Giáo án bồi dưỡng môn Toán Lớp 7 - Năm học 2019-2020 - Nguyễn Văn Hy

PHßNG GI¸O DôC §µO T¹O §AK §OA 
TRÖÔØNG THCS ANH HÙNG NÚP
 Giaùo vieân: Nguyeãn Vaên Hy
 Boä moân: Toaùn
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP 7
Học kì I: 2 tiết x 12 tuần = 24 tiết
Học kì II: 2 tiết x 12 tuần = 24 tiết
Tuần
Tiết
Tên bài dạy
Ghi chú
HỌC KÌ I
5
1
Các bài toán về lũy thừa 
2
Các bài toán về lũy thừa (tt)
6
3
Các bài toán về lũy thừa (tt)
4
Các bài toán về lũy thừa (tt)
7
5
Tính giá trị của biểu thức 
6
Tính giá trị của biểu thức (tt)
8
7
Tính giá trị của biểu thức (tt)
8
Tính giá trị của biểu thức (tt)
9
9
Các bài toán về giá trị tuyệt đối
10
Các bài toán về giá trị tuyệt đối (tt)
10
11
Các bài toán về giá trị tuyệt đối (tt)
12
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
11
13
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (tt)
14
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (tt)
12
15
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (tt)
16
Tìm chữ số tận cùng
13
17
Tìm chữ số tận cùng (tt)
18
Tìm chữ số tận cùng (tt)
14
19
Tìm chữ số tận cùng (tt)
20
Bài toán về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau 
15
21
Bài toán về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau (tt)
22
Bài toán về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau (tt)
16
23
Bài toán về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau (tt)
24
Bài toán về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau (tt)
HỌC KÌ II
20
25
Tính tổng của dãy số
26
Tính tổng của dãy số (tt)
21
27
Tính tổng của dãy số (tt)
28
Tính tổng của dãy số (tt)
22
29
Các bài toán về tam giác bằng nhau
30
Các bài toán về tam giác bằng nhau (tt)
23
31
Các bài toán về tam giác bằng nhau (tt)
32
Các bài toán về tam giác bằng nhau (tt)
24
33
Tam giác đặc biệt
34
Tam giác đặc biệt (tt)
25
35
Tam giác đặc biệt (tt)
36
Tam giác đặc biệt (tt)
26
37
Các đường đồng quy trong tam giác 
38
Các đường đồng quy trong tam giác (tt)
27
39
Các đường đồng quy trong tam giác (tt)
40
Các đường đồng quy trong tam giác (tt)
28
41
Các đường đồng quy trong tam giác (tt)
42
Các đường đồng quy trong tam giác (tt)
29
43
Các bài toán về đa thức
44
Các bài toán về đa thức (tt)
30
45
Các bài toán về đa thức (tt)
46
Các bài toán về đa thức (tt)
Chủ đề 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ LŨY THỪA (4 tiết)
I. MỤC TIÊU:
- Ôn lại các kiến thức cơ bản về luỹ thừa với số mũ tự nhiên như: Lũy thừa bậc n của số a, nhân, chia hai luỹ thừa cùng có số, .. .
- Rèn luyện tính chính xác khi vận dụng các quy tắc nhân, chia hai luỹ thừa cùng cơ số
- Tính bình phương, lập phương của một số. Giới thiệu về ghi số cho máy tính (hệ nhị phân).
- Biết thứ tự thực hiện các phép tính, ước lượng kết quả phép tính.
II. KIẾN THỨC:
* Luỹ thừa với số mũ tự nhiên: a(n thừa số a )
 Qui ước: a
* Các phép tính luỹ thừa:
 - Nhân, chia 2 luỹ thưa cùng cơ số: 
 - Luỹ thừa của một1 tích, lũy thừa của một thương: 
(a.b) 	(a : b )
 - Luỹ thừa của luỹ thừa: (a
 - Luỹ thừa tầng : a
Kiến thức bổ sung
 * Với mọi x, y, z Î Q: x x + z < y + z Û
 * Với x Î Q, n Î N: (-x)2n = x2n ; (-x)2n+1 = - x2n+1
 * Với a, b Î Q; a > b > 0 => an > bn
 a > b a2n +1 > b2n + 1
 a > 1 , m > n > 0 => am > an	
 0 n > 0 => am > an	
III. NỘI DUNG TỪNG TIẾT
Ngày soạn:
23/9/2019
Ngày dạy:
28/9/2019
Tuần : 5
Tiết 1
Các bài toán về lũy thừa
Bài 1: Viết các số sau dưới dạng lũy thừa:
 a) 10 ; 100 ; 1000; 10000; 100..0; (n số 0 );
b) 5 ; 25; 625; 3125;
c) 5.125.625 ; 10.100.1000 ; 84.165.32; 274.8110 ;
Đáp số: a) 10 = 101 ; 100 = 102 ; 1000 = 103; 10000 = 103; 100..0; (n số 0 ) = 10n;
 b) 5 = 51; 25 = 52; 625 = 54; 3125 = 55;
 c) 5.125.625 = 58 ; 10.100.1000 = 106; 84.165.32 = 237; 274.8110 = 352;
Bài 2: So sánh các số sau?
a) 2711 và 818. b) 6255 và 1257	c) 536 và 1124 d) 32n và 23n (n Î N* ) 
Hướng dẫn:
a) Đưa về cùng cơ số 3.	b) Đưa về cùng cơ số 5.
c) Đưa về cùng số mũ 12.	d) Đưa về cùng số mũ n
Bài 3: So sánh các số sau:
 a) 3200 với 2300 ; 	b) 1255 với 257 ; 	c) 920 với 2713 
 d) 354 với 281;	e) 1030 với 2100 ; 	f) 540 với 62010 ;
Đáp số: a) 3200 = (32)100 = 9100; 2300 = (23)100 = 8100 ; Vậy 3200 < 2300 
b) 1255 = (53)5 = 515; 257 = (52)7 = 514; Vậy 1255 < 257
c) 920 = (32)20 = 360; với 2713 = (33)13 = 339; Vậy 920 < 2713 
d) 354 > 281;	e) 1030 i 62010
Ngày soạn:
23/9/2019
Ngày dạy:
28/9/2019
Tuần : 5
Tiết 2
Các bài toán về lũy thừa (tt)
Bài 4: So sánh các số sau?
a) 523 và 6.522 	b) 7.213 và 216	c) 2115 và 275.498	
d) 19920 và 200315	e) 339 và 1121
Hướng dẫn:
	a) Đưa hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau 522.
	b) Đưa hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau là 213.
	c) Đưa hai số về dạng một tích 2 luỹ thừa cơ số là 7 và 3.
	d) 19920 < 20020 = (23 .52)20 = 260. 540.
	200315 > 200015 = (2.103)15 = (24. 53)15 = 260.545 
	e) 339 < 340 = (32)20 = 920 < 1121.
Bài 5: a, So sánh 2 hiệu? 72 45 – 7244 và 72 44 – 7243.
Hướng dẫn: 7245 – 7244 = 7245(72 – 1) = 7245.71. 7244 – 7244 = 7244(72 – 1) = 7244.71.
 b, Cho S = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 29. Hãy so sánh S với 5.28.
Hướng dẫn: 2S = 2 + 22 + 23 + 24 + ...+ 210. 2S – S = 210 – 1 (210 = 22.28 = 4.28 < 5.28).
Bài 6: Tìm xbiết: a, 16x < 1284.	 b, 5x.5x+1.5x+2 100...0:218.
 Hướng dẫn:
 a/ Có 16x = (24)x = 2 4x, 1284 = (27)4 = 228.
 Do 16x < 1284 nên 2 4x < 228 suy ra: 4x < 28 Suy ra x < 7.
 Vì xN và x < 7. Vậy x 
 b/ Có 5x. 5x + 1 . 5x + 2 100 0 : 218
 18 chữ số 0
 Suy ra 5 3x + 3 10 18 : 2 18 
 5 3x + 3 518 
 3x + 3 18 
 x 5. 
Vì xN và x 5 vậy x 	
Ngày soạn:
30/9/2019
Ngày dạy:
05/10/2019
Tuần : 6
Tiết 3
Các bài toán về lũy thừa (tt)
Bài 7: So sánh a) 3131 và 1739. b) và 
 c/ 27 11 và 818 d/ 6255 và 1257
Hướng dẫn: a) 3131 1639 = 2156.
 b) So sánh 221 với 535
c/ Có 2711 = (33)11 = 333; 818 = (34)8 = 332. Do 333 > 3 32 nên 27 11 > 818.
d/ Có 625 5 = (54)5 = 520 ; 1257 = (53)7 = 521. Do 521 > 520 nên 1257 > 6255.
e/ 7300 và 3500
 3500 = (35)100 = 243100 ; 
 7300 = (73)100 = 343100 . Vì 343100 > 243100 . Vậy 7300 > 3500
Bài 8: So sánh: a) 7.213 và 216 	b/ 19920 và 200315. 	 c/ 32n và 23n (n N*)
Bài 9: So sánh hai biểu thức: 
Hướng dẫn: 
Vậy B = C
Ngày soạn:
30/9/2019
Ngày dạy:
05/10/2019
Tuần : 6
Tiết 4
Các bài toán về lũy thừa (tt)
Bài 10: Cho A = 3 + 32 + 33 + .+3100. Tìm số tự nhiên n, biết 2A + 3 = 3n.
Bài 11: Cho S = 1 + 2 + 22 + 23 + . + 29. Hãy so sánh S với 5. 28.
Có: S = 1 + 2 + 22 + 23 + . + 29
 Suy ra: 2. S = 2 + 22 + 23 + 24 + . + 210.
 2S – S = 210 – 1. Hay S = 210 – 1 < 210 
 Mà 210 = 22. 28 < 5. 28. Do đó: S < 210 < 5.28.
 Vậy S < 5. 28.
Bài 12:Có A = 3 + 32 + 33 + .+3100. 
 3A = 32 + 33 + 34 + .+3101. 
 Suy ra: 3A – A = 3101 – 3
 Hay: 2A = 3101 – 3 => 2A + 3 = 3101 , mà theo đề bài ta có: 2A + 3 = 3n.
 Suy ra: 3101 = 3n => n = 101.
Bài 13: Rút gọn
Hướng dẫn: Tính 5A, 2B, 2C, 3D, 3E
CHỦ ĐỀ 2: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
I. MỤC TIÊU:
- Kiến thức: Ôn tập các phép tính cộng, trừ, nhân, chia các phân số. Ôn tập về phép cộng, trừ hai phân số cùng mẫu, không cùng mẫu. Biết áp dụng các tính chất của phép cộng, trừ phân số vào việc giải bài tập. HS biết thực hiện phép nhân và phép chia phân số. Nắm được tính chất của phép nhân và phép chia phân số. áp dụng vào việc giải bài tập cụ thể. Ôn tập về số nghịch đảo, rút gọn phân số
- Kĩ năng: Cộng, trừ, nhân, chia 2 số hữu tỉ, so sánh 2 số hữu tỉ.
- Thái độ: Nghiêm túc, tính cẩn thận, linh hoạt và sáng tạo.
II. Câu hỏi ôn tập lý thuyết
Câu 1: Nêu quy tắc cộng hai phân số cùng mẫu. Áp dụng tính 
Câu 2: Muốn cộng hai phân số không cùng mẫu ta thực hiện thế nào?
Câu 3 Phép cộng hai phân số có những tính chất cơ bản nào?
Câu 4: Thế nào là hai số đối nhau? Cho VD hai số đối nhau.
Câu 5: Muốn thực hiện phép trừ phân số ta thực hiện thế nào?
Câu 6: Nêu quy tắc thực hiện phép nhân phân số? Cho VD
Câu 7: Phép nhân phân số có những tính chất cơ bản nào?
Câu 8: Hai số như thế nào gọi là hai số nghịch đảo của nhau? Cho VD.
Câu 9. Muốn chia hai phân số ta thực hiện như thế nào?
Phân số có qui luật : ;	
III. NỘI DUNG TỪNG TIẾT
Ngày soạn:
7/10/2019
Ngày dạy:
12/10/2019
Tuần : 7
Tiết 5
Tính giá trị của biểu thức
Bài tập 1. Tính bằng phương pháp hợp lý.
 a) - ( + )	 b) ( + + ) - ( - ) c) - ( - - )
 d) C = + + + ... + e) D = + + + ...+ 
HD: 
- câu a, b, c áp dụng quy tắc bỏ dấu ngoặc, nhóm các hạng tử có cùng mẫu và thực hiện tính
- Câu c, d: Viết phân số dưới dạng hiệu của hai phân số rồi tính
Bài tập 2. Tính các tổng sau bằng phương pháp hợp lý nhất.
 A = + + + + ... + 
 B = + + + ... + 
 Bài tập 3. Xét biểu thức A = . + . 
 a) Rút gọn A.
 b) Tìm các số nguyên x để A có giá trị là các số nguyên.
Bài tập 4. Tính giá trị của biểu thức.
a) 	 b) 	
HD: Áp dụng tính chất phân phối giữa phép nhân với phép cộng/trừ.
Ngày soạn:
7/10/2019
Ngày dạy:
12/10/2019
Tuần : 7
Tiết 6
Tính giá trị của biểu thức (tt)
Bài tập 5: Cho 
	a)Chứng minh: M < N b) Tìm tích M.N c) Chứng minh: 
	 Giải: Nhận xét M và N đều có 45 thừa số
	a)Và	 nên M < N
	b) Tích M.N
	c)Vì M.N mà M < N nên ta suy ra được : M.M <<
	tức là M.M < . M < 
Bài tập 6: Cho tổng : .Chứng minh: 
Giải: Tổng S có 30 số hạng , cứ nhóm 10 số hạng làm thành một nhóm .Giữ nguyên tử , nếu thay mẫu bằng một mẫu khác lớn hơn thì giá trị của phân số sẽ giảm đi. Ngược lại , nếu thay mẫu bằng một mẫu khác nhỏ hơn thì giá trị của phân số sẽ tăng lên.
	 Ta có : 
	hay từc là: Vậy (1)
	 Mặt khác: 
	 tức là : Vậy (2).
	 Từ (1) và (2) suy ra :đpcm.
Bài tập 7: Tính tổng 
a, S = 	b, S = 
c, A = 	d, M = 
HD: vận dụng tính chất của phân số có quy luật để phân tích.
Ngày soạn:
14/10/2019
Ngày dạy:
19/10/2019
Tuần : 8
Tiết 7
Tính giá trị của biểu thức (tt)
Bài tập 8: Cho tổng : .Chứng minh: 
Giải: Tổng S có 30 số hạng , cứ nhóm 10 số hạng làm thành một nhóm. Giữ nguyên tử, nếu thay mẫu bằng một mẫu khác lớn hơn thì giá trị của phân số sẽ giảm. Ngược lại, nếu thay mẫu bằng một mẫu khác nhỏ hơn thì giá trị của phân số sẽ tăng lên
 Ta có : 
	hay từc là: Vậy (1)
	 Mặt khác: 
	 tức là : Vậy (2).
	 Từ (1) và (2) suy ra :đpcm.
 Bài tập 9: tính tổng :
 S = 
Ta có : , , 
Do đó : 
S = 
Dạng tổng quát 
 Sn = ( n > 1 ) 
 = 1- 
Ví dụ 3 : tính tổng 
 a, Sn = 
Ta có Sn = 
 Sn = 
 Sn = 
b, Sn = 	 c, Sn = 
Ngày soạn:
14/10/2019
Ngày dạy:
14/10/2019
Tuần : 8
Tiết 8
Tính giá trị của biểu thức (tt)
Bài tập 10: Chứng tỏ rằng: 
Đặt H = 
Vậy H +1 = 
H + 1 >
Bài tập 11
a) Tính giá trị của biểu thức:
 ; B = 
a) * A = = 
* B = 
Mà TS = 
 = = 
 = 
MS = 13 - 
Nên B = 
Bài tập 12: Thực hiện phép tính:
a) ; b) 
a) Xét 1 thừa số của tử số: 6,3.12 - 21.3,6 = 75,6-75,6 = 0
nên giá trị của biểu thức bằng 0.
CHỦ ĐỀ 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
I. MỤC TIÊU:
 - Kiến thức: Cũng cố cho HS nắm vững các kiến thức cơ bản về giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ; cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ.
- Kĩ năng: Vận dụng các kiến thức cơ bản đó vào giải BT cụ thể.
- Thái độ; Nghiêm túc, tính cẩn thận, linh hoạt và sáng tạo.
II. KIẾN THỨC:
*Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số là giá trị tuyệt đối của một số a( a là số thực)
* Giá trị tuyệt đối của số không âm là chính nó, giá trị tuyệt đối của số âm là số đối của nó.
 TQ: Nếu 	 	Nếu 
 Nếu x-a ³ 0=> = x-a	 Nếu x-a £ 0=> = a-x
*Tính chất
 Giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm. TQ: 	 với mọi a Î R
Cụ thể:	 =0 a=0	 ≠ 0 a ≠ 0
* Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, và ngược lại hai số có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau hoặc đối nhau.
 TQ: 	
* Mọi số đều lớn hơn hoặc bằng đối của giá trị tuyệt đối của nó và đồng thời nhỏ hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của nó.
 TQ:	 và 
* Trong hai số âm số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối lớn hơn
TQ: 	Nếu 
* Trong hai số dương số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn
 TQ: 	Nếu 
* Giá trị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối.
 TQ: 	
* Giá trị tuyệt đối của một thương bằng thương hai giá trị tuyệt đối.
 TQ: 	
* Bình phương của giá trị tuyệt đối của một số bằng bình phương số đó.
TQ: 	
* Tổng hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của hai số, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai số cùng dấu.
TQ: 	 và 
III. NỘI DUNG TỪNG TIẾT
Ngày soạn:
21/10/2019
Ngày dạy:
2/11/2019
Tuần : 9
Tiết 9
Các bài toán về giá trị tuyệt đối
1. Dạng 1: 	 ( Trong đó A(x) là biểu thức chứa x, k là một số cho trước )
* Cách giải: 
- Nếu k < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn đẳng thức( Vì giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm ) 
- Nếu k = 0 thì ta có 
- Nếu k > 0 thì ta có: 
Bài 1.1: Tìm x, biết:
a) 	b) 	c) 	d) 
Giải
 a) = 4 Þ x= ± 4
 a) Þ2x-5 = ± 4
* 2x-5 = 4
 2x = 9
 x = 4,5
* 2x-5 = - 4
 2x =5-4
 2x =1
 x	 =0,5
Tóm lại: x = 4,5; x =0,5
b)Þ = - (Hs làm tiếp)
Bài 1.2: Tìm x, biết:
a) 	b) 	c) 	
Bài 1.3: Tìm x, biết:
a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 1.4: Tìm x, biết:
a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 1.5: Tìm x, biết:
a) 	b) 
c) 	d) 
Ngày soạn:
21/10/2019
Ngày dạy:
2/11/2019
Tuần : 9
Tiết 10
Các bài toán về giá trị tuyệt đối (tt)
2. Dạng 2: ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x )
* Cách giải:
Vận dụng tính chất: ta có: 
Bài 2.1: Tìm x, biết:
a) 	b) 	c) d) 
a) 
* 5x-4=x+2
5x- x =2+4
4x=6
 x= 1,5
* 5x-4=-x-2
5x + x =- 2+ 4
6x= 2
 x= 
Vậy x= 1,5; x= 
(Hs tương tự làm các câu còn lại)
Bài 2.2: Tìm x, biết:
a) 	b) 
c) 	d) 
3. Dạng 3: ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x )
* Cách 1: Ta thấy nếu B(x) < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn vì giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm. Do vậy ta giải như sau:
	(1)
Điều kiện: B(x) (*)
(1) Trở thành ( Đối chiếu giá tri x tìm được với điều kiện ( * )
* Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:
Nếu 	Nếu 
Ta giải như sau: 	(1)
Nếu A(x) thì (1) trở thành: A(x) = B(x) (Đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện)
Nếu A(x) < 0 thì (1) trở thành: - A(x) = B(x) (Đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện)
VD1: Tìm x Î Q biết =2x
HD : 	 * Xét x+ ³ 0 ta có x+ =2x	 *Xét x+ < 0 ta có x+ =- 2x
Bài 3.1: Tìm x, biết:
a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 3.2: Tìm x, biết:
a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 3.3: Tìm x, biết:
a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 3.4: Tìm x, biết:
a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 3.5: Tìm x, biết:
a) 	b) 	c) 	d) 
Ngày soạn:
28/10/2019
Ngày dạy:
2/11/2019
Tuần : 10
Tiết 11
Các bài toán về giá trị tuyệt đối (tt)
4. Dạng 4: Đẳng thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối: 
* Cách giải: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:
Căn cứ bảng trên xét từng khoảng giải bài toán ( Đối chiếu điều kiện tương ứng )
Ví dụ1 : Tìm x biết rằng (1)
v Nhận xét: Như trên chúng ta đã biến đổi được biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối thành các biểu thức không chứa dấu giá trị tuyệt đối. Vậy ta sẽ biến đổi biểu thức ở vế trái của đẳng thức trên. Từ đó sẽ tìm được x
Giải
Xét x – 1 = 0 x = 1; x – 1 0 x > 1
 x- 3 = 0 x = 3; x – 3 0 x > 3
Ta có bảng xét dấu các đa thức x- 1 và x- 3 dưới đây:
x
 1 3
x – 1
-
+
+
x – 3
-
-
+
Nếu x < 1 ta có:
 (1 – x) + (3 – x) = 2x – 1
 -2x + 4 = 2x – 1 
 x = (giá trị này không thuộc khoảng đang xét)
Nếu 1 x 3 ta có: 
(x – 1 ) + ( 3 – x ) = 2x – 1 
 2 = 2x – 1 
 x = ( giá trị này thuộc khoảng đang xét)
Nếu x > 3 ta có: 
(x – 1 ) + (x – 3 ) = 2x – 1
 - 4 = -1 ( Vô lí)
Kết luận: Vậy x = . 
VD2 : Tìm x, biết + =0
Nhận xét x+1=0 => x=-1; x-1=0 => x=1 
Ta lập bảng xét dấu
X
 - 1 1
x + 1
-
+
+
x – 1
-
-
+
HD học sinh xét 3 trường hợp (Nếu x 1) tương tự như ở trên 
Bài 4.1: Tìm x, biết: 
a) 	b) 
c) 	d) 
Bài 4.2: Tìm x, biết:
a) 	
c) 	d) 	
e) 	f) 
Bài 4.3: Tìm x, biết:
a) 	b) 	
c) 	d) 	
e) 	f) 	
Bài 4.4: Tìm x, biết:
a) 	b) 
c) 	d) 
CHỦ ĐỀ 4: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC
I. MỤC TIÊU:
- Kiến thức: Học sinh nắm được các kiến thức cơ bản về cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
- Kĩ năng: Học sinh tìm được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức trong một số trường hợp thường gặp
- Thái độ: Nghiêm túc, cẩn thận
II. KIẾN THỨC:
1) Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số:
 Cho hàm số f(x) xác định trên tập hợp (D).
*M được gọi là giá trị lớn nhất của f(x) trên tập hợp (D) nếu hai điều kiện sau đồng thời được thỏa mãn:
 a- f(x) £ M với mọi x Î(D) 
 b- $x0 Î(D) sao cho f(x0) = M Ký hiệu M = max f(x) x Î (D)
*m được gọi là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên tập hợp (D) nếu hai điều kiện sau đồng thời được thỏa mãn:
 a- f(x) ³ m với mọi x Î(D) 
 b- $x0 Î(D) sao cho f(x0) = m Ký hiệu m = min f(x) x Î (D)
2) Các kiến thức thường dùng:
a/x2 ³ 0 một cách tổng quát với mọi x, k Î Z
 Suy ra ; 
b/ ; 
c/ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x, y cùng dấu
d/ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x, y cùng dấu
e/	f/ (y ¹ 0)
3) Phương pháp giải:
 Một trong các phương pháp được sử dụng đối với dạng toán này là phương pháp bất đẳng thức. Cụ thể:
 Cho hàm số f(x) có tập xác định (D). Ta cần chứng minh:
 a/f(x) £ M hoặc f(x) ³ m
 b/Chỉ ra trường hợp x = x0 Î (D) sao cho BĐT trở thành đẳng thức.III. NỘI DUNG TỪNG TIẾT
Ngày soạn:
28/10/2019
Ngày dạy:
2/11/2019
Tuần : 10
Tiết 12
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
 a/ A = b/ B = 
Giải: 
 a/ Vì dấu ‘=” xảy ra Û x = 1 suy ra: ³ 0 Vậy minA = 0 Û x = 1
 b/ B = ³ 1 Suy ra min B = 1 Û x = 2
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
 a/ A = -2 - b/ B = 
Giải: a/ Vì dấu “=” xảy ra Û x = 1 Suy ra A = -2 - £ -2
 Vậy max A = -2 Û x = 1.
 b/ B = £ 3 suy ra max B = 3 Û x = 2
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của: 
 a/ A = b/ B = 
Giải: a/ Áp dụng bất đẳng thức: Dấu “=” xảy ra Û x, y cùng dấu
 A = ³ Û x(8 – x) ³ 0
Lập bảng xét dấu: 
x
 0 8
x
 - 0 + +
8 – x
 + + 0 -
x(8 – x)
 - 0 + 0 - 
Vậy: min A = 8 Û 0 £ x £ 8
 b/ B = = ³ 
 Dấu “=” xảy ra Û (x – 3)(5 – x) ³ 0 Û 3 £ x £ 5 (lập bảng xét dấu như câu a)
 Vậy: min B = 2 Û 3 £ x £ 5 
Chú ý: Ta sử dụng hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau để làm triệt tiêu x.
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 a/ M = 	 b/ N = 
Giải: a/ Đặt M1 = và M2 = thì M = M1 + M2 khi đó M có giá trị nhỏ nhất khi M1; M2 đồng thời có giá trị nhỏ nhất.
 Tương tự các ví dụ trên ta có min M1 = 5 – 2 = 3 Û 2 £ x £ 5 và min M2 = 4 – 3 = 1 Û 3 £ x £ 4
 Vậy: min M = 3 + 1 = 4 Û 3 £ x £ 4 
 b/ có GTNN bằng 1996 – 1 = 1995 Û 1 £ x £ 1996
 có GTNN bằng 1995 – 2 = 1993 Û 2 £ x £ 1995
 có GTNN bằng 1994 – 3 = 1991 Û 3 £ x £ 1994
 ............................................................................... 
 có GTNN bằng 998 – 997 = 1 Û 997 £ x £ 998
 Suy ra: min N = 1+3+5+7+...+1995 = 9982 Û 997 £ x £ 998 
 Chú ý: 1+3+5+7+...+(2n – 1) = n2 
 Vậy: min N = 9982 Û 997 £ x £ 998 
Ví dụ 5: a/Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 
 b/Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = 
 c/Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = 
Giải: 
a/ Áp dụng bất đẳng thức Ta có:
 A = 
 = ³ x + 5 + x + 2 + 7 – x + 8 – x = 22
 A = 22 khi và chỉ khi: Û Û 
 Vậy: GTNN của A là 22 Û 
b/ B = ³ ³ x + 3 + 5 – x+³ 8+³ 8
 B = 8 khi và chỉ khi: 
 Û Û x = 2
 Vậy GTNN của B = 8 Û x = 2 
c/ Áp dụng bất đẳng thức: ta có: 
 C = £ = 7
 C = 7 Û (x – 2)(x + 5) ³ 0 Û x ³ 2
 Vậy giá trị lớn nhất của C = 7 Û x ³ 2
Ngày soạn:
4/11/2019
Ngày dạy:
9/11/2019
Tuần : 11
Tiết 13
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (tt)
5) Bài tập áp dụng:
Bài 1: a/Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: A = 
 b/Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = 
Giải: 
a/ Ta có: Suy ra A = £ 124 (1)
 Mà A = 0 Û Û x = 7 (2)
 Vậy từ (1) và (2) ta có : max A = 124 Û x = 7 
b/ Với thì thay vào B, ta tính được B = (1) 
 Với thì thay vào B, ta tính được B = 
 Vì nên Suy ra Vậy B < (2) 
 Từ (1) và (2) suy ra B £ . Do đó: max B = khi 
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
 a/ M = b/ N = 
Giải: a/ max M = 	 b/ max N = 
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: 
 a/ A = b/ B = 
ĐS: a/ min A = 1 Û 2011 £ x £ 2012 b/ min B = 333 Û 456 £ x £ 789
Ngày soạn:
4/11/2019
Ngày dạy:
9/11/2019
Tuần : 11
Tiết 14
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (tt)
Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: 
 a/ A = b/ B = 
Giải: 
a/ A = = 
 Vậy A³ 2 và A = 2 Û x = 2. Suy ra min A = 2 Û x = 2 
b/ Ta có B = 
Vậy B ³ 4 và B = 4 Û 2 £ x £ 3
Suy ra: min B = 4 Û 2 £ x £ 3 
Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = 
Giải: Ta có ; ; 
 Do đó: 
 Dấu “=” xảy ra Û ; ; Û 
 Vậy min A = Û 
Ngày soạn:
11/11/2019
Ngày dạy:
16/11/2019
Tuần : 12
Tiết 15
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (tt)
Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = 
Giải: Ta có: và 
 Do đó: M= ³ 
 Dấu “=” xảy ra Û và 1 – x ³ 0 Û 
 Vậy: min M = Û 
Bài 7: Tìm GTLN của các biểu thức sau: 
 a/ A = b/ B = 
Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
 a/ A = b/ B = 
a/ Ta có: Suy ra: A = ³ 
 Dấu “=” xảy ra Û 
 Vậy; min A = Û 
b/ Ta có: và 
Do đó: B ³ 2010 – x + x – 1963 = 47
 Dấu “=” xảy ra Û 2010 – x ³ 0 và x – 1963 ³ 0 Û 1963 £ x £ 2010 
 Vậy: max B = 47 Û 1963 £ x £ 2010
CHỦ ĐỀ 5: TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG
I. MỤC TIÊU:
- Mục tiêu: Học sinh nắm được một số tính chất cơ bản về cách xác định chữ số tận cùng
- Kĩ năng: Học sinh thực hiện được một số bài toán xác định chữ số tận cùng
- Thái độ: Nghiêm túc, tích cực, cẩn thận
II. KIẾN THỨC:
Tính chất 1 : 
a) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. 
b) Các số có chữ số tận cùng là 4, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. 
c) Các số có chữ số tận cùng là 3, 7, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 1. 
d) Các số có chữ số tận cùng là 2, 4, 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 6. 
Tính chất 2 : Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 1 (n thuộc N) thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. 
Tính chất 3 : 
a) Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 7 ; số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 3. 
b) Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 8 ; số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 2. 
c) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ không thay đổi chữ số tận cùng. 
III. NỘI DUNG TỪNG TIẾT
Ngày soạn:
11/11/2019
Ngày dạy:
16/11/2019
Tuần : 12
Tiết 16
Tìm chữ số tận cùng
Bài toán 1 : Tìm chữ số tận cùng của các số : 
a) 799 	b) 141414 	c) 4567
Lời giải : 
a) Trước hết, ta tìm số dư của phép chia 99 cho 4 : 
99 - 1 = (9 - 1)(98 + 97 + + 9 + 1) chia hết cho 4 
=> 99 = 4k + 1 (k thuộc N) => 799 = 74k + 1 = 74k.7 
Do 74k có chữ số tận cùng là 1 (theo tính chất 1c) => 799 có chữ số tận cùng là 7.
b) Dễ thấy 1414 = 4k (k thuộc N) => theo tính chất 1d thì 141414 = 144k có chữ số tận cùng là 6. 
c) Ta có 567 - 1 chia hết cho 4 => 567 = 4k + 1 (k thuộc N) 
=> 4567 = 44k + 1 = 44k.4, theo tính chất 1d, 44k có chữ số tận cùng là 6 nên 4567 có chữ số tận cùng là 4. 
Tính chất sau được => từ tính chất 1. 
Chữ số tận cùng của một tổng các lũy thừa được xác định bằng cách tính tổng các chữ số tận cùng của từng lũy thừa trong tổng. 
Bài toán 2 : Tìm chữ số tận cùng của tổng S = 21 + 35 + 49 + + 20048009. 
Lời giải : 
Nhận xét : Mọi lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 1 (các lũy thừa đều có dạng n4(n - 2) + 1, n thuộc {2, 3, , 2004}). 
Theo tính chất 2, mọi lũy thừa trong S và các cơ số tương ứng đều có chữ số tận cùng giống nhau, bằng chữ số tận cùng của tổng : 
(2 + 3 + + 9) + 199.(1 + 2 + + 9) + 1 + 2 + 3 + 4 = 200(1 + 2 + + 9) + 9 = 9009. 
Vậy chữ số tận cùng của tổng S là 9. 
Từ tính chất 1 tiếp tục => tính chất 3. 
Bài toán 3 : Tìm chữ số tận cùng của tổng T = 23 + 37 + 411 + + 20048011. 
Lời giải : 
Nhận xét : Mọi lũy thừa trong T đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 3 (các lũy thừa đều có dạng n4(n - 2) + 3, n thuộc {2, 3, , 2004}). 
Theo tính chất 3 thì 23 có chữ số tận cùng là 8 ; 37 có chữ số tận cùng là 7 ; 411 có chữ số tận cùng là 4 ; 
Như vậy, tổng T có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng : (8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 1 + 8 + 7 + 4 = 200(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 8 + 7 + 4 = 9019. 
Vậy chữ số tận cùng của tổng T là 9. 
* Trong một số bài toán khác, việc tìm chữ số tận cùng dẫn đến lời giải khá độc đáo. 
Ngày soạn:
18/11/2019
Ngày dạy:
23/11/2019
Tuần : 13
Tiết 17
Tìm chữ số tận cùng (tt)
Bài toán 4 : Tồn tại hay không số tự nhiên n sao cho n2 + n + 1 chia hết cho 19952000. 
Lời giải : 19952000 tận cùng bởi chữ số 5 nên chia hết cho 5. Vì vậy, ta đặt vấn đề là liệu n2 + n + 1 có chia hết cho 5 không ? 
Ta có n2 + n = n(n + 1), là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chữ số tận cùng của n2 + n chỉ có thể là 0 ; 2 ; 6 => n2 + n + 1 chỉ có thể tận cùng là 1 ; 3 ; 7 => n2 + n + 1 không chia hết cho 5. 
Vậy không tồn tại số tự nhiên n sao cho n2 + n + 1 chia hết cho 19952000. 
Sử dụng tính chất “một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9”, ta có thể giải được bài toán sau : 
Bài toán 5 : Chứng minh rằng các tổng sau không thể là số chính phương : 
a) M = 19k + 5k + 1995k + 1996k (với k chẵn) 
b) N = 20042004k + 2003 
Sử dụng tính chất “một số nguyên tố lớn hơn 5 chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số 1 ; 3 ; 7 ; 9”, ta tiếp tục giải quyết được bài toán : 
Bài toán 6 : Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng : p8n +3.p4n - 4 chia hết cho 5. 
* Các bạn hãy giải các bài tập sau : 
Bài 1 : Tìm số dư của các phép chia : 
a) 21 + 35 + 49 + + 20038005 cho 5 	b) 23 + 37 + 411 + + 20038007 cho 5 
Bài 2 : Tìm chữ số tận cùng của X, Y : 
X = 22 + 36 + 410 + + 20048010 	Y = 28 + 312 + 416 + + 20048016 
Bài 3 : Chứng minh rằng chữ số tận cùng của hai tổng sau giống nhau : 
U = 21 + 35 + 49 + + 20058013 	V = 23 + 37 + 411 + + 20058015 
Bài 4 : Chứng minh rằng không tồn tại các số tự nhiên x, y, z thỏa mãn : 
19x + 5y + 1980z = 1975430 + 2004. 
* Các bạn thử nghiên cứu các tính chất và phương pháp tìm nhiều hơn một chữ số tận cùng của một số tự nhiên, chúng ta sẽ tiếp tục trao đổi về vấn đề này. 
Ngày soạn:
18/11/2019
Ngày dạy:
23/11/2019
Tuần : 13
Tiết 18
Tìm chữ số tận cùng (tt)
T×m hai ch÷ sè tËn cïng 
Nhận xét : Nếu x Є N và x = 100k + y, trong đó k ; y Є N thì hai chữ số tận cùng của x cũng chính là hai chữ số tận cùng của y. 
Hiển nhiên là y ≤ x. Như vậy, để đơn giản việc tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x thì thay vào đó ta đi tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên y (nhỏ hơn). 
Rõ ràng số y càng nhỏ thì việc tìm các chữ số tận cùng của y càng đơn giản hơn. 
Từ nhận xét trên, ta đề xuất phương pháp tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x = am như sau : 
Trường hợp 1 : Nếu a chẵn thì x = am ∶ 2m. Gọi n là số tự nhiên sao cho an - 1 ∶ 25. 
Viết m = pn + q (p ; q Є N), trong đó q là số nhỏ nhất để aq ∶ 4 ta có :
x = am = aq(apn - 1) + aq. 
Vì an - 1 ∶ 25 => apn - 1 ∶ 25. Mặt khác, do (4, 25) = 1 nên aq(apn - 1) ∶ 100. 
Vậy hai chữ số tận cùng của am cũng chính là hai chữ số tận cùng của aq. Tiếp theo, ta tìm hai chữ số tận cùng của aq. 
Trường hợp 2 : Nếu a lẻ , gọi n là số tự nhiên sao cho an - 1 ∶ 100. 
Viết m = un + v (u ; v Є N, 0 ≤ v < n) ta có : 
x = am = av(aun - 1) + av. 
Vì an - 1 ∶ 100 => aun - 1 ∶ 100. 
Vậy hai chữ số tận cùng của am cũng chính là hai chữ số tận cùng của av. Tiếp theo, ta tìm hai chữ số tận cùng của av. 
Trong cả hai trường hợp trên, chìa khóa để giải được bài toán là chúng ta phải tìm được số tự nhiên n. Nếu n càng nhỏ thì q và v càng nhỏ nên sẽ dễ dàng tìm hai chữ số tận cùng của aq và av. 
Bài toán 7 : Tìm hai chữ số tận cùng của các số : 
a) a2003 	b) 799 
Lời giải : 
a) Do 22003 là số chẵn, theo trường hợp 1, ta tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho 2n - 1 ∶ 25. 
Ta có 210 = 1024 => 210 + 1 = 1025 ∶ 25 => 220 - 1 = (210 + 1)(210 - 1) ∶ 25 => 23(220 - 1) ∶ 100. Mặt khác :
22003 = 23(22000 - 1) + 23 = 23((220)100 - 1) + 23 = 100k + 8 (k Є N). 
Vậy hai chữ số tận cùng của 22003 là 08. 
b) Do 799 là số lẻ, theo trường hợp 2, ta tìm số tự nhiên n bé nhất sao cho 7n - 1 ∶ 100. 
Ta có 74 = 2401 => 74 - 1 ∶ 100. 
Mặt khác : 99 - 1 ∶ 4 => 99 = 4k + 1 (k Є N) 
Vậy 799 = 74k + 1 = 7(74k - 1) + 7 = 100q + 7 (q Є N) tận cùng bởi hai chữ số 07. 
Bài toán 8 : Tìm số dư của phép chia 3517 cho 25. 
Lời giải : Trước hết ta tìm hai chữ số tận cùng của 3517. Do số này lẻ nên theo trường hợp 2, ta phải tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho 3n - 1 ∶ 100. 
Ta có 310 = 95 = 59049 => 310 + 1 ∶ 50 => 320 - 1 = (310 + 1) (310 - 1) ∶ 100. 
Mặt khác : 516 - 1 ∶ 4 => 5(516 - 1) ∶ 20 
=> 517 = 5(516 - 1) + 5 = 20k + 5 =>3517 = 320k + 5 = 35(320k - 1) + 35 = 35(320k - 1) + 243, có hai chữ số tận cùng là 43. 
Vậy số dư của phép chia 3517 cho 25 là 18. 
Trong trường hợp số đã cho chia hết cho 4 thì ta có thể tìm theo cách gián tiếp. 
Trước tiên, ta tìm số dư của phép chia số đó cho 25, từ đó suy ra các khả năng của hai chữ số tận cùng. Cuối cùng, dựa vào giả thiết chia hết cho 4 để chọn giá trị đúng. 
Các thí dụ trên cho thấy rằng, nếu a = 2 hoặc a = 3 thì n = 20 ; nếu a = 7 thì n = 4. 
Một câu hỏi đặt ra là : Nếu a bất kì thì n nhỏ nhất là bao nhiêu ? Ta có tính chất sau đây (bạn đọc tự chứng minh). 
Tính chất 4 : Nếu a Є N và (a, 5) = 1 thì a20 - 1 ∶ 25. 
Bài toán 9 : Tìm hai chữ số tận cùng của các tổng : 
 a) S1 = 12002 + 22002 + 32002 + ... + 20042002 	 b) S2 = 12003 + 22003 + 32003 + ... + 20042003 
Lời giải : 
a) Dễ thấy, nếu a chẵn thì a2 chia hết cho 4 ; nếu a lẻ thì a100 - 1 chia hết cho 4 ; nếu a chia hết cho 5 thì a2 chia hết cho 25. 
Mặt khác, từ tính chất 4 ta suy ra với mọi a Є N và (a, 5) = 1 ta có a100 - 1 ∶ 25. 
Vậy với mọi a Є N ta có a2(a100 - 1) ∶ 100. 
Do đó S1 = 12002 + 22(22000 - 1) + ... + 20042(20042000 - 1) + 22 + 32 + ... + 20042. 
Vì thế hai ch