Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 7 - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018-2019
MÔN TOÁN – LỚP 7
Bài 1. (4,0 điểm)
	Cho biểu thức : 
	Chứng minh rằng: 	
Bài 2. (5,0 điểm)
Câu 1. Tìm biết: và 
Câu 2. Cho tỉ lệ thức với 
Chứng minh rằng: hoặc 
Bài 3. (3,0 điểm)
Câu 1. Chứng minh rằng với mọi nguyên dương ta luôn có:
	chia hết cho 300
Câu 2. Cho Tìm các số nguyên để có giá trị nguyên ?
Bài 4. (3,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Bài 5. (5,0 điểm)
Cho nhọn. Trên nửa mặt phẳng bờ không chứa điểm C dựng đường thẳng vuông góc với và Trên nửa mặt phẳng bờ không chứa điểm B dựng đoạn thẳng vuông góc với và 
Chứng minh rằng : 
Gọi M là trung điểm của tia cắt BC tại H. Chứng minh 
Nếu . Hãy tính độ dài đoạn thẳng theo 
ĐÁP ÁN
Bài 1.
Biến đổi : 
Ta có:
Đặt 
Ta có: 
Khi đó : 
Suy ra 
Nên ta có: 
Ta có: nên Vậy 
Bài 2.
Câu 1.
Ta có: nên 
Vì nên 
Vì 
Từ (1) và (2) suy ra 
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
Vậy 
Câu 2.
Ta có: nên 
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
Suy ra hoặc 
+Với thì 
Với thì 
Vậy nếu với thì hoặc 
Bài 3.
Câu 1,
Với mọi nguyên dương, ta có:
(với mọi nguyên dương)
Nên chia hết cho 300 (với n nguyên dương)
Câu 2. Điều kiện : 
Biến đổi : 
Ta có: 2nên Q có giá trị nguyên khi và chỉ khi có giá trị nguyên
Mà có giá trị nguyên khi và chỉ khi 
Nếu 
Nếu 
Nếu 
Nếu 
Vậy có giá trị nguyên khi và chỉ khi 
Bài 4.
Ta có: 
Ta có: với mọi giá trị của 
với mọi giá trị của 
Do đó với mọi giá trị của 
Nên với mọi giá trị của 
Hay với mọi giá trị của 
Dấu xảy ra khi và chỉ khi và 
+Với thì 
Đặt , khi đó , thay vào (1) ta được:
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức 
Bài 5.
Chứng minh : 
Ta có: (vì tia nằm giữa 2 tia và 
Mà Vì tại A) nên 
Ta có: Vì tia nằm giữa hai tia AB và AE)
Mà (Vì tại 
Từ (1) và (2) suy ra 
Xét và có: 
Do đó (hai cạnh tương ứng)
Trên tia đối của tia MA lấy điểm sao cho M là trung điểm của 
Từ D kẻ vuông góc với MA tại F
Xét và có: 
là trung điểm AN); (M trung điểm DE)
Do đó: (hai cạnh tương ứng); 
Và (hai góc tương ứng)
Mà và ở vị trí so le trong của hai đường thẳng và DN
Nên (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)
Suy ra (vì hai góc trong cùng phía) (3)
Ta lại có: 
Hay (vì 
Từ (3) và (4) suy ra 
Ta có: và 
Xét và có: 
Do đó 
Suy ra (hai góc tương ứng) hay 
Ta có: thẳng hàng)
Hay (vì 
Trong vuông tại F có: (hai góc phụ nhau) (6)
Từ (5) và (6) 
Ta có: (vì tia nằm giữa 2 tia 
Vì tia AH nằm giữa 2 tia AB và AC)
Mà và 
Xét và có: 
Do đó: 
Suy ra (hai góc tương ứng)
Mà (vì tại F) nên 
Suy ra tại H (đpcm)
tại H (cmt)vuông tại H, vuông tại H
Đặt (Vì H nằm giữa B và C)
Áp dụng định lý Pytaago cho 2 tam giác vuông và ta có:
và 
Từ đó tìm được