Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 7 (Có đáp án) - Năm học 2017-2018 - Phòng giáo dục và đào tạo Tân An

Phòng GD & ĐT Tân An 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học 2017-2018 - Môn: Toán 7
-----***----
I. Phần trắc nghiệm khách quan: (6 điểm)
Câu 1: Giá trị của x trong biểu thức ( - 1 )2 = 0,25 là:
A. 	B. 	C. 	 D. 
Câu 2: Cho góc xOy = 500, điểm A nằm trên Oy. Qua A vẽ tia Am. Để Am song song với Ox thì số đo của góc OAm là:
A. 500	B. 1300	C. 500	và 1300	D. 800
Câu 3: Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi x > 1. Biết f(n) = (n - 1).f(n – 1) và f(1) = 1. Giá trị của f(4) là:
A. 3	B. 5	C. 6	D. 1
Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 6 , Â = 300. Phân giác góc C cắt AB tại D. Khi đó độ dài đoạn thẳng BD và AD lần lượt là: 
A.2; 4	B. 3; 3	C. 4; 2	D. 1; 5
Câu 5: Cho a2m = - 4. Kết quả của 2a6m - 5 là:
A. -123	B. -133	C. 123	D. -128
Câu 6: Cho tam giác DEF có E = F. Tia phân giác của góc D cắt EF tại I . Ta có:
A. ∆ DIE = ∆ DIF 	 B. DE = DF , IDE = IDF
 C. IE = IF; DI = EF 	 	D Cả A, B,C đều đúng
Câu 7: Biết a + b = 9. Kết quả của phép tính là:
A. 2	B. 1	C, 0,5	D. 1,5 
Câu 8: Cho (a - b)2 + 6a.b = 36. Giá trị lớn nhất của x = a.b là: 
A. 6	B. - 6	C. 7	D. 5
Câu 9: Cho tam giác ABC, hai đường trung tuyến BM, CN. Biết AC > AB. Khi đó độ dài hai đoạn thẳng BM và CN là:
A. BM ≤ CN	B. BM > CN 	C. BM < CN	D. BM = CN
Câu 10: Điểm thuộc đồ thị hàm số y = - 2x là : 
A. M ( - 1; -2 )	 B. N ( 1; 2 ) 	C. P ( 0 ; -2 ) 	 D. Q ( -1; 2 )
Câu 11: Biết rằng lãi suất hàng năm của tiền gửi tiết kiệm theo mức 5% năm là một hàm số theo số tiền gửi: i = 0,005p . Nếu tiền gửi là 175000 thì tiền lãi sẽ là:
A. 8850 đ	B. 8750 đ	C. 7850 đ	D.7750 đ 
Câu 12: Cho tam giác ABC cân tại A, Â = 20 0 . Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = BC. Số đo của góc BDC là:
A. 500	B. 700	C. 300	D. 800
II. Phần tự luận (14 điểm)
Câu 1.(3 điểm)
A, Chứng tỏ rằng: M = 75.(42017+ 42016+... + 42 +4 + 1) + 25 chia hết cho 102 
B, Cho tích a.b là số chính phương và (a,b) = 1. Chứng minh rằng a và b đều là số chính phương.
Câu 2.(4 điểm)
2.1 Cho đa thức A = 2x.(x - 3) – x(x -7)- 5(x - 403)
Tính giá trị của A khi x = 4. Tìm x để A = 2015
2.2 Học sinh khối 7 của một trường gồm 3 lớp tham gia trồng cây. Lớp 7A trồng toàn bộ 32,5% số cây. Biết số cây lớp 7B và 7C trồng được theo tỉ lệ 1,5 và 1,2. Hỏi số cây cả 3 lớp trồng được là bao nhiêu, biết số cây của lớp 7A trồng được ít hơn số cây của lớp 7B trồng được là 120 cây.
Câu 3.(5 điểm)
1. Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB vẽ hai tia Ax và By lần lượt vuông góc với AB tại A và B. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên tia Ax lấy điểm C và trên tia By lấy điểm D sao cho góc COD bằng 900. 
a) Chứng minh rằng: AC + BD = CD.
b) Chứng minh rằng: 
2. Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H. Chứng minh rằng: 
HA + HB + HC < 
Câu 4.(2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của A, biết :
A = |7x – 5y| + |2z – 3x| +|xy + yz + zx - 2000|
------- Hết -------
Lưu ý: Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay
Họ và tên học sinh:........................................................... SBD:.........
ĐÁP ÁN
I. Phần trắc nghiệm khách quan: (6 điểm)
Câu 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Đ. án
A
C
C
A
B
D
B
A
C
D
B
C
II. Phần tự luận (14 điểm)
Câu 
Nội dung chính
Điểm
1(4 điểm)
M = 75.(42017+ 42016+... + 42 +4 + 1) + 25
 = 25.(4- 1)(42017+ 42016+... + 42 +4 + 1) + 25
= 25.[4(42017+ 42016+... + 42 +4 + 1)- (42017+ 42016+... + 42 +4 + 1)] + 25
= 25.(42018+ 42017+... + 42 +4) - 25(42017+ 42016+... + 42 +4 + 1) + 25
= 25.42018 – 25 + 25
= 25.42018 =25.4.42017 = 100.42017 100
Vậy M 102
B, Đặt a.b = c2 (1)
Gọi (a,c) = d nên a d, c d
Hay a = m.d và c = n.d với (m,n) = 1
Thay vào (1) ta được m.d.b = n2 . d2 
=> m.b = n2. d => b n2 vì (a,b) = 1= (b,d)
Và n2 b => b = n2
Thay vào (1) ta có a = d2 => đpcm
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,5
2(4 điểm)
Ta có A = 2x2 – 6x – x2 + 7x – 5x + 2015 
 = x2 – 4x + 2015
A, Với x = 4 ta được A = 2015
B, A = 2015 => x2 – 4x = 0 => x(x - 4) = 0 ó 
Gọi số cây ba lớp trồng lần lượt là a, b, c ( cây, a,b,c N*)
Theo đề bài ta có b : c = 1,5: 1,2 và b – a = 120 
 a = 32,5%( a + b + c)
Vậy cả 3 lớp trồng được số cây là 2400 cây
3(5 điểm)
A, Vẽ tia CO cắt tia đối của tia By tại điểm E.
Chứng minh 
Chứng minh 
Mà .
Từ đó : (đpcm)
B, Áp dụng định lí Pytago vào các tam giác vuông BOE và BOD ta có:
Mà Nên 
Suy ra 
Mà . 
Vậy (đpcm)
2.
Qua H kẻ đường thẳng // với AB cắt AC tại D, kẻ đường thẳng // với AC cắt AB tại E
Ta có ΔAHD = ΔHAE (g –c-g)
AD = HE; AE = HD
Δ AHD có HA< HD + AD nên HA < AE + AD (1)
Từ đó HE BH
ΔHBE vuông nên HB < BE (2)
Tương tự ta có HC < DC (3)
Từ 1,2,3 HA + HB + HC < AB + AC (4)
Tương tự HA + HB + HC < AB + BC (5)
 HA + HB + HC < BC + AC (6)
Từ đó suy ra HA + HB + HC < đpcm
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
4(2 điểm)
Ta có |7x – 5y| 0; |2z – 3x| 0 và | xy + yz + zx - 2000| 0
Nên A = |7x – 5y| + |2z – 3x| +|xy + yz + zx - 2000| 0
Mà A = 0 khi và chỉ khi 
|7x – 5y| = |2z – 3x| = |xy + yz + zx - 2000| = 0
Có: |7x – 5y| = 0 ó 7x = 5y ó 
 |2z – 3x| = 0 ó 
|xy + yz + zx - 2000| = 0 ó xy + yz + zx = 2000 
Từ đó tìm được 
A 0, mà A = 0 ó (x,y,z) = (20;28;30) hoặc (x,y,z)= (-20;-28;-30)
Vậy MinA = 0 ó (x,y,z) = (20;28;30) hoặc (x,y,z)= (-20;-28;-30)
Lưu ý: HS làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa