Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán 7 (Có đáp án) - Năm học 2018-2019

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018-2019
MÔN TOÁN 7
Bài 1. (4,0 điểm)
Cho biểu thức :. Chứng minh rằng: 
Bài 2. (5,0 điểm)
Câu 1: Tìm biết: và 
Câu 2: Cho tỉ lệ thức: với và 
Chứng minh rằng: hoặc 
Bài 3. (3,0 điểm)
Câu 1: Chứng minh rằng với mọi nguyên dương ta luôn có:
	chia hết cho 
Câu 2: Cho . Tìm các số nguyên để có giá trị nguyên ?
Bài 4. (3,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
Bài 5. (5,0 điểm) Cho nhọn. Trên nửa mặt phẳng bờ không chứa điểm C dựng đoạn thẳng vuông góc với và Trên nửa mặt phẳng bờ không chứa điểm dựng đoạn thẳng vuông góc với và 
Chứng minh rằng:
Gọi là trung điểm của tia cắt tại H. Chứng minh 
Nếu hãy tính độ dài đoạn theo 
ĐÁP ÁN
Bài 1.
Biến đổi : 
Ta có:
Đặt 
Ta có: 
Khi đó: 
Nên ta có:
Ta có: nên . Vậy 
Bài 2.
Ta có: 
Vì 
Vì 
Từ (1) và (2) suy ra 
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
Vậy 
Ta có: nên 
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
Suy ra hoặc: 
+Với thì 
+Với thì 
Vậy nếu hoặc 
Bài 3.
Với mọi nguyên dương, ta có:
Mà chia hết cho 300 (với mọi n nguyên dương)
Nên chia hết cho 300.
Điều kiện: 
Biến đổi: 
Ta có: nên có giá trị nguyên khi và chỉ khi 
Mà 
Vậy Q nguyên khi và chỉ khi 
Bài 4. Ta có:
Ta có: 
Do đó: 
Nên 
Hay 
Dấu xảy ra khi và chỉ khi : và 
Với 
Đặt 
Thay vào (1) ta được: 
Với 	; với 
Vậy giá trị lớn nhất của là 
Bài 5.
Ta có: (vì tia nằm giữa hai tia 
Mà (Vì tại A) nên 
Ta có: (vì tia nằm giữa hai tia 
Mà (Vì tại A) nên 
Từ (1) và (2) suy ra 
Xét và có: 
Do đó (hai cạnh tương ứng)
Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho M là trung điểm AN
Từ D kẻ vuông góc với tại F
Xét và có: vẽ thêm); 
Suy ra và 
Mà và ở vị trí so le trong nên trong cùng phía) (3)
Ta lại có : 
Hay 
Từ (3) và (4) 
Ta có: nên 
Xét và có: 
 hay 
Ta có: thẳng hàng)
Hay (5)
Trong vuông tại F có hai góc phụ nhau) (6)
Từ (5), (6) 
Ta có: (vì tia nằm giữa hia tia DA, DN)
(vì tia nằm giữa hai tia 
Mà nên 
Xét và có: 
mà (vì tại F)
Nên tại H (
tại H nên vuông tại H
Đặt (vì H nằm giữa B và C)
Áp dụng định lý Pytago cho 2 tam giác vuông ta có:
và 
Từ đó tìm được: