Kiểm định chất lượng học sinh giỏi Lớp 7 môn Toán (Có đáp án) - Năm học 2017-2018 - Phòng giáo dục và đào tạo Triệu Sơn

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TRIỆU SƠN
KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HSG LỚP 7
Năm học 2017-2018
Môn: Toán 
Câu 1. (4,0 điểm)
Thực hiện phép tính : 
Cho và Tính 
Câu 2. (4,0 điểm)
Tìm biết: và 
Tìm biết: 
Câu 3. (5,0 điểm)
Tìm số tự nhiên để phân số có giá trị lớn nhất
Cho đa thức với là các hệ số nguyên. Biết rằng, với mọi nguyên. Chứng minh rằng đều chia hết cho 5
Gọi là độ dài các cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Câu 4. (5,0 điểm)
	Cho tam giác cân tại A. Trên cạnh lấy điểm D (D khác Trên tia đối của tia lấy điểm E sao cho Đường vuông góc với kẻ từ D cắt tại M. Đường vuông góc với kẻ từ E cắt đường thẳng tại N, cắt tại I
Chứng minh : 
Chứng minh: 
Gọi là giao của đường phân giác và đường thẳng vuông góc với tại I. Chứng minh rằng 
Câu 5. (2,0 điểm) Cho các số thực dương và thỏa mãn: 
. Hãy tính giá trị của biểu thức:
ĐÁP ÁN
Câu 1.
2) Ta có: 
Suy ra 
Vậy 
Câu 2.
Trừ từng vế hai đẳng thức đã cho ta được:
Suy ra 
Thay vào hai đẳng thức đã cho ta được 
Thay vào hai đẳng thức đã cho ta được 
Từ suy ra : và cùng dấu
Dễ thấy nên ta có:
và cùng dương 
*)và cùng âm 
Vậy hoặc 
Câu 3.
Ta có:
Phân số đã cho có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi lớn nhất.
Từ đó suy ra 
Vậy giá trị lớn nhất của phân số đã cho bằng 6 khi 
Vì với mọi nguyên nên 
Từ (1) và (2) suy ra và 
Vì , mà nên 
mà mà 
Kết hợp với vì . Từ đó suy ra 
Vậy đều chia hết cho 5
Vì nên 
Tương tự ta có:
Từ (1) (2), (3) suy ra : 
Câu 4.
Tam giác cân tại A nên (đối đỉnh)
Do đó: 
Ta có: 
Vì nên 
Lại có : nên 
Suy ra 
Ta chứng minh được: 
Ta lại có: 
, mà suy ra mà đây là hai góc kể bù nên 
Vì tam giác cho trước, là giao của phân giác góc A và đường vuông góc AC tại C nên O cố định.
Câu 5.
Ta có đẳng thức : với mọi 
Kết hợp với : 
Suy ra : 
Do đó: