Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 - Chương I: Đường thẳng vuông góc. Đường thẳng song song - Chuyên đề 6: Chứng minh bằng phản chứng

 Chương I. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUễNG GểC. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG.
Chuyờn đề 6. CHỨNG MINH BẰNG PHẢN CHỨNG
A. Kiến thức cần nhớ
Khi giải bài 5.7 trong chuyờn đề 5 ta đó dựng phương phỏp chứng minh bằng phản chứng. Phương phỏp 
này thuộc loại chứng minh giỏn tiếp. Để chứng minh mệnh đề A là đỳng ta chứng minh phủ định của A là 
sai.
Nội dung chứng minh bằng phản chứng gồm ba bước:
- Bước 1 (phủ định kết luận): Giả sử điều trỏi với kết luận của bài toỏn.
- Bước 2 (đi đến mõu thuẫn): Từ điều giả sử ở trờn và từ cỏc điều đó biết (giả thiết, tiờn đề, định lớ, ) ta 
suy ra một điều vụ lớ (trỏi với giả thiết, trỏi với cỏc kiến thức đó biết hoặc hai điều mõu thuẫn nhau).
- Bước 3 (khẳng định kết luận): Vậy điều giả sử là sai, điều phải chứng minh là đỳng.
Chỳ ý:
 Trong bước 1 ta phải phủ định điều phải chứng minh.
Phủ định của “cú A” là “khụng cú A”.
Phủ định của “khụng cú B” là “cú B”.
Vớ dụ: Phủ định của “ba điểm A, B, C thẳng hàng” là “ba điểm A, B, C khụng thẳng hàng”.
Phủ định của m n là m n (tức là m n hoặc m n ).
 Trong bước 2, nhất thiết phải suy ra được một điều mõu thuẫn với điều đó cho, đó biết. Nếu khụng thỡ 
chưa thể khẳng định được điều giả sử ở bước 1 là sai.
B. Một số vớ dụ
Vớ dụ 1: Cho 12 đường thẳng cắt nhau tại O tạo thành một số gúc khụng cú điểm trong chung. Chứng 
minh rằng trong cỏc gúc đú cú ớt nhất hai gúc cú số đo khụng vượt quỏ 15 .
 Giải (h.6.1)
* Tỡm cỏch giải
Dễ thấy tổng số đo cỏc gúc khụng cú điểm trong chung đỳng bằng 360 . Vỡ 
vậy ta chỉ cần biết cú bao nhiờu gúc khụng cú điểm trong chung được tạo 
thành. 
* Trỡnh bày lời giải
12 đường thẳng cắt nhau tại O tạo thành 24 gúc đỉnh O khụng cú điểm trong 
chung. Tổng số đo cỏc gúc bằng 360 nờn phải tồn tại một gúc nhỏ hơn hoặc bằng 360 : 24 15.
Ta chứng minh điều này bằng phản chứng.
Giả sử mỗi gúc đú đều lớn hơn 15 thỡ tổng của chỳng lớn hơn: 15.24 360 (vụ lớ).
Vậy trong số cỏc gúc đú tồn tại một gúc khụng vượt quỏ 15 . Gúc này bằng gúc đối đỉnh với nú nờn tồn 
tại hai gúc khụng vượt quỏ 15 . Vớ dụ 2: Hỡnh 6.2 cú OA  OB, À m, Bà n , với m n 90 . Chứng minh rằng Ax và By khụng song 
song.
 Giải (h.6.3)
* Tỡm cỏch giải
Bài toỏn yờu cầu chứng minh Ax và By khụng song song. Nếu ta dựng phương phỏp phản chứng, giả sử 
Ax / /By thỡ cú thể vận dụng định lớ về tớnh chất của hai đường thẳng song song để giải. Tuy nhiờn, giữa 
Ax và By chưa cú một cỏt tuyến nào nờn ta vẽ tia Ot ở trong gúc AOB sao cho Ot / / Ax thỡ Ot / /By . Khi 
 ả ả
đú cỏc gúc A, gúc B lần lượt bằng O1 và O2 rất thuận lợi trong việc liờn hệ với gúc AOB cho trước.
* Trỡnh bày lời giải
Giả sử Ax / /By . Trong gúc AOB vẽ tia Ot / / Ax thỡ Ot / /By (vỡ Ax / /By ).
 ả à ả à
Ta cú O1 A m (hai gúc so le trong); O2 B n (hai gúc so le trong).
 ả ả
Do đú O1 O2 m n .
 ả ả ã ã
Mặt khỏc, O1 O2 AOB;m n 90 nờn AOB 90.
Điều này mõu thuẫn với ãAOB 90 (vỡ OA  OB ).
Vậy điều giả sử là sai, suy ra Ax và By khụng song song.
Vớ dụ 3: Cho gúc tự xOy, tia Ot ở trong gúc đú sao cho xãOt ãyOt . Trờn tia Ox lấy điểm A. Qua A vẽ 
đường thẳng m  Ox . Chứng minh rằng cỏc đường thẳng Ot và m cắt nhau.
 Giải (h.6.4)
* Tỡm cỏch giải
Điều phải chứng minh là cỏc đường thẳng Ot và m cắt nhau. Muốn chứng 
minh bằng phản cứng ta giả sử Ot / /m , từ đú suy ra Ot  Ox do đú 
xãOt 90 .
Để đưa đến mõu thuẫn ta chỉ cần chứng minh xãOt 90.
* Trỡnh bày lời giải
Giả sử cỏc đường thẳng Ot và m khụng cắt nhau. Suy ra Ot / /m .
Mặt khỏc, Ox  m (gt) nờn Ox  Ot do đú xãOt 90 . (*)
Ta cú xãOt ãyOt xãOy 180 mà xãOt ãyOt nờn xãOt 90, mõu thuẫn với (*). Vậy điều giả sử là sai, do đú cỏc đường thẳng Ot và m phải cắt nhau.
Vớ dụ 4: Cho ba tia phõn biệt OA, OB, OC sao cho ãAOB BãOC CãOA . 
Chứng minh rằng trong ba tia đó cho khụng cú tia nào nằm giữa hai tia cũn 
lại.
 Giải (h.6.5)
* Tỡm cỏch giải
Để giải vớ dụ này bằng phương phỏp phản chứng, ta giả sử trong ba tia đó 
cho cú một tia nằm giữa hai tia cũn lại rồi dựng tớnh chất cộng số đo cỏc gúc 
dẫn đến kết quả cú hai tia trựng nhau, trỏi giả thiết.
* Trỡnh bày lời giải
Giả sử trong ba tia OA, OB, OC cú một tia nằm giữa hai tia cũn lại.
Khụng làm giảm tớnh tổng quỏt, ta sử giả tia OB nằm giữa hai tia OA, OC.
Khi đú ta cú ãAOB BãOC ãAOC .
Nhưng do ãAOB BãOC ãAOC nờn ãAOB ãAOB ãAOB do đú ãAOB 0 , suy ra hai tia OA, OB trựng 
nhau, trỏi giả thiết.
Vậy điều giả sử là sai, suy ra trong ba tia đó cho khụng cú tia nào nằm giữa hai tia cũn lại.
C. Bài tập vận dụng
 Chứng minh hai đường thẳng cắt nhau
6.1. Chứng minh định lớ: Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thỡ nú cũng cắt 
đường thẳng kia.
 Hướng dẫn giải (h.6.9)
Cho a / /b , c cắt a tại O. Ta phải chứng minh c cắt b. 
Giả sử c khụng cắt b thỡ c / /b . Như vậy qua điểm O cú hai đường thẳng là a 
và c cựng song song với b, trỏi với tiờn đề Ơ-clớt. Vậy điều giả sử là sai, suy 
ra c cắt b.
6.2. Cho hai đường thẳng a và b vuụng gúc với nhau tại O. Chứng minh rằng 
nếu đường thẳng c khụng vuụng gúc với b thỡ hai đường thẳng a và c cắt nhau.
 Hướng dẫn giải (h.6.10)
 Trường hợp đường thẳng c đi qua O thỡ c và a cắt nhau tại O.
 Trường hợp đường thẳng c cắt b tại K O :
Giả sử c và a khụng cắt nhau thỡ chỳng song song với nhau.
Vỡ b  a nờn b  c , trỏi giả thiết. Vậy c và a phải cắt nhau. 
6.3. Cho gúc xOy khỏc gúc bẹt. Trờn tia Ox lấy điểm A, trờn tia Oy lấy điểm B. Từ A vẽ đường thẳng 
a  Ox , từ B vẽ đường thẳng b  Oy . Chứng minh rằng hai đường thẳng a và b cắt nhau.
 Hướng dẫn giải (h.6.11)  Giả sử a và b trựng nhau. Như vậy, qua O cú hai đường thẳng là Ox và 
Oy cựng vuụng gúc với đường thẳng a (hoặc b), vụ lớ. Vậy a và b khụng 
trựng nhau. (1)
 Giả sử a / /b
Ta cú Ox  a nờn Ox  b . Mặt khỏc Oy  b (gt), như vậy qua điểm O cú 
hai đường thẳng là Ox và Oy cựng vuụng gúc với đường thẳng b, vụ lớ.
Vậy điều giả sử là sai, suy ra a và b khụng song song. (2)
Từ (1) và (2) suy ra a cắt b.
6.4. Hỡnh 6.6 cú gúc AOB nhọn, À 134; Bà 135 . Chứng minh rằng Ax và By khụng song song.
 Hướng dẫn giải (h.6.12)
Giả sử Ax / /By . Trong gúc AOB vẽ tia Ot / / Ax thỡ Ot / /By (vỡ Ax / /By ).
 ả à ả
Ta cú O1 A 180 O1 180 134 46.
ả à ả
O2 B 180 O2 180 135 45 .
 ả ả ã
Do đú O1 O2 46 45 hay AOB 91 90 .
Điều này mõu thuẫn với giả thiết là gúc AOB nhọn.
Vậy điều giả sử là sai, suy ra Ax và By khụng song song.
6.5. Hỡnh 6.7 cú gúc A tự, AB  BD, AC  CE . Vẽ tia Bx và Cy lần lượt là tia phõn giỏc của cỏc gúc ABD 
và ACE. Chứng minh rằng cỏc đường thẳng Bx và Cy cắt nhau.
 Hướng dẫn giải (h.6.13)
Ta cú AB  BD, AC  CE ãABD ÃCE 90 .
Do đú Ã Bx ãACy 45 .
Ta chứng minh Bx và Cy cắt nhau bằng phương phỏp phản chứng.
Giả sử Bx / /Cy . Ở trong gúc A ta vẽ At / /Bx thỡ At / /Cy (vỡ 
Bx / /Cy ).
 à ã ả ã
Ta cú A1 ABx 45 (cặp gúc so le trong); A2 ACy 45 (cặp 
gúc so le trong). 
 à ả ã
Do đú A1 A2 90 hay BAC 90 trỏi giả thiết là gúc A tự. Vậy điều giả sử là sai, suy ra hai đường thẳng Bx và Cy cắt nhau.
6.6. Cho hai điểm A và B nằm ngoài đường thẳng m. Qua A vẽ 50 đường thẳng trong đú cú đường thẳng 
qua B. Qua B vẽ 50 đường thẳng trong đú cú đường thẳng qua A. Hỏi ớt nhất cũng cú bao nhiờu giao điểm 
của đường thẳng m với cỏc đường thẳng đó vẽ?
 Hướng dẫn giải (h.6.14)
Trong số 50 đường thẳng vẽ qua A ớt nhất cũng cú 49 đường thẳng 
cắt m. 
Ta chứng minh điều này bằng phản chứng.
Giả sử cú chưa đến 49 đường thẳng cắt m, suy ra ớt nhất cũng cũn 2 
đường thẳng khụng cắt m. Hai đường thẳng này cựng đi qua A và 
cựng song song với m. Điều này vụ lớ vỡ nú trỏi với tiờn đề Ơ-clớt. 
Vậy điều giả sử là sai, do đú ớt nhất cũng cú 49 đường thẳng cắt m.
 Nếu đường thẳng AB / /m thỡ số giao điểm của đường thẳng m 
với cỏc đường thẳng đó vẽ ớt nhất cũng là 49 49 98 (điểm).
 Nếu đường thẳng AB và đường thẳng m khụng song song thỡ giao điểm của đường thẳng AB với đường 
thẳng m cũng là giao điểm của đường thẳng BA với đường thẳng m. Do đú số giao điểm của đường thẳng 
m với cỏc đường thẳng đó vẽ ớt nhất cũng là 49 49 1 97 (điểm).
 Chứng minh hai gúc khụng bằng nhau. Tớnh số đo gúc
 à à à ả
6.7. Trong hỡnh 6.8, cho biết A1 B1 . Chứng minh rằng C1 D1 .
 Hướng dẫn giải (h.6.8)
 à ả
Giả sử C1 D1 , suy ra AC / /BD (vỡ cú cặp gúc đồng vị bằng nhau).
 à à
Do đú A1 B1 (cặp gúc so le trong).
Điều này trỏi giả thiết.
 à ả
Vậy điều giả sử là sai, do đú C1 D1 .
6.8. Cho 9 đường thẳng cắt nhau tại O tạo thành một số gúc khụng cú điểm trong chung. Chứng minh 
rằng trong cỏc gúc đú tồn tại một gúc lớn hơn hoặc bằng 20 và tồn tại một gúc nhỏ hơn hoặc bằng 20.
 Hướng dẫn giải (h.6.15)
9 đường thẳng cắt nhau tại O tạo thành 18 gúc khụng cú điểm trong chung. 
Tổng của 18 gúc này bằng 360 (*)
 Nếu tatỏ cả cỏc gúc đều nhỏ hơn 20 thỡ tổng của chỳng nhỏ hơn 
20.18 360 , mõu thuẫn với (*). Vậy tồn tại một gúc lớn hơn hoặc bằng 
20.  Nếu tất cả cỏc gúc đều lớn hơn 20 thỡ tổng của chỳng lớn hơn 20.18 360 , mõu thuẫn với (*). Vậy 
tồn tại một gúc nhỏ hơn hoặc bằng 20.
6.9. Qua điểm O ở ngoài đường thẳng a vẽ một số đường thẳng khụng phải tất cả đều cắt a. Những đường 
thẳng cắt a thỡ tạo với đường thẳng a được 78 tam giỏc chung đỉnh O. Chứng minh rằng trong số những 
đường thẳng đó vẽ qua O ớt nhất cũng cú hai đường thẳng cắt nhau theo một gúc nhỏ hơn 13 .
 Hướng dẫn giải (h.6.16)
Gọi số đường thẳng vẽ qua O và cắt đường thẳng a là n. Số tam giỏc 
đỉnh O cú cạnh đối diện nằm trờn đường thẳng a được tớnh theo 
 n n 1 
cụng thức .
 2
 n n 1 
Theo đề bài ta cú 78
 2
 n n 1 156 13.12 n 13.
Vậy cú 13 đường thẳng đi qua O và cắt đường thẳng a. Theo đề bài, qua O cũn cú đường thẳng khụng cắt 
a. Theo tiờn đề Ơ-clớt chỉ cú một đường thẳng như thế. Vậy số đường thẳng đó vẽ qua O là 14.
14 đường thẳng này tạo nờn 28 gúc đỉnh O khụng cú điểm trong chung và cú tổng số đo bằng 360 . (*)
Vậy ớt nhất phải cú một gúc nhỏ hơn hoặc bằng 360 : 28 1251 13 vỡ nếu khụng cú gúc nào nhỏ hơn 
13 thỡ tổng của 28 gúc này sẽ lớn hơn hoặc bằng 13.28 364 , mõu thuẫn với (*).
 Cỏc dạng khỏc
6.10. Chứng minh định lớ: Trờn tia Ox cú OM a,ON b . Nếu a b thỡ điểm M nằm giữa hai điểm O 
và N.
 Hướng dẫn giải (h.6.17)
 Điểm O khụng nằm giữa hai điểm M và N (1) vỡ M và N nằm trờn 
tia Ox.
 Giả sử điểm N nằm giữa hai điểm O và M thỡ ON NM OM 
do đú b NM a .
Suy ra NM a b 0 (vỡ a b ). Điều này vụ lớ vỡ NM 0 .
Vậy điều giả sử là sai, do đú điểm N khụng nằm giữa hai điểm O và M. (2)
Trong ba điểm O, M, N thẳng hàng phải cú một điểm nằm giữa hai điểm cũn lại nờn từ (1) và (2) suy ra 
điểm M nằm giữa O và N.
6.11. Chứng minh rằng nếu hai tia Ox và Oy thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ chứa tia Oz sao cho 
zãOx zãOy 180 thỡ hai tia Ox, Oy đối nhau.
 Hướng dẫn giải (h.6.18)
Giả sử hai tia Ox, Oy khụng đối nhau. Ta vẽ tia Oy là tia đối của tia Ox.
Khi đú zãOx zãOy 180 (hai gúc kề bự). 
Mặt khỏc, zãOx zãOy 180 (gt).
Suy ra zãOy zãOy (cựng bự với zãOx ). Điều này vụ lớ vỡ trờn 
cựng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Oz bao giờ cũng cú một 
và chỉ một tia Oy sao cho zãOy m .
Vậy điều giả sử là sai, do đú hai tia Ox, Oy đối nhau.
6.12. Vẽ 9 đoạn thẳng trờn mặt phẳng. Hỏi cú thể xảy ra trường hợp mỗi đoạn thẳng cắt đỳng 5 đoạn 
thẳng khỏc khụng?
 Hướng dẫn giải
Khụng thể xảy ra trường hợp mỗi đoạn thẳng cắt đỳng 5 đoạn thẳng khỏc. Ta chứng minh bằng phản 
chứng.
Giả sử mỗi đoạn thẳng cắt đỳng 5 đoạn thẳng khỏc.
Như vậy với cả 9 đoạn thẳng ta được 9.5 45 trường hợp hai đoạn thẳng cắt nhau. Nhưng như thế thỡ 
mỗi trường hợp đó được tớnh hai lần (vỡ đoạn thẳng AB cắt đoạn thẳng CD thỡ ngược lại, đoạn thẳng CD 
 45 45
cắt đoạn thẳng AB) do đú thực sự chỉ cú trường hợp hai đoạn thẳng cắt nhau. Vỡ Ơ nờn điều giả 
 2 2
sử là sai.
Do đú khụng thể xảy ra trường hợp mỗi đoạn thẳng cắt đỳng 5 đoạn thẳng khỏc.