Đề chọn học sinh năng khiếu môn Toán 7 (Có đáp án) - Năm học 2015-2016 - Trường THCS Hiền Quan

TRƯỜNG THCS HIỀN QUAN
ĐỀ CHÍNH THỨC 
ĐỀ CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU
NĂM HỌC : 2015-2016
Môn thi: Toán 7
Câu 1. Tìm các số biết:
	b) 
	và 
Câu 2.
Tìm số dư khi chia cho 
Với là các số nguyên dương sao cho và chia hết cho 6.
Chứng minh rằng: chia hết cho 6
Tìm các số nguyên thỏa mãn 
Câu 3.
Cho tỉ lệ thức Chứng minh rằng ta có tỉ lệ thức 
Trên bảng có ghi các số tự nhiên từ đến người ta làm như sau: lấy ra hai số bất kỳ và thay vào bằng hiệu của chúng, cứ làm như vậy đến khi còn một số trên bảng thì dừng lại. Hỏi có thể làm để trên bảng chỉ còn lại số 1 được không ? Giải thích ?
Câu 4. Cho tam giác có ba góc nhọn, đường cao Vẽ về phía ngoài tam giác các tam giác và vuông cân tại Từ và kẻ đường vuông góc và với đường thẳng 
Chứng minh rằng: 
Gọi là giao điểm của với đường thẳng Tìm điều kiện của tam giác để 
Câu 5. 
Cho bốn số không âm thỏa mãn điều kiện Gọi là tổng các giá trị tuyệt đối của hiệu từng cặp số có được từ bốn số Hỏi có thể đạt được giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu
Cho tam giác nhọn có Chứng minh rằng 
ĐÁP ÁN
Câu 1.
b) . Điều kiện 
Câu 2.
Ta có: 
Vậy số dư khi chia cho là 2
Vì nguyên dương nên ta có 
Mà 
Khi đó ta có 
Vậy với là các số nguyên dương sao cho và chia hết cho 6 thì chia hết cho 6.
Từ mà nguyên
Mặt khác ta có 
Câu 3.
Ta có: 
Vậy nếu có tỉ lệ thức ta có tỉ lệ thức 
Gọi là tổng tất cả các số được ghi trên bảng
Ta có là một số chẵn. Khi lấy ra hai số và thay vào bằng hiệu của hai số thì tổng bớt đi là số chẵn.
Nên tổng mới phải là một số chẵn
Vậy trên bảng không thể còn lại số 1.
Câu 4.
Chứng minh 
Chứng minh 
Suy ra 
Chứng minh 
Mà và 
Vậy khi tam giác vuông tại A
Câu 5.
Giả sử 
Ta có: 
Mà 
Mặt khác 
Suy ra 
Dấu bằng xảy ra khi 
Vậy lớn nhất bằng khi trong bốn số có 1 số bằng 1 còn 3 số bằng 0
b) 
Kẻ 
Vì 
Áp dụng định lý Pytago ta có:
và 
Từ (1) và