.101
 B 15 95.97.99.101 :8 11517600
 Bài 8: Tính tổng N=1.99+2.98+3.97+ +97.3+98.2+99.1
 Lời giải:
 N=1.99+2.(99-1)+3.(99-2)+ +98.(99-97)+99.(99-98)
 N=(1.99+2.99+3.99+ +98.99+99.99)-(1.2+2.3+ +97.98+98.99)
 98.99.100
 N 99. 1 2 3  98 99 
 3
 99.100 98.99.100 99.100.101
 N 99. 166650
 2 3 6
 Bài 9: Tính tổng H 1.99 2.98 3.97 ... 50.50
 Lời giải:
 H 1.99 2.98 3.97 ... 50.50
 H 1.99 2. 99 1 3. 99 2 ... 50 99 49 
 H 1.99 2.99 1.2 3.99 2.3 ... 50.99 49.50 
 H 1.99 2.99 3.99 ... 50.99 1.2 2.3 3.4 ... 49.50 
 H 99. 1 2 3 ... 50 1.2 2.3 3.4 ... 49.50 
 H 99. 1 50 50:2 49.50.51 :3 
 H 99.1275 41650 84575
 Bài 10: Tính tổng tự nhiên
 a, A 9 99 999 ... 999...9 ( 10 chữ số 9)
 b, B 1 11 111 ... 111...1 (10 số 1)
 Lời giải
 a) Ta có: A 9 99 999 ... 999...9 ( 10 chữ số 9)
 A 10 1 102 1 103 1 ... 1010 1 
 10 102 103 ... 1010 10
 111...10 10 111...100 ( 9 số 1)
 b) B 1 11 111 ... 111...1 (10 số 1)
 Ta có: 9B 9 99 999 .... 9999...99 ( 10 chữ số 9)
 9B 10 1 102 1 103 1 ... 1010 1 TÊN CHUYÊN ĐỀ. DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT-DÃY PHÂN SỐ
 10 102 103 ... 1010 10
 111...10 10 11111111100 ( 9 chữ số 1)
 B 11111111100 : 9 12345678900
 Bài 11: Tính tổng tự nhiên
 a) C 4 44 444 ... 444...4 (10 chữ số 4)
 b) D 2 22 222 ... 222...2 (10 chữ số 2)
 Lời giải
 a, Ta có: C 4 1 11 111 ... 111...11 ( 10 chữ số 1)
 9C 4 9 99 999 ... 999...99 ( 10 số 9)
 2 3 10 
 9C 4. 10 1 10 1 10 1 ... 10 1 
 2 3 10 
 4. 10 10 10 ... 10 10 
 4.111...10 10 44444444400 ( 9 chữ số 4)
 C 44444444400 : 9 4938271600
 b, Ta có : D 2 22 222 ... 222...2 (10 chữ số 2)
 D 2 1 11 111 ... 111...11 (10 chữ số 1)
 9D 2 9 99 999 ... 999...99 (10 chữ số 9)
 2 3 10 
 9D 2. 10 1 10 1 10 1 ... 10 1 
 2 3 10 
 2. 10 10 10 ... 10 10 
 2.111...10 10 22222222200 ( 9 chữ số 2)
 D 22222222200 : 9 2469135800
 ĐS7.II DÃY CÁC PHÂN SỐ.
PHẦN I.TÓM TẮT LÍ THUYẾT.
Với a,b Z; b 0; n N , ta có:
 n n
 a an 1 1
 ; 
 n n
 b b b b
 1 1 1 1 1
 b. ; . . 
 bn bn 1 b bn bn 1
Với a,b,c N * , ta có:
 a 1
 a. ; 
 b b
 b a 1 1
 ; 
 a.b a b
 b a 1 1
 ;
 a.b a b TÊN CHUYÊN ĐỀ. DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT-DÃY PHÂN SỐ
 c a 1 1
 .
 a.b.c a.b b.c
PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI.
Dạng 1. Dãy các phân số mà mẫu số sau gấp mẫu số trước 1 số không đổi
I. Phương pháp giải.
Để thu gọn tổng A gồm các phân số mà mẫu số sau gấp mẫu số trước 1 số m không đổi, ta sẽ lấy 
 1
 A.m hoặc A. .
 m
II. Bài toán.
 1 1 1 1
Bài 1. Tính tổng : A ... .
 7 72 73 7100
Lời giải
 1 1 1 1 1 1
 Ta có: A ... 
 7 72 73 74 7100 7101
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 A A 2 2 3 3 ... 100 100 101 
 7 7 7 7 7 7 7 7 7 
 6 7100 1
 .A 
 7 7101
 7100 1
 A .
 6.7100
 5 5 5 5
Bài 2. Tính tổng: B ... 
 3 32 33 320
Lời giải
 1 5 5 5 5 5
 Ta có: B ... 
 3 32 33 34 320 321
 1 5 5 5 5 5 5 5 5 
 B B 2 2 3 3 ... 20 20 21 
 3 3 3 3 3 3 3 3 3 
 2 5.320 5
 .B 
 3 321
 5.320 5
 B ..
 2.320
Bài 3. Thu gọn các tổng sau: 
 0 1 2 2017
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
a, D = ... b, E = 2 3 4 ... 50 51
 7 7 7 7 3 3 3 3 3 3
Lời giải
 1 1 1 1 1
 a, Ta có: D 1 ... 
 7 72 73 72016 72017
 1 1 1 1 1 1 1
 D ... 
 7 7 72 73 74 72017 72018
 1 1 1 1 1 1 1 1 
 D D 2 2 ... 2017 2017 1 2018 
 7 7 7 7 7 7 7 7 
 8 72018 1
 D 
 7 72018
 72018 1
 D .
 8.72018 TÊN CHUYÊN ĐỀ. DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT-DÃY PHÂN SỐ
 1 1 1 1 1 1
 b, Ta có: E ... 
 3 32 33 34 351 352
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 E E 2 2 3 3 ... 51 51 52 
 3 3 3 3 3 3 3 3 3 
 4 351 1
 E 
 3 352
 351 1
 E ..
 4.351
 1 1 1 1
Bài 4. Tính tổng: C ... .
 2 23 25 299
Lời giải
 1 1 1 1 1 1
 a, Ta có : C ... 
 22 23 25 27 299 2101
 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 
 C C C 3 3 5 5 ... 98 98 101 
 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 
 3 2100 1
 C 
 4 2101
 2100 1
 C .
 3.299
 3 3 3 3
Bài 5. Tính tổng G ... .
 5 54 57 5100
Lời giải
 3 3 3 3 1 1 1 1 
 Ta có: G 4 7 ... 100 G 3 4 7 ... 100 
 5 5 5 5 5 5 5 5 
 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 Đặt A ... A ... 
 5 54 57 5100 53 54 57 510 5103
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 A A 4 4 7 7 ... 100 100 103 
 125 5 5 5 5 5 5 5 5 
 124.A 1 1 5102 1
 125 5 5103 5103
 5102 1
 A .
 5100.124
 1 1 1 1 1 1
 Bài 6. Cho biểu thức: A ..... 
 3 32 33 34 35 3100
 1
 Tính giá trị của biểu thức B 4 A 
 3100
Lời giải
 1 1 1 1 1 1
 Ta có: A ...... 
 3 32 33 34 35 3100
 1 1 1 1 1
 3A 1 ...... 
 3 32 33 34 399
 1 1 1 
 A 3A 1 100 A . 1 100 
 3 4 3 
 1 1 1 1 
 A 0 A 1 100 . 1 100 
 4 3 4 3