Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 7 - Chuyên đề 12: Chứng minh tam giác bằng nhau và các bài toán liên quan

 HSG T7.CĐ 12-CHỨNG MINH TAM GIÁC BẰNG NHAU VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
 HSG T7-CĐ 12-CHỨNG MINH TAM GIÁC BẰNG NHAU 
 VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT.
1. Định nghĩa: Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc 
tương ứng bằng nhau.
 A A'
 B C B' C'
 µA µA '; Bµ Bµ';Cµ Cµ'
 ABC A ' B 'C ' 
 AB A ' B '; BC B 'C '; AC A 'C '
2. Hai tam giác bằng nhau trường hợp: cạnh - cạnh – cạnh.
 Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
 Xét ABC và A' B 'C ' có: 
 AB A' B ' 
 AC A'C ' ABC A' B 'C ' c c c 
 BC B 'C '
3. Trường hợp bằng nhau : cạnh - góc - cạnh
 Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác 
 kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
 Xét ABC và A' B 'C ' có:
 AB A' B'
  µ 
 B B'  ABC A' B'C' c g c 
 BC B'C' 
  
 Trang 1 HSG T7.CĐ 12-CHỨNG MINH TAM GIÁC BẰNG NHAU VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
 *) Hệ quả : Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng hai cạnh góc vuông của 
 tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
4. Trường hợp bằng nhau : góc – cạnh - góc
 Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia 
 thì hai tam giác đó bằng nhau. 
 Xét ABC và A' B 'C ' có:
 Bµ Bµ' 
 BC B 'C ' ABC A' B 'C ' g c g 
 µ µ 
 C C ' 
5. Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông
 * Ngoài các trường hợp bằng nhau đã biết của hai tam giác, còn có trường hợp bằng nhau 
 theo cạnh huyền – góc nhọn; hai cạnh góc vuông; trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông
 * Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một 
 góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI.
Dạng . Chứng minh tam giác bằng nhau và các bài toán liên quan.
I. Phương pháp giải.
 Vận dụng linh hoạt các trường hợp bằng nhau của tam giác để chứng minh hai tam giác 
 bằng nhau.
 Vận dụng linh hoạt các quan hệ song song, quan hệ vuông góc để giải các bài toán liên 
 quan.
II.Bài toán.
Bài 1. Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm cạnh BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D 
 sao cho MD MA.
 a) Chứng minh ΔMAB = ΔMDC;
 b) Chứng minh AB CD và AB //CD;
 c) Chứng minh ΔABC = ΔDCB;
 d) Trên các đoạn thẳng AB,CD lần lượt lấy các điểm E, F sao cho AE DF. Chứng minh 
 ba điểm E, M , F thẳng hàng.
 Hướng dẫn giải
 Trang 2 HSG T7.CĐ 12-CHỨNG MINH TAM GIÁC BẰNG NHAU VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
 a) Xét MAB và MDC có: 
 MA MD 
 ·AMB D· MC MAB MDC (c - g - c).
 MB MC 
 
 b) Vì MAB MDC (c - g - c) M· AB M· DC ( hai góc tương ứng). 
 Mặt khác hai góc này ở vị trí so le trong nên AB // CD. 
 c) Vì AB // CD A· BC D· CB ( hai góc so le trong)
 Xét ABC và DCB có: 
 AB DC 
 · · 
 ABC DCB ABC DCB (c-g-c).
 BC CB 
  
 d) Xét AEM và DFM có 
 AE DF GT 
 M· AB M· DC cmt 
 MA MD ( hai cạnh tương ứng).
 Vậy AEM DFM (c-g-c) A· ME D· MF ( hai góc tương ứng).
 A· ME A· MF D· ME A· MF 180 
 ba điểm E, M , F thẳng hàng.
Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A có Bµ 55. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B, 
 vẽ tia Cx vuông góc với AC. Trên tia Cx lấy điểm D sao cho CD AB. 
 a) Tính số đo A· CB; 
 b) Chứng minh ABC CDA và AD // BC; 
 c) Kẻ AH  BC (H BC) và CK  AD (K AD). Chứng minh BH DK; 
 d) Gọi I là trung điểm của AC. Chứng minh ba điểm H,I,K thẳng hàng.
 Hướng dẫn giải
 a) Vì ABC vuông tại A nên ta có: 
 ·ACB ·ABC 900 
 ·ACB 550 900
 Trang 3 HSG T7.CĐ 12-CHỨNG MINH TAM GIÁC BẰNG NHAU VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
 A· CB 350
 Vậy A· CB 350
 b) Xét ABC và CDA có
 AB CD GT 
 B· AC D· CA 90
 AC là cạnh chung
 Vậy ABC CDA (c-g-c). A· CB C· AD . 
 Mặt khác hai góc này ở vị trí so le trong, suy ra AD // BC. 
 c) Xét AHBvà CKD có 
 A· HB C· KD 90
 AB CD GT 
 A· BC C· DA ( hai góc tương ứng).
 Vậy AHB CKD (cạnh huyền - góc nhọn) BH DK ( hai cạnh tương ứng). 
 d) Ta có AH  BC H BC GT 
 Mà AD // BC cmt AH  AD
 Ta có CK  AD K AD GT 
 Vậy AH // CK
 Xét IAH và ICK có 
 AH CK (hai cạnh tương ứng). 
 Ta có AH // CK H· AI K· CI (Hai góc so le trong) 
 Vì I là trung điểm của AC IA IC
 Vậy IAH ICK (c-g-c) A· IH C· IK (hai cạnh tương ứng). 
 A· IH A· IK C· IK A· IK 180 
 ba điểm H, I, K thẳng hàng.
Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M, trên tia đối của tia CB 
 lấy điểm N sao cho BM CN.
 a) Chứng minh tam giác AMN cân;
 Trang 4 HSG T7.CĐ 12-CHỨNG MINH TAM GIÁC BẰNG NHAU VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
 b) Kẻ BH  AM (H AM), kẻ CK  AN (K AN). Chứng minh BHM CKN;
 c) Các đường thẳng HB và KC cắt nhau tại O. Tam giác OBC là tam giác gì? Tại sao?
 d) Khi B· AC 60 và BM CN BC, tính số đo các góc của tam giác AMN và xác định 
 dạng của tam giác OBC;
 e) Kẻ AD  BC (D BC), biết rằng AB 10 cm,BC 16 cm. Tính độ dài AD.
 Hướng dẫn giải
 a) Xét ABM và CAN có 
 BM CN GT 
 Ta có tam giác ABC cân tại A GT ·ABC ·ACB ·ABM ·ACN
 Ta có tam giác ABC cân tại A GT AB AC
 Vậy ABM CAN (c-g-c) AM AN ( hai cạnh tương ứng). 
 Suy ra AMN cân tại đỉnh A.
 b) Xét BHM và CKN có 
 Ta có BH  AM (H AM), CK  AN (K AN) GT B· HM C· KN 900
 Ta có BM CN GT 
 Ta có AMN cân tại đỉnh A H· MB K· NC
 Vậy BHM CKN (cạnh huyền - góc nhọn).
 c) Ta có BHM CKN cmt H· BM K· CN,
 Mà H· BM O· BC; K· CN O· CB (hai góc đối đỉnh)
 Suy ra O· BC O· CB nên tam giác OBC cân tại O.
 d) Ta có B· AC 60 GT 
 ABC là tam giác đều AB BC AC; A· BC A· CB B· AC 600
 Ta có BM CN BC GT BM CN BC AB AC 
 Do đó các tam giác ABM cân B và CAN cân tại C
 Trang 5 HSG T7.CĐ 12-CHỨNG MINH TAM GIÁC BẰNG NHAU VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
 1800 120
 Ta có A· BM A· CN 1800 600 1200 A· MN A· NM 30
 2
 Ta có AMN cân tại đỉnh A M· AN 1800 2.300 120
 Ta có H· BM 900 H· MB 900 30 600
 O· BC H· BM 60 nên tam giác OBC là tam giác đều. 
 e) Xét ABD và ACD có 
 Ta có AD  BC (D BC) A· DB A· DC 900
 AB AC cmt 
 AD là cạnh chung
 Vậy ABD ACD (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
 BC 16
 Suy ra DB DC 8 cm 
 2 2
 Xét ABD có AB2 AD2 DB2 ( Định lí Pytago)
 AD2 AB2 DB2 102 82 36
 AD 36 6 cm .
Bài 4. Cho x· Oy bằng 100, tia Oz là tia phân giác góc xOy. Lấy điểm H thuộc tia Oz, đường 
thẳng vuông góc với OH tại H cắt các tia Ox,Oy lần lượt tại A,B.
 a) Chứng minh HA HB,OA OB;
 b) Tính số đo các góc của tam giác OAB;
 c) Trên tia Oz lấy điểm C sao cho H· BC 60. Chứng minh tam giác ABC đều;
 d) Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE BO. Chứng minh AB OE;
 e) Cho AH 1 cm. Tính độ dài HC.
 Hướng dẫn giải
 a) Xét OHA và OHB có 
 Ta có AB  OH GT O· HA O· HB 900
 OH là cạnh chung
 Trang 6 HSG T7.CĐ 12-CHỨNG MINH TAM GIÁC BẰNG NHAU VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
 Ta có tia Oz là tia phân giác góc xOy A· OH B· OH
 Vậy OHA OHB (g-c-g) HA HB;OA OB ( hai cạnh tương ứng).
 b) Ta có A· OB x· Oy 100.
 Ta có OA OB cmt OAB cân tại O
 1800 x· Oy 1800 1000
 O· AB O· BA 40 
 2 2
 c) Xét OAC và OBC có 
 OA OB cmt 
 Ta có tia Oz là tia phân giác góc xOy A· OC B· OC
 OC là cạnh chung
 Vậy OAC OBC c g c CA CB ( hai cạnh tương ứng).
 ABC cân tại C
 Mà H· BC 60 ABC là tam giác đều
 d) Ta có O· BE O· BA H· BC 400 600 100 
 O· BE A· OC 100
 Xét BOE và BOA có 
 OB BE cmt 
 O· BE A· OC cmt 
 OA OB cmt 
 Vậy BOE BOA (c-g-c). AB OE. 
 e) Ta có AC = AB = BC = 2.AH = 2.1 = 2 cm 
 Xét AHC có AC 2 AH 2 HC 2 (Định lý Pytago)
 HC 2 AC 2 AH 2 22 12 3 HC 3 cm . 
Bài 5. Cho tam giác nhọn ABC (AB AC). Gọi D là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia DA 
lấy điểm M sao cho DM DA.
 a) Chứng minh ADC MDB;
 b) Chứng minh AC BM và AC // BM;
 c) Chứng minh ABM MCA;
 d) Kẻ AH  BC, MK  BC (H,K BC). Chứng minh rằng BK CH.
 Hướng dẫn giải
 a) Xét ADC và MDC có :
 DB DC ( D là trung điểm của BC )
 DM DA (gt)
 ·ADC B· DM (đối đỉnh)
 Trang 7 HSG T7.CĐ 12-CHỨNG MINH TAM GIÁC BẰNG NHAU VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
 Vậy ADC MDB(c g c) .
 b) Vì ADC MDB cmt 
 Nên AC BM (hai cạnh tương ứng)
 · ·
 Và ACD MBD (hai góc tương ứng)
 Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AC // BM 
 c) Xét ABM và MCA có
 AM là cạnh chung
 M· AC ·AMB 
 ADC MDB 
 AC BM ADC MDB 
 Vậy ABM MCA (c - g - c).
 d) Xét BKM vuông tại K và CHA vuông tại H có 
 BM AC cmt 
 Ta có AC // BM ·ACH M· BK (hai góc so le trong)
 Vậy BKM CHA (cạnh huyền - góc nhọn) BK CH ( hai cạnh tương ứng)
Bài 6. Cho ABC. Gọi D là trung điểm của AB, E là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia 
 DE lấy điểm K sao cho DK DE.
 a) Chứng minh BDE ADK và AK // BC;
 b) Chứng minh AKE ECA;
 c) Cho Aµ 65,Cµ 55. Tính số đo các góc của BDE;
 d) Gọi I là trung điểm của AE. Chứng minh I là trung điểm của CK.
 Hướng dẫn giải
 a) Xét BDE và ADK có
 Trang 8 HSG T7.CĐ 12-CHỨNG MINH TAM GIÁC BẰNG NHAU VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
 DB DA ( D là trung điểm của AB)
 DE DK GT 
 · ·
 BDE ADK (đối đỉnh)
 BDE ADK (c-g-c).
 Vậy
 D· AK D· BE (hai góc tương ứng)
 Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AK // BC.
 b) Vì BDE ADK (cmt) nên AK BE (hai cạnh tương ứng)
 Mà BE EC GT 
 AK EC ( BE)
 Xét AKEvà ECA có
 AK EC (cmt)
 K· AE A· EC ( so le trong, AK // BC )
 AEcạnh chung
 Vậy AKE ECA (g-c-g). 
 c) Vì AKE ECA (cmt) K· EA E· AC (hai góc tương ứng)
 Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên DE // AC(dhnb) .
 Khi đó B· ED Cµ 55 (hai góc đồng vị, DE // AC ) 
 D· BE A· BC 1800 Aµ Cµ 1800 650 550 60 (tổng ba góc của tam giác)
 B· DE B· AC 65 ( hai góc đồng vị, DE // AC )
 Vậy D· BE 60,B· DE 65,B· ED 55. 
 d) Xét AIKvà EIC có
 AK EC cmt
 IA IE ( I là trung điểm AE)
 K· AI I·EC ( so le trong, AK // BC )
 Vậy AIK EIC (c-g-c)
 IK IC ( hai cạnh tương ứng) (1)
 A· IK E· IC (hai góc tương ứng)
 Mà E· IC A· IC 180(hai góc kề bù)
 Khi đó A· IK A· IC 180 nên ba điểm K,I,C thẳng hàng (2)
 Từ (1) và (2) I là trung điểm của CK.
Bài 7. Cho tam giác ABC cân tại A. Tia phân giác góc BAC cắt cạnh BC tại M.
 a) Chứng minh AMB AMC;
 b) Kẻ ME  AB (E AB), MF  AC (F AC). Chứng minh tam giác AEF cân;
 c) Chứng minh AM  EF;
 Trang 9 HSG T7.CĐ 12-CHỨNG MINH TAM GIÁC BẰNG NHAU VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
 d) Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng FM tại I. Chứng minh 
 BE BI.
 Hướng dẫn giải
 a) Xét AMB và AMC có
 AB AC ( ABC cân tại A )
 AM cạnh chung
 B· AM C· AM GT 
 Vậy 
 AMB AMC (c-g-c)
 b) Xét AME vuông tại E và AMF vuông tại F có
 AM cạnh chung
 B· AM C· AM GT 
 Vậy AME AMF (cạnh huyền - góc nhọn)
 AE AF ( hai cạnh tương ứng)
 AEF cân tại A . 
 c) Ta có AEF cân tại A A· EF A· FE 
 · · · 0
 Mà AEF AFE EAF 180 (tổng ba góc của tam giác)
 180 B· AC
 A· EF (1)
 2
 · · · 0
 Lại có ABC ACB CAB 180 (tổng ba góc của tam giác)
 · ·
 Mà BCA ABC ( ABC cân tại A )
 180 B· AC
 A· BC 2 
 2
 Từ (1) ; (2) A· BC A· EF
 Mà hai góc đó ở vị trí so le trong nên EF // BC, (3)
 · ·
 mà AMB AMC ( AMB AMC) 
 Trang 10