Chuyên đề Hình học 7 nâng cao - Các đường đồng quy trong tam giác

CHUYÊN ĐỀ – CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC.
I.Mục tiêu
1/ Về kiến thức: Nắm chắc tính chất các đường trong tam giác: đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực, đường cao
2/ Về kĩ năng:
- Vận dụng thành thạo các kiến thức vào các dạng BT: So sánh góc, đoạn thẳng, CM quan hệ bằng nhau, thẳng hàng , đồng qui 
- Rèn kĩ năng vẽ hình , CM
2/ Về thái độ: Có ý thức học tập. Rèn tính cẩn thận. Phát trỉển tư duy suy luận, sáng tạo 
II.Kiến thức cần nhớ
1.Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm của tam giác đó. 
Vị trí trọng tâm: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy. 
G là trọng tâm của 
 2.Tính chất tia phân giác của một góc
Định lí 1: Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó
Đinh lí 2: Điềm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.
Tập hợp các điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc là tia phân giác của góc đó. 
3.Tính chất ba đường phân giác của tam giác
Định lí 1: Trong một tam giác cân, đường phân giác của góc ở đỉnh đồng thời là đường trung tuyến của tam giác đó. 
rABC cân tại A, AD là phân giác=> AD là đường trung tuyến
Định lí 2: Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó
 ID = IE = IF
4.Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng
Định nghĩa: Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng ấy tại trung điểm của nó.
Trên hình vẽ bên, d là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Ta cũng nói: A đối xứng với B qua d. 
Định lí 1: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó. 
Định lí 2: Điểm cách đều hai mút của đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó. 
MA = MB M thuộc đường trung trực của AB.
Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó. 
5.Tính chất ba đường trung trực của tam giác
- Định lí 1: Trong một tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy này. 
- Định lí 2: Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.
Trên hình bên, điểm O là giao điểm các đường trung trực của Ta có Điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp 
6.Tính chất ba đường cao của tam giác
Định lí 1: Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác. 
Trên hình bên, H là trực tâm của 
Định lí 2: Trong một tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực của tam giác đó. 
Nhận xét: Trong một tam giác, nếu có hai trong bốn loại đường (đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao cùng xuất phát từ 1 đỉnh và đường trung trực ứng với cạnh đối diện của đỉnh này) trùng nhau thì tam giác đó là tam giác cân. 
III. Bài tập 
Bài toán 1: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm BM. Trên tia đối của tia IA lấy điểm E sao cho IE = IA.
Điểm M là trọng tâm tam giác nào?
Gọi F là trung điểm của CE. Chứng minh rằng ba điểm A, M, F thẳng hàng. 
AM < 12 (AB+AC)
Bài toán 2: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho Tia BE cắt CD ở M. Chứng minh:
M là trung điểm của CD
AC+ BN > 32 BC
Bài toán 3: Cho tam giác ABC. Vẽ trung tuyến BM. Trên tia BM lấy hai điểm G và K sao cho và G là trung điểm BK. Gọi N là trung điểm của KC, GN cắt CM ở O. Trên tia đối của tia NG lấy điểm D sao cho ND = NG . 
Chứng minh:
O là trọng tâm tam giác GKC
CD// BK
Bài toán 4: Cho tam giác ABC, A=1200 Các tia phân giác của góc A và C cắt nhau ở O, cắt các cạnh BC và AB lần lượt ở D và E. Đường phân giác góc ngoài tại đỉnh B của tam giác ABC cắt đường thẳng AC tại F. Chứng minh: 
BDF=ADF 
Ba điểm D, E, F thẳng hàng. 
Bài toán 5: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Từ M kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC ở N. Biết AN = MN, BN cắt AM ở O. Gọi I là trung điểm của AB.Chứng minh:
Tam giác ABC cân ở A
O là trọng tâm tam giác ABC. 
IN là đường trung trực của AM
Bài toán 6: Cho rABC cân tại A, trung tuyến AM. Đường trung trực của AC cắt AM ở O và cắt AB tại D. Biết CD là tia phân giác của góc ACB
Chứng minh rằng điểm O cách đều 3 đỉnh của tam giác ABC. 
Tính các góc của tam giác ABC.
Bài toán 7: Cho tam giác đều ABC. Trên các cạnh AB, BC, CA lấy theo thứ tự ba điểm M, N, P sao cho AM = BN = CP. Gọi O là giao điểm các đường trung trực của tam giác ABC
Tính MAO
Chứng minh tam giác MNP là tam giác đều
. Chứng minh rằng O cũng là giao điểm của các đường trung trực của tam giác MNP. 
Bài toán 8: Cho xOy =500 Trên tia Ox lấy điểm A. Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với Oy ở D. Trên tia đối của tia DO lấy điểm B, qua B kẻ đường thẳng vuông góc với Ox ở E, BE cắt AD ở I. 
Chứng minh OI vuông góc với AB
Tính AIB 
Chứng minh IA +IB+IC < OA+ OB
Bài toán 9: Cho tam giác ABC vuông ở A,trung tuyến AM, đường cao AH. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AH và CH. Chứng minh:
M là trực tâm của tam giác ANB
BM vuông góc với AN. 
Bài toán 10: Cho tam giác ABC cân ở A. Gọi O là giao điểm các đường trung trực của tam giác. Trên tia đối của các tia AB và CA lấy theo thứ tự hai điểm M và N sao cho 
Chứng minh OAB=OCA 
Chứng minh 
Gọi I là giao điểm hai đường trung trực của OM và ON. Chứng minh OI là tia phân giác của góc MON. 
Bài toán 11: Cho tam giác ABC cân tại A có AD là đường phân giác. 
Chứng minh 
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh ba điểm A, G, D thẳng hàng. 
Tính DG biết 
Bài toán 12: Cho tam giác ABC cân tại A có G là trọng tâm. O là giao điểm hai đường trung trực của cạnh AB và AC. Chứng minh rằng:
Tam giác OBC cân
Ba điểm A, O, G thẳng hàng. 
Bài toán 13: Tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD. Kẻ , AE cắt BC ở K.
Tam giác ABK là tam giác gì?
Chứng minh rằng 
Kẻ .Chứng minh rằng AK là tia phân giác của góc HAC.
Gọi I là giao điểm của AH và BD. Chứng minh rằng IK // AC. 
Bài toán 14: Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E trên cạnh AC sao cho BD = CE. Chứng minh rằng:
DE // BC
 (I là giao điểm của BE và CD)
AI là phân giác của góc A
Tìm vị trí của D, E để BD = DE = EC. 
Bài toán 15: Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH .Trên cạnh AC lấy điểm K sao cho AK=AH. Kẻ và CE ⊥AD tại I. Chứng minh
AD là đường trung trực của đoạn thẳng HK. 
3 đường thẳng AH, DK, CE cùng đi qua 1 điểm
Bài toán 16: Tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD. đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt tia BD tại E.Kẻ DH⊥BC tại H. Trên tia đối của AB lấy điểm K saocho AK = HC.
Chứng minh BC = CE
Chứng minh 3 điểm H, D, K thẳng hàng
So sánh DK và HD
Chứng minh chu vi rABD < chu vi rCDE