Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 (Có đáp án) - Năm học 2015-2016 - UBND huyện Anh Sơn

UBND HUYỆN ANH SƠN GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN
ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn: Toán
Năm học: 2015-2016
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bµi 1 : Cho biÓu thøc A = .
	a. TÝnh gi¸ trÞ cña A t¹i x = vµ x = .
	b. T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A =5.
Bµi 2 : T×m tØ lÖ ba c¹nh cña mét tam gi¸c biÕt r»ng nÕu céng lÇn l­ît ®é dµi tõng hai ®­êng cao cña tam gi¸c ®ã th× tØ lÖ c¸c kÕt qu¶ lµ :5 : 7 : 8.
Bài 3: (1,5 điểm) Cho tỉ lệ thức . 
Chứng minh rằng : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d). 
Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A; K là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia KA lấy D , sao cho KD = KA.
a. Chứng minh: CD // AB.
b. Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N . 
Chứng minh rằng: rABH = rCDH.
c. Chứng minh: HMN cân.
Câu 5. (1,0 điểm) 
a. Cho ba số dương 0abc1 chứng minh rằng: 
 b. Cho a, b, c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c. Chøng minh r»ng:
2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2.
Câu 6. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P = . Khi ®ã x nhËn gi¸ trÞ nguyªn nµo?
ĐÁP ÁN
Bài 1: Thực hiện phép tính (6 điểm).
Giải:
a. 
0,75đ
= 
0,75đ
b. 
1,0đ
=
1,0đ
c. 
=
01đ
01đ
=
0,5đ
Bài 2: (6 điểm)
Giải:
a. Tìm x, biết: 2(x-1) – 3(2x+2) – 4(2x+3) = 16.
2x – 2 – 6x – 6 – 8x – 12 = 16
0,25đ
-12x – 20 = 16
0,25đ
-12x = 16 + 20 = 36
0,50đ
x = 36 : (-12) = -3
0,50đ
b. Tìm x, biết: 3 = 
Nếu . Ta có: (vì nếu x = ½ thì 2x – 1 = 0)
0,25đ
3 = 
: (2x – 1) = 
0,25đ
2x – 1 =: = 
0,25đ
2x = + 1 = 
0,25đ
x = : 2 = > 
0,25đ
Nếu . Ta có: 
0,25đ
3 = 
: (1 - 2x) = 
0,25đ
-2x = - 1 = 
0,25đ
x = : (-2) = 
0,25đ
Vậy x = hoặc x = 
0,25đ
c. Tìm x, y, z biết : và x + z = 2y
Từ x + z = 2y ta có:
x – 2y + z = 0 hay 2x – 4y + 2z = 0 hay 2x – y – 3y + 2z = 0
0,25đ
hay 2x – y = 3y – 2z
0,25đ
Vậy nếu: thì: 2x – y = 3y – 2z = 0 (vì 5 ¹ 15).
0,25đ
Từ 2x – y = 0 suy ra: x = 
0,25đ
Từ 3y – 2z = 0 và x + z = 2y. Þ x + z + y – 2z = 0 hay + y – z = 0
0,25đ
hay - z = 0 hay y = z. suy ra: x = z.
0,25đ
Vậy các giá trị x, y, z cần tìm là: {x = z; y = z ; với z Î R }
hoặc {x = y; y Î R; z = y} hoặc {x Î R; y = 2x; z = 3x}
0,5đ
Bài 3: (1,5 điểm) Cho tỉ lệ thức .
Chứng minh rằng : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d) 
Ta có:
(a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d)
ab + ad + 2cb + 2cd = ab + 2ad + cb + 2cd
0,75đ
cb = ad suy ra: 
0,75đ
Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A; K là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia KA lấy D , sao cho KD = KA.
a. Chứng minh: CD // AB.
b. Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N . 
Chứng minh rằng: rABH = rCDH.
c. Chứng minh: HMN cân.
Giải:
a/ Chứng minh CD song song với AB.
Xét 2 tam giác: DABK và DDCK có:
0,25đ
BK = CK (gt)
 (đối đỉnh)
0,25đ
AK = DK (gt)
0,25đ
Þ DABK = DDCK (c-g-c)
0,25đ
Þ ; mà Þ
0,25đ
Þ Þ AB // CD (AB ^ AC và CD ^ AC).
0,25đ
b. Chứng minh rằng: rABH = rCDH
Xét 2 tam giác vuông: rABH và rCDH có:
0,25đ
BA = CD (do DABK = DDCK)
AH = CH (gt)
0,25đ
Þ rABH = rCDH (c-g-c)
0,50đ
c. Chứng minh: HMN cân.
Xét 2 tam giác vuông: rABC và rCDA có:
0,25đ
AB = CD; ; AC cạnh chung: Þ rABC = rCDA (c-g-c)
Þ 
0,25đ
mà: AH = CH (gt) và (vì DABH = DCDH)
0,50đ
Þ DAMH = DCNH (g-c-g)
0,50đ
Þ MH = NH. Vậy DHMN cân tại H
0,50đ
Bài 5: (2 điểm): Chứng minh rằng số có dạng luôn chia hết cho 11.
Giải:
Ta có:
 = a.105 + b.104 + c.103 + a.102 + b.10 + c
0,25đ
= a.102(103 + 1) + b.10(103 + 1) + c(103 + 1)
0,50đ
= (103 + 1)( a.102 + b.10 + c)
0,50đ
= (1000 + 1)( a.102 + b.10 + c) = 1001( a.102 + b.10 + c)
0,25đ
= 11.91( a.102 + b.10 + c) 11
0,25đ
Vậy 11
0,25đ
Hết