Bài tập Hình học 7 - Chủ đề 6: Các trường hợp bằng nhau của tam giác

CHỦ ĐỀ 6: CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC.
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1/ Lợi ích của việc chứng minh hai tam giác bằng nhau là suy ra được các cặp cạnh tương ứng bằng nhau, các cặp góc tương ứng bằng nhau.
2/ Các trường hợp bằng nhau của tam giác 
* Trường hợp cạnh - cạnh - cạnh: Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh tương ứng của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
* Trường hợp cạnh - góc - cạnh: Nếu hai cạnh và một góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau
* Trường hợp góc - cạnh - góc: Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
3/ Việc chứng minh hai đoạn thẳng (hay hai góc) bằng nhau ta làm như sau:
- Xét xem hai đoạn thẳng (hay hai góc) là hai cạnh (hay hai góc) thuộc hai tam giác nào.
- Chứng minh hai tam giác đó bằng nhau
- Suy ra hai cạnh (hay hai góc) tương ứng bằng nhau.
4/ Chú ý:
Để tạo ra được hai tam giác bằng nhau, đôi khi ta phải vẽ thêm đường phụ bằng nhiều cách:
- Nối hai cạnh có sẵn trên hình để tạo ra một cạnh chung của hai tam giác.
- Trên một tia cho trước, đặt một đoạn bằng một đoạn thẳng khác.
- Từ một điểm cho trước, vẽ một đường thẳng song song với một đoạn thẳng.
- Từ một điểm cho trước, vẽ một đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng.
B/ CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1: Cho góc vuông xOy, điểm A trên tia Ox, điểm B trên tia Oy. Lấy điểm E trên tia đối của tai Ox, điểm F trên tia Oy sao cho OE= OB, OF= OA.
a. Chứng minh AB = EF, AB EF.
b. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và EF. Chứng minh rằng tam giác OMN vuông cân.
Hướng dẫn
GT
= 900; AOx, BOy ; OE = OB, OF= OA ; M AB: MA = MB
N EF: NE = NF
KL
a) AB = EF, AB EF
b) OMN vuông cân
Chứng minh
a. Xét AOB và FOE có:
OA = OF ( GT)
 = = 900 AOB và FOE(C.G.C) 
OB = OE (GT)
	AB = EF( cạnh tương ứng)
 	 = (1) ( góc tương ứng)
	Xét FOE : = 900 + = 900 (2)
 	Từ (1) và (2) + = 900 =900 EH HA hay AB EF.
b. Ta có: BM = AB( M là trung điểm của AB)
 EN = EF( M là trung điểm của EF) 
	Mà AB = EF BM = EN
	Mặt khác:FOE : = 900 + = 900 
 	 OAB : = 900 + = 900 
	Mà = (cmt) = 
	Xét BOM vàEON có : 
OB = OE (gt) ; = (cmt) ; BM = EN (cmt)
BOM =EON (c.g.c)
OM = ON (*) Và = 
	Mà +=900 nên +=900 = 900 (**)
	Từ (*) và(**) OMN vuông cân
Ví dụ 2: Cho ABC cân đỉnh A. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD = CE. Nối D với E. Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh ba điểm B, I, C thẳng hàng.
Hướng dẫn
GT
ABC: AB = AC ; D AB, E AC sao cho BD = CE ; I DE: ID = IE
KL
B, I, C thẳng hàng
	Phân tích: B, I, C thẳng hàng += 1800
Cần c/m =
	Mà += 180
	 Cần tạo ra một điểm F trên cạnh BC: EIC = DIF
Ví dụ 3: Cho ABC, = 600. Phân giác BD, CE cắt nhau tại O. Chứng minh rằng :
	a. DOE cân
	b. BE + CD= BC.
Hướng dẫn
GT
ABC, =600 ; BD: Phân giác (DAC) ; CE: Phân giác (EAB) 
BD CE = {O}
KL
a. DOE cân
b. BE + CD= BC.
a) Ta có: ABC: +=1800 - =1800 - 600 = 1200 (Định lý tổng ba góc của một tam giác)
	Mà =(BDlà phân giác); = (CE là phân giác )
	Nên += == 600
	OBC có = 1800 - (+) = 1800 - 600 =1200 (Định lý tổng ba góc của một tam giác)
Mặt khác:+ = 1800( kề bù) ; + = 1800( kề bù)
	==600
	Vẽ phân giác OF của (FBC) ===600
	Do đó : ====600
	Xét BOE và BOF có:
 	= (BDlà phân giác); BO cạnh chung ; ==600
	BOE = BOF(g.c.g)
	OE = OF (1) ( hai cạnh tương ứng) Và BE = BF
	c/m tương tự COD = COF(g.c.g)
	OD =- OF (2) (hai cạnh tương ứng) và CD = EF
	Từ (1 ) và (2) OE = OD DOE cân
b) Ta có BE = BF ; CD = CF (cmt)
 BE+CD=BF+FC=BC
	Vậy : BE + DC= BC
* Nhận xét:
	- Ví dụ 3 cho ta thêm một cách vẽ đường phụ:Vẽ phân giác OF của . Khi đó OF là một đoạn thẳng trung gian để so sánh OD với OE.
	- Ta cũng có thể vẽ thêm đường phụ bằng cách khác: Trên BC lấy điểm F sao cho BF= BE. Do đó cần c/m BOE = BOF(g.c.g) và COD = COF(g.c.g).
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
Bài 1: Tam giác ABC và tam giác A'B'C' có AB=A'B', AC= A'C'. Hai góc A và A'bù nhau. Vẽ trung tuyến AM rồi kéo dài một đoạn MD = MA. Chứng minh: 
	a. =
	b. AM = B'C'
Bài 2:Cho tam giác ABC. vẽ ra ngoài tam giác này các tam giác vuông cân tại A là ABE và ACF. Chứng minh: 
	a. BF = CE và BF CE 
	b. Gọi M là trung điểm của BC. CMR: AM = EF
Bài 3: Cho ABC, vẽ ra ngoài tam giác này các tam giác vuông cân tại A là ABE và ACF. Vẽ AH vuông góc với BC. Đường thẳng AH giao EF tại O. CMR: O là trung điểm của EF.
Bài 4: Cho ABC có = 600 . Dựng ra ngoài tam giác đó các tam giác đều ABM và CAN.
	a. CMR: Ba điểm A, M, N thẳng hàng
	b. c/m BN = CM
	c. Gọi O là giao điểm của BN và CM. Tính .
Bài 5: Chứng minh rằng: Nếu hai cạnh và trung tuyến ứng với cạnh thứ ba của tam giác này bằng hai cạnh và trung tuyến ứng với cạnh thứ ba của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
Bài 6: Cho tam giác ABC có AB = AC ,gọi M là trung điểm cua cạnh BC 
a) Chứng minh 2 tam giác ABM&ACM bằng nhau 
b) Chứng minh AM vuông góc với BC 
c) AM là phân giác góc A
Bài 7: Cho DABC có AB < AC. Kẻ tia phân giác AD của ( D thuộc BC). Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB, trên tia AB lấy điểm F sao cho AF = AC. Chứng minh rằng:
a) DBDF = DEDC.
b) BF = EC.
c) F, D, E thẳng hàng.
d) AD ^ FC
Bài 8. Cho DABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA, lấy điểm E sao cho
 ME = MA.
a) Chứng minh AC // BE.
b) Gọi I là một điểm trên AC, K là một điểm trên EB sao cho AI = EK. Chứng minh 3 điểm I, M, K thẳng hàng.
Bài 9. Cho góc nhọn xOy và tia phân giác Oz của góc đó. Trên Ox, lấy điểm A, trên Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Trên tia Oz, lấy điểm I bất kì. Chứng minh:
a) D AOI = D BOI.
b) AB ^ OI.
Bài 10. Cho góc nhọn xOy. Trên tia Ox, lấy 2 điểm A và C. Trên tia Oy lấy 2 điểm B và D sao cho 
OA = OB ; OC = OD. (A nằm giữa O và C; B nằm giữa O và D).
a) Chứng minh DOAD = DOBC
b) So sánh 2 góc và .
Bài 11. Cho DABC vuông ở A. TRên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AC.
a) Chứng minh DABC = DABD
b) Trên tia đối của tia AB, lấy điểm M. Chứng minh DMBD = D MBC.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: 
a) Xét AMC và DMB có:
 	AM = MD (gt) ; = (đối đỉnh); MC = MB( gt)
	AMC = DMB (c.g.c)
	 AC = BD ( hai cạnh tương ứng) ; = (hai góc tương ứng) 
	 AC//BD ( vì có cặp góc SLT bằng nhau)
	 += 1800(hai góc trong cùng phía)
 	Mà += 1800(gt)
	=
b) Xét ABD và B'A'C' có:
	AB = A'B'(gt) ; =(cmt) 
	BD = A'C'(=AC)
	ABD và B'A'C'(c.g.c)
	AD = B'C' ( hai cạnh tương ứng)
 	Mà AM = AD (gt) AM = B'C'
* Nhận xét: Hai tam giác có hai cặp cạnh bằng nhau và một cặp góc xen giữa chúng bù nhau thì trung tuyến thuộc cạnh thứ ba của tam giác này bằng một nửa cạnh thứ ba của tam giác kia.
Bài 2:
a) Ta có: = += 900 + 
 = + = 900 + 
=
	Xét ABF và AEC có: 
 	AB = AE(gt) ; =(cmt) ; AF = AC (cmt)
	ABF = AEC(c.g.c)
	BF = CE ( hai cạnh tương ứng) và= ( hai góc tương ứng) (1)
	Gọi O và I lần lượt là giao điểm của CE với BF và AB.
	Xét AEI vuông tại A có += 900(2) 
	Và =(đối đỉnh) (3)
	Từ (1), (2) và (3)+=900= 900BF CE 
b) Ta có:+++= 3600
	+= 3600 - (+) =3600-(900+900)=1800
	Ta thấy: ABC và EAF có hai cặp cạnh bằng nhau và một cặp góc xen giữa chúng bù nhau nên trung tuyến AM = EF
Bài 3: 
	Kẻ EI AH, FKAH (I, K AH)
Xét AEI và ABH có:
	= = 900; AE = AB (gt) 
	= (cặp góc có cạnh tương ứng vuông góc cùng nhọn)
	AEI = ABH (cạnh huyền- góc nhọn)
	EI = AH ( hai cạnh tương ứng)
	Tương tự:AFK = CAH (cạnh huyền- góc nhọn)
	FK = AH ( hai cạnh tương ứng)
	Xét OEI và OFK có:
= = 900 ; EI = FK (=AH) ; =(SLT, EI//FK)
	 OEI = OFK(g.c.g)	
	OE = OF ( hai cạnh tương ứng)
	Mà OEF(gt)
	O là trung điểm của EF.
Bài 4:
a) ABM, CAN đều = =600
	Vậy =++= 600+600+600=1800M,A,N thẳng hàng
b) Xét ABN và ACM có:
	AB = AM (gt); =(=1200) ; AN = AC(gt)
	 ABN = ACM(c.g.c)
	BN = CM ( hai cạnh tương ứng) 
 và =(hai góc tương ứng)
c) là góc ngoài của OCN
	=+ = ++
	Mà =(cmt)
	=++= +=600+600=1200
Bài 5:
	Lấy DAM: MD = MA
	Lấy D'A'M': M'D' = M'A'
Xét ABM và DMC có:
	MB = MC(gt) ; = (đối dỉnh) 
	AM = MD(cách lấy điểm D)
	ABM = DMC(c.g.c)
	CD = AB( hai cạnh tương ứng) Và =(1)( hai góc tương ứng)
	C/m tương tự ; C'D' = A'B'; =(2)
	Xét ACD và A'C'D' có:
	AC = A'C'(gt) ; AD = A'D' (vì AM = A'M') ; CD = C'D' ( = AB)
	ACD = A'C'D'(c.c.c)	
	=và=(3)
	Từ (1), (2),(3) =mà ==
	Vậy ABC =A'B'C'(c.g.c)
* cách 2:
AMC và A'M'C' có: 
	AM = A'M'(gt); =(cmt); AC= A'C'(gt)
	AMC = A'M'C' (c.g.c)
	MC = M'C'( hai cạnh tương ứng)
	Mà MC = BC; M'C' = B'C'(gt). Do đó: BC = B'C'.
	Vậy ABC=A'B'C'(c.c.c)