Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 7 - Chuyên đề 5: Giá trị tuyệt đối

 CHUYÊN ĐỀ 5: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT.
I. Định nghĩa:
 a khi a 0
 Với mọi số a ta có: a 
 a khi a 0
 Giá trị tuyệt đối của số a là khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số
II. Tính chất:
1. Nếu x 0 x x
 2. Nếu x a 0 x a x a
 3. Nếu x 0 x x
 4. Nếu x a 0 x a a x
5. Giá trị tuyệt đối của mọi số thực đều không âm. ( x 0 với mọi x R)
6. Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, và ngược lại hai số có giá trị 
 x y
tuyệt đối bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau hoặc đối nhau. x y 
 x y
7. Mọi số đều lớn hơn hoặc bằng đối của giá trị tuyệt đối của nó và đồng thời nhỏ hơn hoặc bằng giá 
trị tuyệt đối của nó. x x x và x x x 0; x x x 0
8. GTTĐ của một số thực luôn lớn hơn bằng chính nó;lớn hơn bằng số đối của nó. x x; x x
9. Trong hai số âm số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối lớn hơn. x y 0 x y
10. Trong hai số dương số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 0 x y x y
11. Giá trị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối. x.y x . y
 x x
12. Giá trị tuyệt đối của một thương bằng thương hai giá trị tuyệt đối. 
 y y
13. Bình phương của giá trị tuyệt đối của một số bằng bình phương số đó. x 2 x2
14. Giá trị tuyệt đối của một tổng không lớn hơn tổng các giá trị tuyệt đối .x y x y viết ngược 
lại x y x y dấu ‘=” xảy ra x.y 0 
15 Giá trị tuyệt đối của một hiệu không nhỏ hơn hiệu các giá trị tuyệt đối .x y x y viết ngược 
lại x y x y dấu ‘=” xảy ra x.y 0 
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
 VẤN ĐỀ 1: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC CHỨA GTTĐ
I. Phương pháp giải.
Với biểu thức chứa GTTĐ ta có thể bỏ dấu GTTĐ rồi thực hiện phép tính, hoặc tìm giá trị của biến 
rồi thay vào biểu thức để tính giá trị.
II. Bài toán
Bài 1.1 Tìm giá trị của các biểu thức sau: 1
 a) C 2 x 3 y với x ; y 3.
 2
 b) A 3x2 2x 1, Với x 0,5
Lời giải
 1 1 1
a) Với x ; y 3. ta có C 2 3| 3| 2. 3.3 1– 9 8
 2 2 2
 1
Vậy khi x ; y 3. thì C có giá trị là : -8
 2
 x 0,5
b) Vì x 0,5 
 x 0,5
 2
 1 1 3
 TH1 : x 0,5 A 3. 2. 1 
 2 2 4
 2
 1 1 3 11
 TH2 : x 0,5 A 3 2. 1 2 
 2 2 4 4
 3 11
Vậy khi x 0,5 thì A có giá trị là hoặc 
 4 4
III. Bài tập áp dụng:
Bài 1.2: Tìm giá trị của các biểu thức sau:
a) A 2 x – 2 3 1– x với x 4
 1
b) B 3x 1 x 3 với x 
 3
Lời giải 
a) Với x 4 ta có: A 2 4 – 2 3 1– 4 2 2 3 –3 2.2 3.3 4 9 5 
Vậy với x 4 thì A có giá trị : -5
 1
 x 
 1 3
b) x 
 3 1
 x 
 3
 1 1 1 1 1 1 1 13
Với x , ta có: B 3. 1 3 3 3 
 3 2 3 2 3 2 3 6
 1 1 1 5 1 5 1 1
Với x , ta có: B 3.( ) 1 3 3 3 
 3 2 3 2 3 2 3 6
 1 13 1
Vậy với x thì B có giá trị là hoặc .
 3 6 6
 VẤN ĐỀ 2 : RÚT GỌN BIỂU THỨC
I. Phương pháp giải.
Để rút gọn biểu thức chứa GTTĐ, ta thực hiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi rút gọn.
 a khi a 0
 Chú ý hai trường hợp a 0 và a 0 , khi đó: a 
 a khi a 0
II . Bài toán:
Bài 1.1: Phá giá trị tuyệt đối: 2x 3 Lời giải
 3 
 2x 3 x 
 2 
 Ta có: 2x 3 
 3 
 2x 3 x 
 2 
Bài 1.2: Rút gọn biểu thức:
a) 3 x 1 2 x 3 b) 2x 4 x 3
Lời giải
a) Nếu x 3 3 x 1 2 x 3 3x 3 2 x 3 x 9
 Nếu x 3 3 x 1 2 x 3 3x 3 2 x 3 5x 3
b) Ta có bằng xét dấu sau :
 x 2 3 
 2x 4 - 0 + / + 
 x 3 - / - 0 + 
 Khi đó ta có :
 Nếu x 2 2x 4 x 3 4 2x 3 x 3x 7
 Nếu 2 x 3 2x 4 x 3 2x 4 3 x x 1
 Nếu x 3 2x 4 x 3 2x 4 x 3 3x 7
III. Bài tập áp dụng:
Bài 1.3: Phá giá trị tuyệt đối:
a) 4x 2 b) 3x 5
Lời giải
 1
a) Nếu 4x 2 0 x thì 4x 2 4x 2
 2
 1
Nếu 4x 2 0 x thì 4x 2 (4x 2) 2 4x
 2
 5
b) Nếu3x 5 0 x thì 3x 5 3x 5
 3
 5
Nếu3x 5 0 x thì 3x 5 (3x 5) 5 3x
 3
Bài 1.4: Rút gọn biểu thức sau:
a) A x | x |
b) B | x | x 
c) C 2(3x 1) | 5 x |:
d) D 2| 2x 1| 3| 2x 3|
Lời giải
a) A x | x | x x 2x nếu x 0
 A x | x | x ( x) 0 nếu x 0
b) B | x | x x x 0 nếu x 0
 B | x | x x x 2x nếu x 0
c) C 2(3x 1) | 5 x | 6x 2 5 x 7x 7 nếu x 5
C 2(3x 1) | 5 x | 6x 2 5 x 5x 3 nếu x 5
d) Ta có bằng xét dấu sau : x 3 1
 2 2
 2x 1 - / - 0 + 
 2x 3 - 0 + / + 
 Khi đó ta có :
 3
 Nếu x D 2 2x 1 3 2x 3 2 1 2x 3 3 2x 2x 11
 2
 3 1
 Nếu x D 2 2x 1 3 2x 3 2(1 2x) 3(2x 3) 2x 7
 2 2
 1
 Nếu x D 2 2x 1 3 2x 3 2 2x 1 3 2x 3 2x 11
 2
 VẤN ĐỀ 3: TÌM X TRONG DẤU GTTĐ
 1. Dạng 1: A(x) = k (Trong đó A(x) là biểu thức chứa x, k là một số cho trước )
I. Phương pháp giải.
 - Nếu k < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn đẳng thức( Vì giá trị tuyệt đối của 
mọi số đều không âm ) 
 - Nếu k = 0 thì ta có A(x) 0 A(x) 0
 A(x) k
 - Nếu k > 0 thì ta có: A(x) k 
 A(x) k
II. Bài toán.
Bài 1.1: Tìm x, biết:
a) 2 3x 1 1 5 b) x 5 4 3 
Lời giải
 x 3
 3x 1 2 
a) 2 3x 1 1 5 2 3x 1 4 3x 1 2 1
 3x 1 2 x 
 3
 x 5 7 x 2
 x 5 4 3 x 5 7 x 5 7 x 12
b) x 5 4 3 
 x 5 4 3 x 5 1 x 5 1 x 4
 x 5 1 x 6
III. Bài tập áp dụng.
Bài 1.2: Tìm x biết:
 1 5 1 21 x 2
a) 2x b) 3 : 6 c) x 3 8 20
 3 4 4 5 4 3
Lời giải
 5 1 7
 2x x 
 1 5 1 5 1 4 12 12
a) 2x 2x 
 3 4 4 4 12 5 1 2
 2x x 
 4 12 3 x 2 5
 28
 21 x 2 x 2 5 4 3 3 x 
b) 3: 6 3
 5 4 3 4 3 3 x 2 5 
 x 4
 4 3 3
 x 3 28
 x 3 8 20 x 25
c) x 3 8 20 x 3 28 
 x 31
 x 3 8 20 
 x 3 12
2. Dạng 2: A(x) = B(x) hay A(x) - B(x) = 0 (Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x)
I. Phương pháp giải
*Cách 1 : Xét các trường hợp xảy ra của A(x) và B(x) để phá giá trị tuyệt đối 
*Cách 2 : Dựa vào tính chất hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau ta tìm x thoả mãn một 
trong hai điều kiện A(x) B(x) hoặc A(x) B(x)
 a b A(x) B(x)
Cụ thể: a b ta có: A(x) B(x) 
 a b A(x) B(x)
II. Bài toán
Bài 2.1: Tìm x biết: a) x 3 2x 1 b) 5x 4 x 2 0
Lời giải:
a) x 3 2x 1
 x 3 2x 1 hoặc x 3 (2x 1) 
 + Xét x 3 2x 1 x 2x 1 3 x 4
 2
 + Xét x 3 (2x 1) x 3 2x 1 x 2x 1 3 x 
 3
 2
 Vậy x ; x 4
 3
b) 5x 4 x 2 0 5x 4 x 2
 5x 4 x 2 hoặc 5x 4 (x 2)
 3
 + Xét 5x 4 x 2 5x x 2 4 4x 6 x 
 2
 1
 + Xét 5x 4 (x 2) 5x 4 x 2 5x x 2 4 6x 2 x 
 3
 3 1
Vậy: x ; x 
 2 3
III. Bài tập áp dụng.
Bài 2.2: Tìm x, biết:
a) 2x 3 3x 2 0 b) 2 3x 4x 3 c) 7x 1 5x 6 0
Lời giải:
a) 2x 3 3x 2 0 2x 3 3x 2
 2x 3 3x 2 hoặc 2x 3 (3x 2)
 + Xét 2x 3 3x 2 2x 3x 2 3 x 5 1
 + Xét 2x 3 (3x 2) 2x 3 3x 2 2x 3x 2 3 5x 1 x 
 5
 1
Vậy x 5; x 
 5
b) 2 3x 4x 3 
 2 3x 4x 3 hoặc 2 3x (4x 3)
 + Xét 2 3x 4x 3 3x 4x 3 2 x 5
 1
 + Xét 2 3x (4x 3) 2 3x 4x 3 3x 4x 3 2 7x 1 x 
 7
 1
Vậy x 5; x 
 7
c) 7x 1 5x 6 0 7x 1 5x 6
 7x 1 5x 6 hoặc 7x 1 (5x 6)
 5
 + Xét 7x 1 5x 6 7x 5x 6 1 2x 5 x 
 2
 7
 + Xét 7x 1 (5x 6) 7x 1 5x 6 7x 5x 6 1 12x 7 x 
 12
 5 7
Vậy x ; x 
 2 12
Bài 2.3: Tìm x, biết
 3 1 5 7 5 3
a) x 4x 1 b) x x 0
 2 2 4 2 8 5
Lời giải:
 3 1
a) x 4x 1
 2 2
 3 1 3 1
 x 4x 1 hoặc x (4x 1)
 2 2 2 2
 3 1 3 1
 + Xét x 4x 1 x 4x 1 
 2 2 2 2
 5 3 3 5 3 2 3
 x x : ( ) x ( ) x 
 2 2 2 2 2 5 5
 3 1 3 1
 + Xét x (4x 1) x 4x 1
 2 2 2 2
 3 1 11 1 1 11 1
 x 4x 1 x x : x 
 2 2 2 2 2 2 11
 3 1
Vậy x hoặc x 
 5 11
 5 7 5 3 5 7 5 3
b) x x 0 x x 
 4 2 8 5 4 2 8 5
 5 7 5 3 5 7 5 3
 x x hoặc x ( x )
 4 2 8 5 4 2 8 5 5 7 5 3 5 5 3 7 5 41 41 5 164
 + Xét x x x x x x : x 
 4 2 8 5 4 8 5 2 8 10 10 8 25
 5 7 5 3 5 7 5 3 5 5 3 7
 +Xét x ( x ) x x x x 
 4 2 8 5 4 2 8 5 4 8 5 2
 15 29 29 15 116
 x x : x 
 8 10 10 8 75
 116
Vậy: x 
 75
3. Dạng 3: A(x) B(x) ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x )
I. Phương pháp giải
* Cách 1: Ta thấy nếu B(x) < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn vì giá trị tuyệt đối của mọi 
số đều không âm. Do vậy ta giải như sau:
 A(x) B(x) (1)
 Điều kiện: B(x) 0 (*)
 A(x) B(x)
(1) Trở thành A(x) B(x) (Giải tìm x sau đó đối chiếu giá trị x tìm được với điều 
 A(x) B(x)
kiện (*)
* Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:
Nếu a 0 a a
Nếu a 0 a a
Ta giải như sau: A(x) B(x) (1)
 - Nếu A(x) 0 thì (1) trở thành: A(x) B(x) (Giải tìm x sau đó đối chiếu giá trị x tìm được 
 với điều kiện )
 - Nếu A(x) 0 thì (1) trở thành: A(x) B(x) (Giải tìm x sau đó đối chiếu giá trị x tìm được 
 với điều kiện )
II. Bài toán
Bài 3.1: Tìm x biết: 9 3x x 7 
Lời giải:
* Cách 1 : 
Vì 9 3x 0 với mọi x R x 7 0 
Với x 7 0 x 7 ta có 9 3x x 7 hoặc 9 3x (x 7) 
 + Nếu 9 3x x 7 3x x 7 9 4x 16 x 4 (Không thỏa mãn) 
 + Nếu 9 3x (x 7) 9 3x x 7 3x x 7 9
 2x 2 x 1 (Không thỏa mãn) 
Vậy không có giá trị của x thỏa mãn.
* Cách 2 :
 + Nếu 9 3x 0 x 3 ta có 9 3x x 7 3x x 7 9 
 4x 16 x 4 (Không thỏa mãn)
 + Nếu 9 3x 0 x 3 (9 3x) x 7 9 3x x 7 3x x 7 9 2x 2 x 1 (Không thoả mãn)
 Vậy không có giá trị của x thỏa mãn.
Bài 3.2: Tìm x biết 2x 5 x 7 
Lời giải: 
*Cách 1 : 
 2x 5 x 7 2x 5 x 7
Với x 7 0 x 7 ta có 2x 5 x 7 hoặc 2x 5 (x 7)
 + Nếu 2x 5 x 7 2x x 7 5 x 12 ( thỏa mãn ) 
 2
 + Nếu 2x 5 (x 7) 2x 5 x 7 2x x 7 5 3x 2 x (Thoả mãn)
 3
 2
Vậy x 12 ; x 
 3
*Cách 2 : 2x 5 x 7
 5
+ Xét 2x 5 0 x ta có 2x 5 x 7 2x x 7 5 x 12 (Thỏa mãn )
 2
 5 2
+ Xét 2x 5 0 x ta có (2x 5) x 7 2x 5 x 7 2x x 7 5 3x 2 x ( 
 2 3
Thoả mãn)
 2
 Vậy x 12 ; x 
 3
III. Bài tập áp dụng:
Bài 3.3: Tìm x, biết:
 1
a) x 3 2x b) x 1 3x 2 c) 5x x 12 d) 7 x 5x 1
 2
Bài 3.4: Tìm x, biết:
a) 9 x 2x b) 5x 3x 2 c) x 6 9 2x d) 2x 3 x 21
Bài 3.5: Tìm x, biết:
a) 4 2x 4x b) 3x 1 2 x c) x 15 1 3x d) 2x 5 x 2
Bài 3.6: Tìm x, biết:
a) 2x 5 x 1 b) 3x 2 1 x c) 3x 7 2x 1 d) 2x 1 1 x
Bài 3.7: Tìm x, biết:
a) x 5 5 x b) x 7 x 7 c) 3x 4 4 3x d) 7 2x 7 2x
4. Dạng 4: Đẳng thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối: 
I. Phương pháp giải.
 Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:
 A(x) B(x) C(x) m
 Căn cứ bảng trên xét từng khoảng giải bài toán ( Đối chiếu điều kiện tương ứng )
II. Bài toán.
Bài 4.1: Tìm x biết: x 2 2x 3 x 2
Lời giải: Lập bảng xét dấu ta có:
 x 3
 2 
 2
 x 2 - / - 0 + 
 2x 3 - 0 + / + 
 3
Khi đó ta có : TH1 : x 2 x 2x 3 x 2 0x 7 không có giá trị của x
 2
 3 1
 TH2 : x 2 2 x 2x 3 x 2 4x 1 x ( thỏa mãn)
 2 4
 3
 TH3 : x 2 x 2 2x 3 x 2 2x 3 x ( không thỏa mãn) 
 2
 1
vậy : x là giá trị cần tìm
 4
III. Bài tập áp dụng :
Bài 4.2: Tìm x, biết: 
 a) 2x 6 x 3 8
 b) x 2 x 3 x 4 2
 c) x 1 x 2 x 3 6
5. Dạng 5: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối hàng loạt: A(x) + B(x) + C(x) =D(x) (1)
I. Phương pháp giải.
 Điều kiện: D(x) 0 kéo theo A(x) 0; B(x) 0;C(x) 0
 Do vậy (1) trở thành: A(x) + B(x) + C(x) = D(x)
II. Bài toán.
Bài 5.1: Tìm x, biết: x 1 x 2 x 3 4x
Lời giải: 
Điều kiện 4x 0 x 0nên từ x 1 x 2 x 3 4x x 1 x 2 x 3 4x
 x 6 ( thỏa mãn đk) vậy x 6 là giá trị cần tìm.
III. Bài tập áp dụng :
Bài 5.2: Tìm x biết: 
a) x 1 x 2 x 3 x 4 5x 1
 1 1 1 1
b) x x x ... x 50x
 1.3 3.5 5.7 97.99
 1 1 1 1
c)) x x x ... x 101x
 1.5 5.9 9.13 397.401
6. Dạng 6. Tìm x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức : A + B = m
I. Phương pháp giải.
 A 0
 + Nếu m 0 
 B 0
 + Nếu m 0........Do A 0 0 B m Tìm B rồi suy ra tìm A 
II. Bài toán.
Bài 6.1: Tìm các cặp số nguyên x, y thỏa mãn :
a) x 2007 x 2008 0 b) x y 2 y 3 0 c) x 3y 1 3 y 2 0 Lời giải 
 ì
 ï x - 2007 ³ 0
a) Ta có íï " x
 ï x - 2008 ³ 0
 îï
 ïì ì
 ï x - 2007 = 0 ï x = 2007
 Þ x - 2007 + x - 2008 = 0 Û íï Û í (loại)
 ï x - 2008 = 0 ï x = 2008
 îï îï
Vây x Î Æ
 ïì ïì ì
 ï x - y - 2 ³ 0 ï x - y - 2 = 0 ï x = 1
b) Ta cóíï " x,y x y 2 y 3 0 Û íï Û í
 ï y + 3 ³ 0 ï y + 3 = 0 ï y = - 3
 îï îï îï
Vậy (x;y) = (1;- 3)
 ïì
 ï x + 3y - 1 ³ 0 x 3y 1 0 x 7
c) Ta có :í " x,y x 3y 1 3 y 2 0 
 ï 3 y + 2 ³ 0 3 y 2 0 y 2
 îï 
Vậy (x;y) = (7;- 2)
* Chú ý 1: Bài toán có thể cho dưới dạng A B 0 nhưng kết quả không thay đổi
 * Cách giải: 
 A B 0 (1)
 A 0 
  A B 0 (2)
 B 0 
 A 0
 Từ (1) và (2) A B 0 
 B 0
Bài 6.2: Tìm x biết 5x 1 6y 8 0
Lời giải:
 1
 x 
 5x 1 0 5
Vì: 5x 1 0; 6y 8 0 , nên 5x 1 6y 8 0 
 6y 8 0 4
 y 
 3
 1 4 
Vậy: x; y ; 
 5 3 
Bài 6.3: Tìm cặp số nguyên (x ;y) thỏa mãn :
a, x 4 y 1 3 b, 2x 1 y 1 4 c, 3x y 5 5 
Lời giải 
a) Do x 4 0 0 y 2 3 y 2 0;1;2;3 
Vì x,y Î Z , ta có bảng sau
 x + 4 3 2 1 0
 y - 2 0 1 2 3
 x -1 -7 -2 -6 -3 -5 -4 -4
 y 2 2 3 1 4 0 5 -1