Đề chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 (Có đáp án) - Năm học 2018-2019 - Phòng giáo dục và đào tạo huyện Hoằng Hóa

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN HOẰNG HÓA
ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2018-2019
MÔN: TOÁN 7
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1. (4,0 điểm)
Tính 
Tìm biết: 
Bài 2. (4,0 điểm)
Tìm biết: và 
Cho Với 
Chứng minh: 
Tính giá trị biểu thức
 với 
Bài 3. (4,0 điểm)
Tìm nguyên, biết 
Cho là các số nguyên tố lớn hơn 3 và thỏa mãn 
Chứng minh rằng: 
Bài 4. (6,0 điểm)
Cho có ba góc nhọn, , trung tuyến Trên nửa mặt phẳng bờ chứa điểm vẽ đoạn thẳng vuông góc với và Trên nửa mặt phẳng bờ chứa điểm B, vẽ đoạn thẳng vuông góc với và 
Chứng minh 
Trên tia đối của tia MA lấy sao cho Chứng minh 
và 
Gọi I là giao điểm của và Chứng minh :
Bài 5. (2,0 điểm)
Tìm các số hữu tỉ thỏa mãn đồng thời 
Tìm số tự nhiên nhỏ nhất để khi ghép nó vào bên phải số thì được một số tự nhiên chia hết cho 2018.
ĐÁP ÁN
Bài 1.
Bài 2.
Từ (1) và (2) suy ra 
Từ 
Từ (1) và (2) suy ra 
Ta có: 
Do đó: 
Vậy 
Bài 3.
Vì mà 
hoặc 
Vậy hoặc 
Vì q nguyên tố , nên q có dạng hoặc 
Nếu thì mà nên p là hợp số (loại)
Nếu 
Suy ra 
Bài 4.
Xét và có: và cùng phụ với 2 cạnh tương ứng)
Xét và có: đ đ)
(hai góc tương ứng)
Do đó: 
+Ta có: 
Xét và có: (cùng bằng AB), 
Theo tính chất góc ngoài, ta có: 
Mà nên 
Theo chứng minh trên ta có: 
Từ đó suy ra 
Hay 
Vì (hai góc tương ứng)
Xét vuông tại A
Xét vuông tại I, theo định lý pytago có: 
Xét vuông tại I , theo định lý Pytago ta có: 
Bài 5.
Nhân từng vế ba đẳng thức ta được 
Nếu thì kết hợp với đề bài ta được 
Nếu thì 
Kết hợp 
Kết hợp 
Kết hợp suy ra 
Với thì 
Với 
Vậy có 5 bộ thỏa mãn là 
Đặt là các chữ số, 
Số tự nhiên cần tìm có dạng 
Theo giả thiết, ta có: 
Xét các trường hợp:
Với ta được : không tìm được vì 
Với ta được không tìm được vì 
Với , ta được , không tìm được vì 
Với ta được 
Hay 
Vậy số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là