Chuyên đề ôn tập Hình học Lớp 7 - Chuyên đề III: Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác và các đường đồng quy trong tam giác - Chủ đề 9: Tính chất ba đường cao của tam giác

 CHỦ ĐỀ 9. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Đường cao của tam giác
 Đường cao của tam giác là đoạn vuông góc kẻ tà một đỉnh đến đường thẳng chứa 
 cạnh đối diện.
2. Tính chất ba đường cao của tam giác
Ba đường cao của một tam giác cùng
đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trực 
tâm của tam giác.
Trong hình vẽ AD, BE, CF là các 
đường cao, H là trực tâm của tam 
giác ABC.
 3. Về các đường cao, trung tuyến, trung trực, phân giác của tam giác cân
- Trong một tam giác cân, đường cao
ứng với cạnh đáy đồng thời là đường
phân giác, đường trung tuyến, đường
 trung trực của tam giác đó.
- Trong một tam giác, nếu có hai trong
 bốn loại đường (đường trung tuyến, đường
 phân giác, đường trung trực,đường cao)
 trùng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
 - Trong một tam giác vuông, trực tâm của tam giác chính là đỉnh góc vuông của tam 
 giác đó.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Xác định trực tâm của một tam giác
 Phương pháp giải: Để xác định trực tâm của một tam giác, ta cần tìm giao điểm hai 
 đường cao của tam giác đó
 1A. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AD, BE và CF cắt 
 nhau tại H. a) Chỉ ra các đường cao của tam giác HBC Từ đó chỉ ra trực tâm của tam giác 
 đó.
 b) Chỉ ra trực tâm của các tam giác HAB và HAC.
 1B. Cho tam giác HBC có Hµ > 90°, các đường cao BD và CE cắt nhau tại A. 
 Tìm trực tâm của tam giác ABC.
 2A. Hãy giải thích tại sao trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc 
 vuông?
 2B. Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH và trung tuyến AM. 
 Chứng minh trực tâm của các tam giác ABC, MAB và MAC thẳng hàng.
 Dạng 2. Sử dụng tính chất trực tâm của tam giác để chứng minh hai đường thẳng 
 vuông góc
 Phương pháp giải: Nếu H là giao điểm hai đường cao kẻ từ B và C của tam giác ABC 
 thì AH  BC.
 3A. Cho tam giác MNP có ba góc nhọn, các đường cao NQ, PR cắt nhau tại S.
 a) Chứng minh MS  NP. b) Cho M· NP = 65°. Tính S· MR .
 3B. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AD, BE cắt nhau tại I.
 a) Chứng minh CI  AB.
 Cho ·ABC = 50°. Tính ·AIE, D· IE .
 4A. Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Lấy điểm K thuộc 
 đoạn thẳng HC. Qua K kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AH tại D. Chứng 
 minh AK  CD.
 4B. Cho tam giác MNP vuông tại M. Trên cạnh MN lấy điểm Q, kẻ QR 
 NP (R NP). Gọi O là giao điểm của các đường thẳng PM và RQ. Chứng minh 
 PQ  ON.
 5A. Cho tam giác MNP vuông tại M (MP < MN). Trên cạnh MN lấy điểm Q 
 sao cho MQ = MP, trên tia đối của tia MP lấy điểm R sao cho MR = MN. Chứng 
 minh: 
 a) PQ  NR. b) RQ  NP.
 5B. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D (D khác 
 A, B), trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AD. Tia ED cắt BC tại F. 
 Chứng minh: 
 a) EF  BC b) DF = BF; c) CD  BE.
Dạng 3. Đường cao đối với tam giác cân Phương pháp giải: Sử dụng tính chất: Trong một tam giác cân đường cao ứng với cạnh 
 đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực của tam giác 
 đó.
 6A. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao BE cắt đường trung tuyến AD 
 ở H. Chứng minh CH  AB.
 6B. Cho tam giác MNP cân tại M, đường cao PQ cắt đường phân giác MS ở 
 K. Chứng minh NK  MP.
 7A. Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao BD, CE cắt nhau tại H. 
 Chứng minh AH là tia phân giác của B· AC .
 7B. Cho tam giác DEF cân tại D, các đường cao EM, FN cắt nhau tại O. Gọi 
 I là giao điểm của DO với EF. Chứng minh IE = IF.
 Dạng 4. Sử dụng tính chất trực tâm để chứng minh ba đường thẳng đồng quy
 Phương pháp giải: Nếu ba đường thẳng là ba đường cao của một tam giác thì chúng 
 cùng đi qua một điểm.
 8A. Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường phân giác BM. Trên cạnh BC 
 lấy điểm D sao cho BD = BA.
 a) Chứng minh BM  AD.
 b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên AC,K là hình chiếu vuông góc của A 
 trên DM. Chứng minh ba đường thẳng AK, BM, DH đồng quy.
 8B. Cho tam giác ABC vuông tại B, kẻ đường phân giác AD. Trên cạnh AC 
 lấy điểm E sao cho AB = AE.
 a) Chứng minh DE  AC.
 b) Gọi F là hình chiêu vuông góc của C trên đường thẳng AD
 Chứng minh ba đường thẳng AB, ED, CF đồng quy.
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
9. Trong các câu sau, câu nào đúng?
 Cho MNP không vuông, H là trực tâm, khi đó:
 a) M là trực tâm của tam giác HNP;
 b) N là trực tâm của tam giác MPH;
 c) P là trực tâm của tam giác MHN;
 d) M là trực tâm của tam giác MNP.
 10. Cho tam giác MNO có ba góc nhọn. Gọi K, P lần lượt là các chân đường 
 cao kẻ từ M và N . Gọi S là giao điểm của MK và NP. a) Chứng minh OS  MN. b) Cho M· NO = 70 . Tính O· SK .
 11. Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ đường cao CD. Đường trung trực của 
 BC cắt CD tại M.
 a) Chứng minh BM  AC.
 b) Tính B· MD biết ·ABC = 70°.
 12. Cho tam giác ABC có AB = AC = 13 cm, BC = 10 cm. Tính độ dài đường 
 trung tuyến AM của tam giác ABC.
 13. Cho tam giác ABC có BC là cạnh lớn nhất. Gọi I là giao điểm các đường 
 phân giác của góc B và góc C. Trên cạnh BC lần lượt lấy các điểm D, E sao cho 
 CD = CA, BE = BA.
 a) Chứng minh BI  AE và CI  AD.
 b) Gọi M là giao điểm của BI và AD, N là giao điểm của CI và AE. Chứng minh 
 AI  MN.
 14. Cho tam giác AMN cân tại A. Đường trung trực d của AM cắt đường 
 thẳng MN tại P. Gọi D là hình chiếu vuông góc của M trên AP và E là trung 
 điểm của MN. Chứng minh ba đường thẳng d,MD, AE đồng quy.
 15*. Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là 
 trung điểm của HB, HA. Chứng minh AM vuông góc với CN.
 HƯỚNG DẪN
1A. Học sinh tự làm.
1B. Học sinh tự làm.
2A. Học sinh tự làm.
2B. Học sinh tự làm.
 Các trực tâm cùng nằm trên đường cao AH.
3A. Chú ý S là trực tâm MNP, từ đó
 MS  NP.
 b) Gọi H là giao điểm của MS với 
 NP. Chú ý MHN vuông, từ đó tính được S· MR 25
3B. a) Chú ý I là trực tâm ABC.
 b) Tính được ·AIE 50, D· IE 130
 4A. Chú ý AB  AC, từ đó DK  AC.
 Bởi vậy K là trực tâm ADC, suy ra
 AK  CD.
4B. Chú ý Q là trực tâm PNO.
5A. a) Gọi S là giao điểm của PQ và
 NR. Tính được S· PR S· RP 45 , 
 từ đó PQ  NR.
 b) Từ kết quả ý a, ta có Q là trực
 tâm PNR => RQ  NP.
5B. a) Chú ý F· EC F· CE 45 và BDF vuông cân.
 b) Dùng kết quả ý a, để có D là trực tâm EBC.
 Từ đó CD  BE.
6A. Chú ý AD cũng là đường cao 
 của ABC, từ
 đó H là trực tâm
 ABC suy ra CH  AB. 
6B. Tương tự 6A, chứng minh được K là trực tâm 
 của MNP
7A. Chú ý H là trực tâm ABC, từ đó AH
 vừa là đường cao vừa là đường phân giác. 7B. Tương tự 7A, chứng minh được AI là
 đường trung tuyến của ABC, từ đó 
 IE = IF.
8A. Chú ý tam giác ABD cân tại B nên 
 BM là đường phân giác cũng là đường
 Cao, từ đó BM  AD.
 b) Chú ý AK, BM, DH là ba đường cao
 của AMD.
8B. a) Chứng minh được
 ABD = AED(c.g.c)
 Từ đó ·AED = 90° => DE  AC.
 b) Chú ý AB, ED, CF
 là ba đường cao của ADC.
9. Học sinh tự làm. 
10. a) Tương tự 3A.
 b) OS cắt MN tại Q, chú ý ONQ vuông, từ đó O· SK = 70°. 
11. Tương tự 6A, chứng minh được M là trực tâm ABC.
 Tính được B· AC = 180° - 140° - 40° => ·ABM = 90° - 40° = 50°.
 Suy ra B· MD = 40°.
12. Chú ý AM là đường cao, từ đó dùng Định lý Pytago tính được 
 AM = 12 cm.
13. a) Tam giác ABE cân tại B có BI
 là phân giác nên cũng là đường cao,
 từ đó BI  AE.
 Tương tự CI  AD.
 b) Từ kết quả ý a, chứng minh được I là trực tâm. AMN, từ đó AI  MN
14. Ta có tam giác AMN cân tại A, do đó
 AE  MN.
 Từ đó d, MD, AE là ba đường cao của
 AMP, bởi vậy chúng đồng quy.
 Chú ý: Điểm P ở giữa M và N thì 
 chứng minh không thay đổi.
15. Dùng tính chất đường trung bình cho
 AHB ta có:
 MN // AB => MN  AC.
 Chứng minh được N là trực tâm
 AMC, từ đó dẫn đến AM  CN
..............................................................................................................................................................