Chuyên đề ôn tập Hình học Lớp 7 - Chuyên đề II: Tam giác - Chủ đề 6: Tam giác cân

 CHỦ ĐỀ 6. TAM GIÁC CÂN
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Tam giác cân
 Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.
 ABC cân tại A:
- AB = AC.
- AB,AC là các cạnh bên; BC là cạnh đáy,
- Bµ , Cµ là các góc ở đáy; µA là góc ở đỉnh. 
 Một tam giác là tam giác cân nếu:
- Tam giác có hai cạnh bằng nhau.
- Tam giác có hai góc bằng nhau,
2. Tam giác đều
 Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau,
 Trong tam. giác đều, mỗi góc bằng 60°.
 Một tam giác là tam giác đều nếu:
- Tam giác có ba cạnh bằng nhau,
- Tam giác có ba góc bằng nhau,
- Tam giác cân và có một góc bằng 60°.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Nhận biết tam giác cân, tam giác đều
Phương pháp giải: Dựa và dấu hiệu nhận biết của tam giác cân, tam giác đều.
1A.Cho tam giác ABC có µA 80, Bµ 50 . Chứng minh tam giác ABC cân.
1B. Cho tam giác ABC. Tia phân giác góc B cắt cạnh AC tại D. Qua D kẻ đường thẳng song 
song với BC, nó cắt cạnh AB tại E. Chứng minh tam giác EBD cân.
2A. Cho tam giác ABC cân tại A Tia phân giác góc B cắt cạnh AC tại D, tia phân giác góc C cắt 
cạnh AB tại E. Chứng minh tam giác ADE cân.
2B. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy 
điểm E sao cho BD = CE, Chứng minh tam giác ADE cân. 3A. Cho x· Oy = 120°, điểm A thuộc tia phân giác của góc xOy. Kẻ AB  Ox (B Ox) và AC  
Oy/ (C Oy). Tam giác ABC là tam giác gì? Tại sao?
3B. Cho x· Oy = 60°, điểm A thuộc tia phân giác của góc xOy. Kẻ AB  0x (B Ox) và AC  
Oy (C Oy). Tam giác OBC là tam giác gì? Tại sao?
Dạng 2. Vận dụng tính chất của tam giác câm, tam giác đều để tính số đo góc hoặc chứng 
minh các góc bằng nhau 
Phương pháp giải: Dựa vào tính chất về góc của tam giác cân, tam giác đều.
4A. Cho tam giác ABC cân tại A. Tính số đo các góc còn lại của tam giác ABC nếu biết:
 a) µA = 40°; b) Bµ = 50°; c) Cµ = 60°.
4B. Cho tam giác ABC cân tại B. Gọi Bx là tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh B. Chứng minh 
Bx //AC.
5A. Cho tam giác ABD cân tại A có µA = 40°. Trên tia đối của tia DB lấy điểm C sao cho DC = 
DA. Tính số đo góc ACB.
5B. Cho tam giác ABC cân tại B có Bµ = 80°. Trên tia đổi của tia CB lấy điếm M sao cho CM = 
CA. Tính số đo các góc AMB.
6A. Cho tam giác ABC có Bµ = 50°, Cµ = 30°. Trên cạnh BC lấy các điểm D, E sao cho BD = BA,CE 
= CA. Tính số đo góc DAE.
6B. Cho tam giác ABC có µA =100°. Trên cạnh BC lấy các điểm D, E sao cho BD = BA,CE = CA. 
Tính số đo góc DAE
Dạng 3. Vận dụng tính chất của tam giác cân, tam giác đều để chứng minh các đoạn thẳng 
bằng nhau
Phương pháp giải: Dựa vào tính chất về cạnh của tam giác cân, tam. giác đều.
7A. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh AB,AC lần lượt lấy các điểm D, E sao cho AD 
= AE. Chứng minh BE = CD.
7B. Cho tam giác MON cân tại O. Gọi C,D theo thứ tự là trung điểm của OM,ON. Chứng minh 
CN = DM.
8A. Cho tam giác ABC cân tại A có µA = 36°. Tia phân giác của góc B cắt cạnh AC tại D. Chứng 
minh DA = DB = BC.
8B. Cho tam giác ABC có µA = 60°, Bµ = 40°. Tia phân giác của góc C cắt cạnh AB tại K. Chứng 
minh KB = KC.
Dạng 4. Một số bài tập tổng hợp 9A. Cho tam giác ABC cân tại A ( µA < 90°). Kẻ BD vuông góc với AC tại D, kẻ CE vuông góc 
vói AB tại E.
a) Chứng minh tam giác ADE cân.
b) Chứng minh DE// BC.
c) Gọi I là giao điểm của BD và CE. Chứng minh IB = IC
d) Chứng minh. AI  BC.
9B. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D trên tia đối của tia CA lấy 
điểm E sao cho BD = CE, Gọi I là giao điểm của BE và CD.
 a) Chứng minh IB = IC, ID = IE.
b) Chứng minh DE // BC.
c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm A, M, I thẳng hàng.
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
10. Cho tam giác ABC cân tại Ạ. Trên các cạnh AC,AB lần lượt lấy M, N sao cho AM = AN.
a) Chứng minh ·ABM ·ACN
b) Gọi O là giao điểm của BM. và CN. Chứng minh tam giác OBC cân.
11. Cho tam giác ABC đều. Lấy các điểm D, E, F theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CA sao 
cho AD = BE = CF. Chứng minh:
 a) ADF = BED.
b) DEF đều.
12. Cho tam giác ABC. Tia phân giác của góc B cắt AC ở D. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E 
sao cho BE = BC. Chứng minh BD//EC.
13.Cho tam giác MAB cân tại M. Trên tia đối của tia MB lây điểm C sao cho MC = MB. Tính số 
đo góc BAC.
14. Cho AMNP vuông tại M. Kẻ MK  NP (K NP). Tia phân giác của góc PMK cắt NP tại 
I. Chứng minh NM = NI.
15. Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi Ax là tia phân giác góc A. Qua trung điểm M của BC 
kẻ đường thẳng vuông góc với Ax, cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại D và E. 
a) Chứng minh tam giác ADE cân.
b) Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt DE tại F. Chứng minh BD = BF.
c) Chứng minh BD = CE. 16 . Cho tam giác ABC vuông tại A, Bµ = 30°. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = 
AC.
a) Tam giác BCD là tam giác gì? Tại sao?
b) Chứng minh BC = 2 AC.
 HƯỚNG DẪN
1A. Tính được Cµ = 50°, do đó tam giác ABC cân tại A.
1B. Chứng minh được E· BD D· BC E· DB , từ đó tam giác EBD cân tại E.
2A. Chứng minh được ADB = AEC (g-c-g) => AD = AE, từ đó tam giác ADE cân tại A.
2B. Chứng minh được
 ABD = ACE (c-g-c) => AD = AE,
 từ đó tam giác ADE cân tại A.
3A. Chứng minh được
 OAB = OAC (c.g.c), suy ra
AB = AC và O· AB O· AC .
Tính được B· AC = 60° nên tam
 giác ABC đều.
3B. Chứng minh được
 OAB = OAC (g.c.g) suy ra 
AB = AC=> ĐPCM.
4A. a) Bµ Cµ = 70°. 
b) Cµ 50; µA 80
c) µA Bµ = 60°.
4B. Chứng minh được
 x·BC ·ACB => ĐPCM.
5A. Tính được ·ADB = 70°, chú ý ADC cân tại D nên ·ADB
 ·ACB D· AC 35
 2
5B. Làm tương tự 5A, ta có ·AMB = 25° và B· AM = 75° 
6A. Chú ý tam giác BAD cân tại B, 
tam giác CAE cân tại C, tính được
 B· AD ·ADB 60; E· AC ·AEC = 75°, 
từ đó D· AE = 40°.
6B. Chứng minh được
 180 Bµ 180 Cµ
 ·ADB , ·AEC 
 2 2
 Bµ Cµ 180 µA
Suy ra D· AE 40
 2 2
7A. Chứng minh được ADC = AEB (c-g-c) => BE = CD.
7B. Tượng tự 7A.
8A. Tính được D· BA 36, B· DC B· CD 72 . Từ đó tam giác DAB cân tại D, tam giác BDC cân 
tại B => ĐPCM.
8B. Chứng minh được K· CB K· BC = 40° => ĐPCM.
9A. Chứng minh ABD = ACE (c.g.c ) => ĐPCM.
b) Chứng minh được
 180 B· AC
 ·ADE ·ACB => DE // BC
 2
c) Chứng minh được I·BC I·CB => ĐPCM.
d) Gọi M là giao điểm của AI và BC, chứng minh được AI là tia phân giác của góc B· AC ,
 từ đó ·AMB = 90° => ĐPCM
9B. a) Chứng minh được ADE cân, từ đó
 BDE = CED (c-g-c)
=> I·BC I·CB => IB = IC.
b) Chú ý ·ABC ·ADE .
c) Chứng minh được AI, AM cùng là
phân giác của B· AC => ĐPCM
10. a) Chứng minh được
 AMB = ANC (c-g-c)
=> ·ABM ·ACN .
b) Dùng kết quả câu a, với chú ý rằng
 ·ABC ·ACB suy ra O· BC O· CB => ĐPCM. 
11. a) Chứng minh được AF = BD, với
chú ý µA Bµ = 60°
 ADF = BED (c-g-c).
b) Từ kết quả câu a, ta có DE = DF, 
chứng minh tương tự cũng có 
FD = FE => ĐPCM
12. Chú ý BEC cân tại B, từ đó chứng
 ·ABC
minh được ·ABD ·AEC => ĐPCM
 2 13. Chú ý các tam giác MAB, MAC cân, ta có
 M· CA M· BA M· AC M· AB B· AC B· AC = 90°.
14. Chú ý rằng
 N· MI 90 I·MP ,
 N· IM 90 I·MK và
 I·MK I·MP N· MI N· IM
 => ĐPCM.
15. a) Chứng minh được
 ·ADE ·AED nên tam giác ADE 
cân tại A.
b) Dùng kết quả câu a, chứng minh
 được B· DF B· FD => BD = BF
c) Dùng kết quả câu b, với chú ý rằng 
 BMF = CME (g-c-g) 
=> CE = BF = BD.
16. a) Chứng minh được ABC = A.BD (c-g-c), từ đó suy ra được tam giác BCD đều,
b) Dùng kết quả câu a, ta có BC = CD = 2AC
..............................................................................................................................................................