Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2020-2021 - Trường THCS Diễn Trường

PHÒNG GD&ĐT DIỄN CHÂU
 TRƯỜNG THCS DIỄN TRƯỜNG
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2020 – 2021 
Môn Toán – Lớp 7 - (Thời gian làm bài: 120 phút)
---------------------------
Câu 1. (4,0 điểm)
 1) Tính: .
	2) Cho n là số tự nhiên có hai chữ số. Tìm n biết n + 4 và 2n đều là các số chính phương.
Câu 2. (5,0 điểm)
 1) Tìm biết .
 2) Ba bạn An, Bình và Cường có tổng số viên bi là 444. Biết rằng số viên bi của An và Bình tỉ lệ với 5 và 6; số viên bi của Bình và Cường tỉ lệ với 4 và 5. Tính số viên bi của mỗi bạn.
Câu 3. (4,0 điểm)
 1) Cho x, y, z 0 và x – y – z = 0. Tính giá trị biểu thức 
 2) Cho ba số không âm a, b, c thỏa mãn: a + 3c = 2020, a + 2b = 2021.
 	Tìm giá trị lớn nhất của P = a + b +c
Câu 4. (6,0 điểm) 
 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA. Trên tia đối của tia CD lấy I sao cho CI = CA
a) Chứng minh rằng: CD = AB
b) Tính 
c) Qua I kẻ đường thẳng vuông góc CD cắt đường thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC.
Câu 5. (1,0 điểm)
 Tìm tất cả các số tự nhiên a, b sao cho : 2a + 7 = + b - 2021.
----- Hết-----
ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2020 – 2021 
Môn: Toán – Lớp: 7
Câu
Phương pháp-Kết quả
Điểm
Câu 1
( 4 điểm)
1
=
1.0
1.0
2
Vì là số có hai chữ số nên 
0.5
Mặt khác là số chính phương chẵn nên có thể nhận các giá trị: 36; 64; 100; 144; 196.
0.5
Với không là số chính phương
 là số chính phương
 không là số chính phương
 không là số chính phương
 không là số chính phương
0.5
Vậy số cần tìm là .
0.5
Câu 2
(5 điểm)
1
1.0
Giải ra được x = - 1 hoặc x = 0,5 
Thiếu 1 giá trị của x trừ 0,5 điểm 
1.0
2
+ Gọi số viên bi của An, Bình, Cường lần lượt là . Vì tổng số viên bi của ba bạn là 444 nên 
0.5 
+ Vì số viên bi của An và Bình tỉ lệ với 5 và 6 nên 
0.5 
+ Vì số viên bi của Bình và Cường tỉ lệ với 4 và 5 nên 
0.5
+ Từ đó ta có 
0.5
+ Suy ra 
Vậy số viên bi của An, Bình, Cường lần lượt là120; 144 và 180 viên bi
0.5
Câu 3
(4 điểm)
1
Ta có: 	
0.5
Vì x – y – z = 0 nên x – z = y; y – x = – z và y + z = x 
0.5
Suy ra: B = 
1.0
2
 Ta có: a = 2020 – 3c
0.5
a + 3c = 2020, a + 2b = 2021 2b – 3c = 1
0.75
Vì a, b, c không âm nên P = 
0.5 
Giá trị lớn nhất của P là khi c = 0; a = 2020, b =
0.25đ\
Câu 4
(6 điểm)
0,5
a) Chứng minh được 
Suy ra : CD = AB (2 cạnh tương ứng)
1.0
0.5
b) (2 góc tương ứng)
 CD//AB mà AB AC nên CIAC mà CI = CA
 ACI vuông cân
0,5
0.5
0.5
0.5
c) Kẻ AF vuông góc với EI
0.5
Chứng minh được AF = CI (tính chất đoạn chắn)
0.5
Chứng minh 
0.75
AE = BC (2 cạnh tương ứng)
0.25
Câu 5
(1 điểm)
Nhận xét: 
Với x ≥ 0 thì + x = 2x
Với x < 0 thì + x = 0. Do đó + x là số chẵn với " xÎZ.
Áp dụng ta có + b – 2021 là số chẵn với b Î Z.
Suy ra 2a + 7 là số chẵn Þ 2a lẻ Û a = 0 . 
Khi đó + b – 2021 = 8
+ Nếu b < 2021, ta có - (b – 2021) + b – 2021 = 8 Û 0b = 8 (loại)
+ Nếu b ≥ 2021 , 
Ta có 2(b – 2021) = 8 Û b – 2021 = 4 Û b = 2025 (thỏa mãn)
vậy (a; b) = (0; 2025)
0.25
0.25
0.25
0.25