Chuyên đề ôn tập Hình học Lớp 7 - Chuyên đề II: Tam giác - Chủ đề 8: Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

 CHỦ ĐỀ 8. CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU 
 CỦA TAM GIÁC VUÔNG
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
 Ngoài các trường hợp bằng nhau đã biết của hai tam giác vuông, còn có trường hợp bằng 
nhau theo cạnh huyền - cạnh góc vuông.
 Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một 
cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau
Phương pháp giải:
 - Xét hai tam giác vuông.
- Kiểm tra các điều kiện bằng nhau của hai tam giác vuông (ưu tiên nhìn cạnh trước).
- Kết luận hai tam giác bằng nhau.
1A.Cho tam giác ABC cân tại A. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A lần lượt vẽ các tia 
Bx,Cy sao cho Bx  BA và Cy  CA. Gọi D là giao điểm của các tia Bx và Cy. Chứng mình 
ABD = A CD.
1B. Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AH vuông góc với BC (H BC). Chứng minh AHB = 
AHC.
2A. Cho góc xOy. Tia Oz là tia phân giác góc xOy. Lấy điếm A thuộc tia Oz (A O). Kẻ AB 
vuông góc với Ox, AC vuông góc với Oy (B Ox, C Oy). Chứng minh OAB = OAC.
2B. Cho tam giác ABC. Tia phân giác góc BAC cắt cạnh BC tại điểm D. Kẻ DM. vuông góc với 
AB, DN vuông góc với AC (M AB, N AC). Chứng minh ADM = ADN.
Dạng 2. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau
Phương pháp giải:
- Chọn hai tam giác vuông có cạnh (góc) là hai đoạn thẳng (góc) cần chứng minh bằng nhau.
- Tìm thêm hai điều kiện bằng nhau, trong đó có một điều kiện về cạnh, để kết luận hai tam 
giác bằng nhau.
- Suy ra hai cạnh (góc) tương ứng bằng nhau.
3A. Cho góc xOy, Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Qua A kẻ 
đường thẳng vuông góc với Ox, qua B kẻ đường thẳng vuông góc vói Oy, chúng cắt nhau ở 
M Chứng minh:
a) MA = MB b) OM là tia phân giác góc xOy.
3B. Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AH vuông góc vói BC (H BC). Chứng minh: a) HB = HC; b) B· AH C· AH .
4A. Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của góc B và C cắt nhau ở I. Kẻ ID  AB (D AB) kẻ 
IE  AC (E AC) và kẻ IF  BC (F BC). Chứng minh:
 a) ID = IF và IE = IF; b) AI là tia phân giác của góc A.
4B. Cho tam giác ABC cân tại A ( µA < 90°). Kẻ BH vuông góc với AC, CK vuông góc với AB (H 
 AC, K AB).
a) Chứng minh AH = AK
b) Gọi I là giao điểm của BH và CK. Chúng minh AI là tia phân giác của góc A.
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
5. Cho tam giác DEF cân tại D. Kẻ DH  EF (H EF). 
a) Chứng minh H· DE H· DF
b) Kẻ HM  DE (M DE) và HN  DF (N DF). Chứng minh HM = HN.
c) Chứng minh HME = HNF.
6. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lần lượt lây các điểm M,N (M nằm giữa B và N) 
sao cho BM = CN. Kẻ MH  AB (H AB) và NK  AC (K AC). Chứng minh:
 a) MHB = NKC; b) AH = AK; c) AMN cân ở A
7. Cho tam. giác ABC vuông tại A. Tia phân giác góc B cắt cạnh AC tại điểm M. Kẻ MD  BC 
(D BC).
a) Chứng minh BA = BD.
b) Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng DM và BA. Chứng minh ABC = DBE.
c) Kẻ DH  MC (H MC) và AK  ME (K ME). Gọi N là giao điểm của hai tia DH và AK. 
Chứng minh MN là tia phân giác góc HMK.
d) Chứng minh ba điểm B, M, N thẳng hàng.
8. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M, trên tia đối tia của tia CB 
lấy điểm N sao cho BM = CN.
 a) Chứng minh tam giác AMN cân.
b) Kẻ BE  AM (E AM), CF  AN (F AN). Chứng minh BME = CNF.
c) EB và FC kéo dài cắt nhau tại O. Chứng minh AO là tia phân giác của góc MAN.
d) Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với AM, qua N kẻ đường thẳng vuông góc với AN, chúng 
cắt nhau ở H. Chứng minh ba điểm A, O, H thẳng hàng.
 HƯỚNG DẪN 1A. Do tam giác ABC cân tại A nên AB = AC,
từ đó ABD = ACD (cạnh huyền - cạnh góc
 vuông).
1B. Làm tương tự 1A, chứng minh được 
 AHB = AHC (cạnh huyền - cạnh góc
 vuông)
2A. Do Oz là tia phân giác x· Oy nên
 ·AOB ·AOC , từ đó OAB = OAC (cạnh 
huyền - góc nhọn).
2B. Làm tương tự 2A, chứng minh được
 ADM = ADN (cạnh huyền - góc nhọn). 
3A. Chứng minh được OAM = OMB
 (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
từ đó => ĐPCM.
3B. Chứng minh được AHB = AHC
 (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
từ đó => ĐPCM.
4A. a) Chứng minh được BID = BIF và
 CIE = CIF (cạnh huyền - cạnh góc nhọn),
từ đó ID = IF = IE.
b) Từ kết quả câu a) chứng minh được 
 AID = AIE (cạnh huyền - cạnh góc vuông) => ĐPCM.
4B. a) Chú ý AB = AC, từ đó chứng minh 
được AHB = AKC (cạnh huyền - góc
 nhọn) => AH = AK
b) Từ kết quả câu a) chứng minh được
 AIK = AIH (cạnh huyền - cạnh góc
 vuông) => ĐPCM.
5. Ta có DHE = DHF (cạnh huyền -
 cạnh góc vuông).
b) Từ kết quả câu a) H· DE H· DF (góc
 tương ứng).
 c) Từ kết quả câu b) chứng minh được 
 DHM = DHN (cạnh huyền - góc
 nhọn), từ đó HM = HN.
6. a) Chú ý H· BM K· CN , ta có 
 MHB - NKC (cạnh huyền - góc nhọn)
b) Từ kết quả câu a) ta có BH = CK, 
mà AB = AC suy ra AH = AK.
c) Chú ý MH = NK => AHM = AKN (c-g-c)
 suy ra AM = AN (ĐPCM). 7. Ta có BMA = BMD (cạnh 
huyền - góc nhọn), từ đó BA = BD.
b) Từ kết quả câu a) chứng minh được 
 ABC = DBE (g-c-g).
c) Chú ý MA = MD, từ đó MAK = MDH
 (cạnh huyền - góc nhọn) => MK = MH
Do đó MKN = MH N (cạnh huyền - cạnh 
góc vuông)
 K· MN H· MN => ĐPCM.
 ·AMD K· MH
d) Chứng minh được ·AMB H· MN
 2 2
Do đó ·AMB ·AMN H· MN ·AMN = 180° => ĐPCM.
8. Chứng minh được
 ABM = ACN (c-g-c) => ĐPCM.
b) Từ kết quả câu a) chứng minh được
 BME = CNF (cạnh huyền - góc nhọn).
c) Từ kết quả câu b) ta có
ME = NF, mà AM = AN (do AMN) 
=> AE = AF.
Bởi vậy AEO = AFO (c.h-c.g.v) => ĐPCM.
 a) Chứng minh được AMH = ANH 
 b) (cạnh huyền - cạnh góc vuông), từ đó suy ra 
 c) AH là phân giác góc MAN.
Mặt khác AO là phân giác góc MAN nên AH và AO trùng nhau hay A, O, H thẳng hàng. 
..............................................................................................................................................................