Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 7 - Chuyên đề 17: Các đường đồng quy của tam giác

 CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA TAM GIÁC
 HH7. CHUYÊN ĐỀ 17- CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA TAM GIÁC
PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT.
* Phương pháp chứng minh các đường thẳng trong tam giác đồng quy.
- Muốn chứng minh ba đường thẳng đồng quy ta thường sử dụng các phương pháp sau:
Phương pháp 1: Chứng minh giao của hai đường thẳng nằm trên đường thẳng thứ ba. Cho a cắt b tại 
O . Chứng minh O thuộc c . Suy ra a,b,c đồng quy tại O .
- Phương pháp 2: Sử dụng tính chất các đường đồng quy trong tam giác.
a) Ba đường trung tuyến của tam giác đồng quy tại một điểm.Điểm này gọi là trọng tâm của tam giác. 
 2
Trọng tâm cách mỗi đỉnh một khoảng bằng độ dài trung tuyến qua đỉnh ấy.
 3
b) Ba đường phân giác của tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác.
c) Trong một tam giác các đường thẳng chứa tia phân giác của góc ngoài và tia phân giác của góc 
trong không kề cùng đi qua một điểm.Điểm này cách đều ba đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác.
d) Ba đường trung trục của tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác.
e) Ba đường cao của tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác.
1. Ba đường trung tuyến của tam giác
1.1. Đường trung tuyến của một tam giác
 A
 B M C
 Đoạn thẳng AM nối đỉnh A của ABC với trung điểm M của cạnh BC gọi là đường trung tuyến 
(xuất phát từ đỉnh A hoặc ứng với cạnh BC ) của ABC .
 Đường thẳng AM cũng gọi là đường trung tuyến của ABC .
 Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến
1.2. Tính chất đồng quy của ba đường trung tuyến
Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm gặp nhau của ba đường trung 
tuyến gọi là trọng tâm của tam giác đó.
1.3. Vị trí của trọng tâm: 
 Trang 1 CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA TAM GIÁC
 2
Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh 
 3
 AG BG CG 2
ấy: 
 AD BE CF 3
2. Tính chất ba đường phân giác của tam giác:
2.1. Tia phân giác của một góc 
+ Định nghĩa tia phân giác của góc: Tia phân giác của một góc là tia nằm giữa hai cạnh của góc và tạo 
với hai cạnh ấy hai góc bằng nhau.
+ Tập hợp các điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc là tia phân giác của góc đó.
 x
 A
 z
 O M
 B
 y
2.2. Đường phân giác của tam giác 
- Đoạn thẳng AM gọi là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của ABC 
- Mỗi tam giác có ba đường phân giác
* Tính chất: Trong một tam giác cân, đường phân giác xuất phát từ đỉnh đối diện với đáy đồng thời là 
đường trung tuyến ứng với cạnh đáy.
 A
 1 2
 B D C
2.3. Tính chất ba đường phân giác của tam giác: 
* Định lí: Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh 
của tam giác đó.
 Trang 2 CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA TAM GIÁC
 A
 K
 L E
 F
 I
 B H C
Chú ý: Theo kết quả của bài tập 32 SGK, ta chứng minh được: Hai đường phân giác của hai góc ngoài 
tam giác và đường phân giác của góc trong không kề chúng cùng đi qua một điểm (điểm này cũng 
cách đều ba đường thẳng chứa cạnh của tam giác đó.
3. Ba đường trung trực của tam giác
3.1. Đường trung trực của một đoạn thẳng
* Định nghĩa: Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng ấy tại 
trung điểm của nó.
 A B
 I
 d
- ĐL1: Điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.
 M
 A B
 I
 d
- ĐL2: Điểm cách đều hai mút của đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.
 M
 A B
 I
 A M B d
Nhận xét: Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng 
đó.
3.2. Tính chất ba đường trung trực của tam giác
* Đường trung trực của tam giác 
 Trang 3 CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA TAM GIÁC
 A
 a
 B C
a là đường trung trực ứng với cạnh BC của ABC
* Tính chất ba trung trực của tam giác 
 B O
 a
 C
 A
 b
Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm, điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác 
đó.
Chú ý:
 A
 \
 ///
 \ O ///
 //
 B // C
O là giao điểm của các đường trung trực của ABC . Ta có OA OB OC . Điểm O là tâm của 
đường tròn ngoại tiếp ABC .
4. Ba đường cao trong tam giác
4.1. Đường cao của tam giác:
 A
 B H C
Định nghĩa: Trong một tam giác, đoạn vuông góc kẻ từ đỉnh đến cạnh đối diện gọi là đường cao của 
tam giác đó.
- AI là đường cao của ABC xuất phát từ đỉnh A ứng với cạnh BC .
 Trang 4 CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA TAM GIÁC
- Mỗi tam giác có ba đường cao.
4.2. Tính chất ba đường cao của tam giác.
 A B H
 K
 L L K
 I
 H A
 C C
 B I C B I
 H=A
* Định lí: Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm giao của ba đường cao gọi là 
trực tâm của tam giác.
*Chú ý: 
+ Tam giác nhọn: trực tâm trong tam giác.
+ Tam giác vuông: trực tâm trùng đỉnh góc vuông.
+ Tam giác tù: trực tâm ngoài tam giác.
 A
 B D C
5. Các đường đồng quy trong tam giác cân, tam giác đều
+ Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường 
trung tuyến và đường cao cùng xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đó.
+ Trong một tam giác, nếu hai trong bốn loại đường (đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao 
cùng xuất phát từ một đỉnh và đường trung trực ứng với cạnh đối diện của đỉnh này) trùng nhau thì tam 
giác đó là một tam giác cân.
+ Trong tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm nằm trong tam giác và cách 
đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau.
- Nếu 1 tam giác có hai đường cao bằng nhau là tam giác cân.
- Nếu 1 tam giác có ba đường cao bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.
 Trang 5 CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA TAM GIÁC
PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI.
Dạng 1: TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC.
I. Phương pháp giải.
1. Đường thẳng trung tuyến của tam giác
 A
 B C
 M
- Đoạn thẳng AM nối đỉnh A của tam giác ABC với trung điểm M của cạnh BC gọi là đường trung 
tuyến (xuất phát từ đỉnh A hoặc ứng với cạnh BC ) của tam giác ABC . Đôi khi, đường thẳng AM 
cũng gọi là đường trung tuyến của tam giác ABC .
- Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến.
- Đường trung tuyến của một tam giác là đoạn thẳng nối đỉnh và trung điểm cạnh đối diện
2. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
- Định lý 1: Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm gặp nhau của ba 
đường trung tuyến gọi là trọng tâm của tam giác đó.
 2
- Định lý 2: Vị trí trọng tâm: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng độ dài 
 3
đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
 2 2 2
Ví dụ: Với G là trọng tâm của ABC ta có: AG AD ; BG BE ; CG CF. 
 3 3 3
 A
 F E
 G
 B C
 D
II. Bài toán.
Bài 1: Chọn câu sai:
A. Trong một tam giác có ba đường trung tuyến.
B. Các đường trung tuyến của tam giác cắt tại một điểm.
C. Giao của ba đường trung tuyến của một tam giác gọi là trọng tâm của tam giác đó.
D. Một tam giác có hai trọng tâm.
 Lời giải 
 Trang 6 CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA TAM GIÁC
Một tam giác chỉ có một trọng tâm nên D sai.
Chọn đáp án D .
Bài 2: Điền số thích hợp vào chỗ trống: “Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 
 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy”
 2 3
A. . B. . C. 3. D. 2. 
 3 2
 Lời giải 
Chọn đáp án A. 
 2
Theo tính chất trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung 
 3
 2
tuyến đi qua đỉnh ấy. Số cần điền là . 
 3
Bài 3: Cho hình vẽ sau, điền số thích hợp vào chỗ chấm: BG .... BE 
 A
 F E
 G
 B C
 D
 1 2
A. 2. B. 3. C. . D. . 
 3 3
 Lời giải 
Chọn đáp án D.
Ta có AD, BE,CF là ba đường trung tuyến của tam giác ABC và chúng cắt nhau tại G nên G là 
trọng tâm của tam giác ABC .
 BG 2 2
Theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác ta có BG BE. 
 BE 3 3
 2
Vậy số thích hợp điền vào chỗ chấm là . 
 3
Bài 4: Cho hình vẽ sau, điền số thích hợp vào chỗ chấm: AG .... GD 
 A
 F E
 G
 B C
 D
 Trang 7 CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA TAM GIÁC
 1 2
A. 2. B. 3. C. . D. . 
 3 3
 Lời giải 
Chọn đáp án A.
Ta có AD, BE,CF là ba đường trung tuyến của tam giác ABC và chúng cắt nhau tại G nên G là 
trọng tâm của tam giác ABC .
Theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác ta có:
AG 2 AG
 2 AG 2GD. 
AD 3 GD
Vậy số thích hợp điền vào chỗ chấm là 2. 
Bài 5: Tam giác ABC có trung tuyến AM 9cm và trọng tâm G . Độ dài đoạn AG là
A. 4,5cm B. 3cm C. 6cm D. 4cm
 Lời giải 
Chọn đáp án C.
 A
 G
 C
 B M
 2
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC và AM là đường trung tuyến, nên AG AM (Tính chất ba 
 3
 2
đường trung tuyến của tam giác), do đó: AG .9 6cm .
 3
Bài 6: Cho hai đường thẳng xx ' và yy ' cắt nhau tại O. Trên tia Ox lấy hai điểm A, B sao cho A nằm 
giữa O và B, AB 2OA. Trên yy ' lấy hai điểm L và M sao cho O là trung điểm của LM. Nối B với 
L, B với M và gọi P là trung điểm của đoạn MB,Q là trung điểm của đoạn LB . Chứng minh rằng 
các đoạn thẳng LP và MQ đi qua A .
 Lời giải 
 B x'
 Q P
 A
 L M
 y O y'
 x'
 Trang 8 CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA TAM GIÁC
Ta có O là trung điểm của đoạn LM . Suy ra BO là đường trung tuyến của BLM 1 
Mặt khác BO BA AO vì A nằm giữa O và B hay OB 2OA OA 3OA 
 2
Suy ra BA BO 2 
 3
Từ 1 , 2 suy ra A là trọng tâm của BLM (tính chất trọng tâm)
Mà LP và MQ là các đường trung tuyến của BLM .
vì P là trung điểm MB và O là trung điểm của đoạn LM .
Suy ra các đoạn thẳng LP và MQ đi qua A. (theo tính chất ba đường trung tuyến)
Bài 7: Cho ABC, BC a, CA b, AB c. Kẻ trung tuyến AM. Đặt AM ma . 
 b c a b c
Chứng minh rằng m 
 2 a 2
 Lời giải
 A
 c b
 ma
 B a C
 M
Với AMB ta có: AM MB AB (1) 
Với AMC ta có: AM MC AC (2) 
Cộng từng vế của 1 và 2 ta được: 2AM MB MC AB AC 
 b c a
Hay 2m a b c m 
 a a 2
 b c
Chứng minh tương tự ta có m 
 a 2
 b c a b c
Khi đó ta có: m 
 2 a 2
Bài 8: 
Cho tam giác ABC cân tại A , trung tuyến AM .
a) Chứng minh rằng AM vuông góc với BC .
b) Biết AB AC 17cm, BC 16cm, tính độ dài đường trung tuyến AM .
 Lời giải 
 Trang 9 CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA TAM GIÁC
 A
 B M C
 ABM ACM (c c c) ·AMB ·AMC (Hai góc tương ứng)
Mà ·AMB ·AMC 180 nên ·AMB ·AMC 90 hay AM  BC 
Vì ABM ACM (c c c) BM CM (hai cạnh tương ứng)
 BC 16
Do đó BM CM 8cm 
 2 2
Áp dụng định lý Pytago vào ABM vuông tại M , ta có AM 2 AB2 BM 2
 172 82 289 64 225 AM 225 15cm. 
Bài 9: Cho ABC có các đường trung tuyến BD và CE bằng nhau. Chứng minh rằng ABC là tam 
giác cân.
 Lời giải 
 A
 E D
 G
 B C
 2 2
Gọi G là giao điểm của BD và CE BG BD ; CG CE 
 3 3
Do BD CE nên BG CCG ; GD GE BGE CGD(c g c) BE CD 
 1 1
Ta lại có: BE AB ; CD CA 
 2 2
Do đó AB AC ABC cân tại A 
Bài 10: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi K là trung điểm của BM. Trên tia đối của 
tia lấy KA điểm E sao cho KE KA. 
a) Điểm M là trọng tâm của tam giác nào?
b) Gọi F là trung điểm của CE. Chứng minh rằng ba điểm A, M , F thẳng hàng.
 Lời giải 
 Trang 10