Đề thi Olympic môn Toán Lớp 7 (Có đáp án) - Năm học 2013-2014 - Trường THCS Tam Hưng

THCS Tam Hưng
ĐỀ THI OLYMPIC
MÔN TOÁN LỚP 7
Năm học 2013-2014
Bài 1 (3 điểm)
Bài 2. (4 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn
Bài 3 (4 điểm)
Cho là 4 số khác 0 và thỏa mãn các điều kiện sau:
 và 
Chứng minh: 
Cho 
Chứng minh 
Bài 4 (4 điểm)
Cho đa thức 
Tính giá trị của đa thức tại 
Cho đa thức 
Chứng tỏ rằng: nếu 
Bài 5 (5 điểm)
Cho tam giác ABC, vẽ đường cao AH. Vẽ ra phía ngoài của tam giác ABC các tam giác vuông cân 
Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt đường thẳng AH tại K. Chứng minh CD vuông góc với BK
Chứng minh ba đường thẳng đồng quy
Cho hai điểm B và C nằm trên đoạn thẳng AD sao cho AB = CD. Lấy điểm M tùy ý trong mặt phẳng . Chứng minh rằng 
ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI 7 TAM HƯNG 2013-2014
Bài 1.
Chỉ rõ được , chỉ rõ từng trường hợp và kết luận đúng
Lý luận để có 
Xét đủng 2 trường hợp
Trường hợp có 1 số âm tính được 
Trường hợp có 3 số âm tính được 
Bài 2.a) Ta có
Lý luận tìm được 
b) Biến đổi được 
Xác định được tích 2 số nguyên bằng 4 có 6 trường hợp
Kết luận được 
Bài 3
Từ giả thiết suy ra 
Lập phương các tỉ số trên và áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để có 
Mặt khác ta có: 
Suy ra điều phải chứng minh
Cộng vế theo vế suy được điều cần chứng minh
Bài 4
a)
Thay x=1999 ta được
Tính được kết quả và kết luận 
b) Tính và 
Bài 5
a)
1) Vẽ hình và chứng minh đúng đến hết 
2) Chỉ ra được là ba đường cao của 
b) 
Xét 2 trường hợp
*Trường hợp điểm thì ta có: 
*Trường hợp , Gọi I là trung điểm của BC
Trên tia đối của tia IM lấy điểm N sao cho và ta có 
Vì 
*Chứng minh được 
- Điểm C nằm trong chứng minh được 
- Chứng minh suy ra