Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 - Chuyên đề 6: Phân số - Nguyễn Văn Ma

 CHUYÊN ĐỀ PHÂN SỐ
 Dạng 1: TÌM N ĐỂ PHÂN SỐ TỐI GIẢN
Bài 1: Tìm n N để các phân số tối giản:
 n 7 n 13 2n 3 3n 2
a, A b, B c, C d, A 
 n 2 n 2 4n 1 7n 1
HD:
 n 2 9 9
 a, A 1 
 n 2 n 2
 9
 Để A tối giản thì tối giản hay n 2 3k n 3k 2(k N)
 n 2
 n 2 15 15
 b, A 1 
 n 2 n 2
 15
 Để A tối giản thì tối giản hay n 2 3k n 3k 2(k N) và n 2 5h n 5h 2(h N)
 n 2
 c, Gọi d =UCLN( 2n+3; 4n+1) => 2( 2n+3) - (4n +1) d=> 5 d, 
 Để C tối giản thì d # 5 hay 2n+3 # 5k => 2n+8 # 5k=>n # 5k – 4 (k N)
 d, Gọi d=UCLN (3n+2; 7n+1) => 7(3n+2) - 3(7n+1) d => 11d, 
 Để A tối giản thì d # 11 hay 3n+2 # 11k=> n # 11k+3 (k N)
Bài 2: Tìm n N để các phân số tối giản:
 2n 7 8n 193 18n 3 21n 3
a, A b, C c, A d, A 
 5n 2 4n 3 21n 7 6n 4
HD:
 a, Gọi d UCLN 3n 2;2n 7 5 2n 7 2 5n 2 d 31d 
 Để A tối giản thì d 31 2n 7 31 2n 7 31 31 2 n 19  31 n # 31k – 19 (k N)
 b, Gọi d UCLN 8n 193;4n 3 8n 193 2 4n 3 d 187d 
 Mà 187 11.17 , Nên để C tối giản thì: d 11,d 17 
 TH1: d 11 4n 311 4n 3 1111 4n 811 n 211k n 11k 2 k N 
 TH2: d 17 4n 317 4n 3 1717 4 n 5 17 n 17h 5 h N * 
 c, Gọi d UCLN 18n 3;21n 7 7 18n 3 6 21n 7 d 21d 
 Mà 21 3.7 , Nên để A tối giản thì d 3,7 
 Thấy hiển nhiên d 3, 21n 7 3 
 Với d 7 18n 3 7 18n 3 3 6n 1  7 6n 1 7 7 n 7k 1 
 d, Gọi d UCLN 21n 3;6n 4 2 21n 3 7 6n 4 d 22d 
 Mà 22 = 2.11, Nên để A tối giản thì: d 2,d 11 
 TH1: d 2 21n 3 2k n là số chẵn
 TH2: d 11 6n 411 6n 4 2211 n 311 n 11k 3 
 n 3
Bài 3: Tìm n N để các phân số tối giản: B 
 n 12
 21n 3
Bài 4: Tìm n để A rút gọn được
 6n 4
HD:
 Giả sử tử và mẫu cùng chia hết cho số nguyên tố d => 22 d=> d=2 hoặc d=11
 TH1: d=1=> 6n+4 2 với mọi n và 21n +3 2 khi n lẻ
 TH2: d=11=> 21n +311=> n – 3 11=> n = 11k +3 => Với n= 11k+3 => 6n+411
Nguyễn Văn Ma 1 7n2 1 n n
Bài 5: CMR nếu phân số : là số tự nhiên với n N thì các phân số và là các phân số tối giản ?
 6 2 3
HD : 
 7n2 1
 Vì phân số là số tự nhiên với mọi n nên 7n2 16 => n lẻ và n không chia hết cho 3
 6
 n n
 Vậy ; là các phân số tối giản
 2 3
 a3 2a2 1
Bài 6: Cho biểu thức A 
 a3 2a2 2a 1
a/ Rút gọn biểu thức
b/ CMR nếu a là số nguyên thì giá trị của biểu thức tìm được của câu a là 1 phân số tối giản
 n 3
Bài 7: Tìm tất cả các số tự nhiên n để là phân số tối giản
 n 12
 3n 1
Bài 8: Tìm các giá trị nguyên của n để phân số M có giá trị là số nguyên
 n 1
HD:
 3n 1
 M Z 3n 1n 1 3 n 1 2n 2 2n 1
 n 1
Nguyễn Văn Ma 2 Dạng 2: CHỨNG MINH PHÂN SỐ LÀ TỐI GIẢN
Bài 1: Chứng minh các phân số sau tối giản:
 n 1 2n 3 5n 3 n3 2n
a, b, c, d, 
 2n 3 3n 5 3n 2 n4 3n2 1
HD:
 n 1d
 a, Gọi d UCLN n 1;2n 3 2 n 1 2n 3 d 1d d 1 
 2n 3d
 2n 3d
 b, Gọi d UCLN 2n 3;3n 5 3 2n 3 2 3n 5 d 1d d 1 
 3n 5d
 5n 3d
 c, Gọi d UCLN 5n 3;3n 2 5 3n 2 3 5n 3 d 1d d 1 
 3n 2d
 n2 1d
 d, Gọi d UCLN n3 2n;n4 3n2 1 n n3 2n n4 3n2 1 d 
 3
 n 2nd
 nd n2 d
 n3 2n n n2 1 d 1d d 1
 2 2
 n 1d n 1d
Bài 2: Chứng minh các phân số sau tối giản:
 16n 5 14n 3 2n 1 2n 3
a, b, c, d, 
 6n 2 21n 4 2n(n 1) 4n 8
HD:
 a, Gọi d UCLN 16n 5;6n 2 8 6n 2 3 16n 5 d 1d d 1 
 14n 3d
 b, Gọi d UCLN 14n 3;21n 4 3 14n 3 2 21n 4 d1d d 1 
 21n 4d
 n 2n 1 d 2n2 nd nd
 c, Gọi d UCLN 2n 1;2n2 2n 
 2 2 
 2n 2nd 2n 2nd 2n 1d
 2n 1 2nd 1d d 1 
 2n 3d
 d, Gọi d UCLN 2n 3;4n 8 4n 8 2 2n 3 d 2d d 1,d 2 
 4n 8d
 Vì 2n 3d mà 2n+3 là số lẻ nên d lẻ, vậy d 2 loại 
Bài 3: Chứng minh các phân số sau tối giản:
 3n 2 n 12n 1
a, b, c, 
 5n 3 n 1 30n 2
HD:
 5n 3d
 a, Gọi d UCLN 5n 3;3n 2 5 3n 2 3 5n 3 d 1d d 1
 3n 2d
 n 1d
 b, Gọi d UCLN n;n 1 n 1 nd 1d d 1 
 nd
 12n 1d
 c, Gọi d UCLN 12n 1;30n 2 5 12n 1 2 30n 2 d 1d d 1, 
 30n 2d
Nguyễn Văn Ma 3 Bài 4: Tìm n Z để các phân số sau là số nguyên:
 6 n 2n 7 12
a, b, c, d, 
 n 3 n 4 n 3 3n 1
HD:
 6
 a, Để A Z n 3 U 6 1; 2; 3; 6 n ... 
 n 3
 n n 4 4 4
 b, Để B 1 Z n 4 U 4 1; 2; 4 
 n 4 n 4 n 4
 2n 7 2n 6 1 1
 c, Để C 2 Z n 3 U 1 1 n ... 
 n 3 n 3 n 3
 12
 d, Để D Z 3n 1 U 12 1; 2; 4 , Vì 3n 1 3 
 3n 1
Bài 5: Tìm n Z để các phân số sau là số nguyên:
 3n 2 6n 4 3n 4 6n 3
a, b, c, d, 
 n 1 2n 3 n 1 3n 1
HD:
 3n 2 3n 3 5 5
 a, Để A 3 Z n 1 U 5 1; 5 
 n 1 n 1 n 1
 6n 4 6n 9 13 13
 b, Để B 3 Z 2n 3 U 13 1;13 
 2n 3 2n 3 2n 3
 3n 4 3n 3 7 7
 c, Để C 3 Z n 1 U 7 1; 7 
 n 1 n 1 n 1
 6n 3 6n 2 5 5
 d, Để D 2 Z 3n 1 U 5 1; 5 
 3n 1 3n 1 3n 1
 63
Bài 6: Cho phân số A với n N, tìm n để A là số tự nhiên
 3n 1
Bài 7: Tìm n Z để các phân số sau là số nguyên:
 n 10 n 3 2n 3 n2 3
a, b, c, d, 
 2n 8 2n 2 7 n 2
HD :
 a, Ta có : 2n – 8 =2(n-4) => n+10 2 và n+10  n – 4 hay n là số chẵn và n 10n 4 
 b, Ta có : 2n – 2 =2(n – 1)=> n+3 2 và n+3 n – 1 hay n là số lẻ và n 3n 1 
 c, Ta có : 2n+37 => 2n+107= >n+57 => n= 7k – 5 (k N)
 d, Ta có : n2 2n 2n 3n 2 n(n 2) 2n 4 7n 2 n(n 2) 2(n 2) 7n 2=>7n+2
 8n 193
Bài 8: Tìm n N để A sao cho:
 4n 3
a, Có giá trị là số tự nhiên b, Là phân số tối giản c, Với n từ 150-170 thì A rút gọn được
HD :
 187
 a, A 2 để A là số tự nhiên thì 4n+3 U(187) = 1; 11; 17; 187
 4n 3
 187
 b, Để A tối giản thì tối giản hay 187 không chia hết cho 4n+3 hay 4n+3 # 11k và 4n+3 # 17
 4n 3
 100 11k 2 170
 c, Để A rút gọn được thì n = 11k + 2 hoặc n = 17h – 5=> 
 100 17h 5 170
Nguyễn Văn Ma 4 3a 5b 2
Bài 9: CMR nếu (a – 1; b+1) thì A là phân số tối giản
 5a 8b 3
HD:
 Gọi d=UCLN(3a+5b+2; 5a+8b+3) => 5(3a+5b+2) – 3(5a+8b+3) d=> b+1 d
 Và 8(3a+5b+2) – 5(5a+8b+3) d=> a – 1 d => d UC( a – 1; b+1) 
 Mà UCLN( a – 1; b+1) =1 => d =1; - 1 
 2 n 4
Bài 10: Tìm n Z sao cho cả A và B là các số nguyên
 n 1 n 1
 n 9
Bài 11: Cho phân số A (n Z, n > 6), Tìm n để phân số có giá trị nguyên dương
 n 6
 75
Bài 12: Cho phân số A (n N*). Tìm n để
 5n 2
a, Phân số A là số tự nhiên b, A rút gọn được
 2n 7
Bài 13: Tìm n N để là số nguyên
 n 1
 1 2 3 2001 2002
Bài 14: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số sau tối giản: ; ; ;...; ;
 n 3 n 4 n 5 n 2003 n 2004
HD: 
 a
 Các phân số đã cho có dạng: với a=1; 2; 3; ...; 2001; 2002
 n 2 a
 a
 Để tối giản thì UCLN(n+2+a;a) =1, => UCLN(n+2; a)=1=> n+2 và a là nguyên tố cùng nhau
 n 2 a
 Với mỗi số 1,2,3,..., 2002 và n+2 nhỏ nhất thì n+2=2003( Vì 2003 là số nguyên tố)
 19 n
Bài 15: Tìm n để tích hai phân số và có giá trị ngyên
 n 1 9
 3x2 2
Bài 16: Tìm x để giá trị của biểu thức: P là số nguyên
 3x2 1
 2017 x
Bài 17: Cho T , tìm các giá trị nguyên của x để: T có giá trị nguyên, T có giá trị lớn nhất
 10 x
 x 2
Bài 19: Cho M , biết x là số hữu tỉ âm, và M là số nguyên, Tìm x
 x 1
Nguyễn Văn Ma 5 Dạng 3: TÌM N ĐỂ PHÂN SỐ CÓ GTLN HOẶC GTNN
Bài 1: Tìm n Z để các phân số sau có GTNN:
 6n 4 6n 1 x 13 2x 4
a, A b, B c, A d, B 
 2n 3 3n 2 x 3 x 1
HD:
 13 13
 a, Do n Z nên 2n+3 Z , Để A 3 nhỏ nhất thì số dương lớn nhất 
 2n 3 2n 3
 khi 2n+3 là số nguyên dương nhỏ nhất=> 2n+3 =1=> n = -1
 5 5
 b, Do n Z nên 3n+2 Z , Để B 2 nhỏ nhất thì là số dương lớn nhất 
 3n 2 3n 2
 hay 3n+2 là số nguyên dương bé nhất => 3n+2 =1 =>n = -1/3( loại) nên 3m+2 =2=> n=0
 16 16
 c, Do x Z nên x+3 Z Để A 1 nhỏ nhất thì là số dương lớn nhất 
 x 3 x 3
 hay x+3 là số nguyên dương nhỏ nhất hay x+3 =1=> x = - 2 
 2 2
 d, Do x Z nên x+1 Z để B 2 nhỏ nhất thì là số âm nhỏ nhất 
 x 1 x 1
 hay x+1 là số nguyên âm lớn nhất hay x+1 = - 1 => x = - 2 
Bài 2: Tìm n Z để các phân số sau có GTNN:
 10x 25 3x 7 20a 13 3
a, E b, A c, B d, D 
 2x 4 x 1 4a 3 2x 5
HD:
 5 5
 a, Do x Z nên 2x+4 Z Để E 5 nhỏ nhất thì là số âm nhỏ nhất 
 2x 4 2x 4
 hay 2x+4 là số nguyên âm lớn nhất hay 2x+4 = - 1 => x= - 5/2 (loại) khi đó 2x+4 = - 2 => x= - 3
 10 10
 b, Do x Z nên x-1 Z Để A 3 nhỏ nhất thì là số âm nhỏ nhất 
 x 1 x 1
 hay x -1 là số nguyên âm lớn nhất hay x - 1 = - 1=> x=0
 2 2
 c, Do a Z nên 4a+3 Z Để B 5 nhỏ nhất thì là số dương lớn nhất 
 4a 3 4a 3
 hay 4a+3 là số nguyên dương nhỏ nhất hay 4a+3 =1=> a =-1/2(loại) 
 hay 4a+3 =2 => a = -1/4(loại) hay 4a+3=3=> a=0
 3
 d, Do x Z nên 2x-5 Z , Đề D nhỏ nhất thì 2x – 5 là số nguyên dương bé nhất 
 2x 5
 hay 2x – 5 =1=> x =3
Bài 3: Tìm n Z để các phân số sau có GTNN:
 4n 1 2n 3 8 x 3
a, A b, B c, C d, E 
 2n 3 n 2 x 3 2n 5
HD:
 5 5
 a, Do n Z nên 2n+3 Z , Để A = 2 nhỏ nhất thì là số dương lớn nhất 
 2n 3 2n 3
 => 2n+3 là số nguyên dương nhỏ nhất => 2n+3=1=> n= - 1 
 7 7
 b, Do n Z nên n+2 Z , Để B 2 nhỏ nhất thì là số dương lớn nhất 
 n 2 n 2
 => n+2 là số nguyên dương nhỏ nhất=> n+2 =1=> n= - 1 
 5 5
 c, Do x Z nên x-3 Z , Để C 1 nhỏ nhất thì là số âm nhỏ nhất 
 x 5 x 5
 => x – 5 là số nguyên âm lớn nhất => x – 5 = - 1 => x= 4
 3 3
 d, Do n Z nên 2n-5 Z , Để E nhỏ nhất thì là số dương lớn nhất
 2n 5 2n 5
 => 2n-5 là số nguyên dương nhỏ nhất => 2n-5 =1=>n=3
Nguyễn Văn Ma 6 x
Bài 4: Tìm n Z để các phân số sau có GTNN: A 
 5x 2
HD :
 1 5x 1 2 2
 Do x Z nên 5x-2 Z , Để A 1 nhỏ nhất thì là số âm nhỏ nhất 
 5 5x 2 5 5x 2 5x 2
 1
 => 5x - 2 là số nguyên âm lớn nhất => 5x - 2= -1 x (loại) khi đó 5x - 2= - 2 => x = 0
 5
Bài 5: Tìm n Z để các phân số sau có GTLN
 n 1 14 n 7 x 1
a, C b, D c, E d, C 
 n 2 4 n x 5 4 x
HD:
 3 3
 a, Do n Z nên n-2 Z , Để C 1 lớn nhất thì là số dương lớn nhất 
 n 2 n 2
 khi đó n – 2 là số nguyên dương nhỏ nhất => n - 2 = 1=> n = 3
 10 10
 b, Do n Z nên 4 – n Z , Để D 1 lớn nhất thì là số dương lớn nhất 
 4 n 4 n
 hay 4 – n là số nguyên dương nhỏ nhất => 4 – n = 1 => n = 3
 2 2
 c, Do x Z nên x-5 Z , Để E 1 lớn nhất thì là số dương lớn nhất 
 x 5 x 5
 hay x – 5 là số nguyên dương nhỏ nhất => x – 5 = 1=> x = 6
 1 1
 d, Do x Z nên 4+x Z , Để C lớn nhất thì là số dương lớn nhất 
 4 x 4 x
 hay 4+x là số nguyên dương nhỏ nhất => 4 + x = 1 => x = 3
Bài 6: Tìm n Z để các phân số sau có GTLN
 5x 19 3 3n 1
a, D b, D c, C 
 x 9 2x 5 2n 3
HD:
 26 26
 a, Do x Z nên x-9 Z , Để D 5 lớn nhất thì là số dương lớn nhất 
 x 9 x 9
 hay x – 9 là số nguyên dương nhỏ nhất => x – 9 =1=> x = 10
 3 3
 b, Do x Z nên 2x-5 Z ,Để D lớn nhất thì là số ấm nhỏ nhất 
 2x 5 2x 5
 hay 2x -5 là số nguyên âm lớn nhất => 2 x – 5= - 1=> x = 2
 1 6n 2 1 7 
 c, Do n Z nên -2n + 3 Z , Để C 3 lớn nhất
 2 2n 3 2 2n 3 
 7
 hay là số dương lớn nhất, hay -2n + 3 là số nguyên dương bé nhất => -2n+3 =1 => n =1
 2n 3
Bài 7: Tìm n Z để các phân số sau có GTNN:
 7n 8 2n 3 1 8 x
a, A b, B c, D d, A 
 2n 3 n 2 n 3 x 3
Bài 8: Tìm n Z để các phân số sau có GTNN:
 x 3 14 x 1
a, B b, C c, D 
 x 2 4 x x 5
Bài 9: Tìm n Z để các phân số sau có GTLN
 1 n 1 6n 3 2n 3
a, C b, E c, D d, E 
 x 5 n 5 3n 1 n 2
Nguyễn Văn Ma 7 Bài 10: Tìm n Z để các phân số sau có GTLN
 n 1 4n 1 2n 3 6n 3
a, A b, B c, C d, E 
 n 5 2n 3 n 2 3n 1
Bài 11: Tìm n Z để các phân số sau có GTLN
 7n 8 2n 3 3n 1 6n 3
a, F b, G c, I d, K 
 2n 3 n 2 2n 3 3n 1
 10n 3
Bài 12: Tìm số tự nhiên n để B Đạt giá trị lớn nhất, Tìm GTLN đó
 4n 10
HD : 
 5 2n 5 22 5 11
 B 
 2 2n 5 2 2n 5
 1 6n
Bài 13: Tìm số nguyên n sao cho A đạt giá trị nhỏ nhất
 3x 2
Bài 14: Tìm các giá trị nguyên của x để:
 2 8 x
a, A có giá trị lớn nhất b, B có GTNN
 6 x x 3
 ab
Bài 15: Tìm GTNN của phân số : A 
 a b
 5x 19
Bài 16: Tìm GTNN của mỗi biểu thức: A , C x2 y2 nếu x+y=1
 x 4
Bài 17: Tìm các số tự nhiên a, b nhỏ nhất sao cho a7 b8 (1)
HD:
 7
 7 8 a 
 Từ a b => b vì b N nên a b => a=b.k (k N)
 b 
 a
 Và vì a > b => 1 k 2 , thay a = b.k vào (1) ta được b7.k 7 b8 k 7 b
 b
 Mà k 2 => k 7 27 b 27 mà b nhỏ nhất nên b 27 , khi đó k = 2 => a 27.2 28
 n
Bài 18: Cho số tự nhiên n có hai chữ số, chữ số hàng chục là x, hàng đơn vị là y, Gọi M 
 x y
a, Tìm n để M=2 b, Tìm n để M nhỏ nhất
HD: 
 10x y
 a, Ta có: 2 y 8x , Mà x,y là các chữ số nên x=1 và y=8
 x y
 x y 9x 9x 9 y
 b, M 1 1 để M nhỏ nhất thì 1 lớn nhất hay y lớn nhất và x nhỏ nhât
 y
 x y x y 1 x
 x
Nguyễn Văn Ma 8 Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN PHÂN SỐ
 30 1
Bài 1: Tìm a, b, c, d N* , biết : 
 1
 43 a 
 1
 b 
 1
 c 
 d
 17 11
Bài 2: Cộng cả tử và mẫu của phân số với cùng 1 số nguyên rồi rút gọn ta được phân số .
 21 13
Hãy tìm số nguyên đó ?
 3 1
Bài 3: Khi cộng cả tử và mẫu của phân số với cùng 1 số nguyên x thì được 1 phân số có giá trị bằng . Tìm 
 7 3
số nguyên x?
Bài 4: Tìm 1 phân số tối giản, Biết rằng khi cộng cả tử và mẫu của phân số ấy với mẫu của số đó thì được 1 số 
mới lớn giấp hai lần phân số ban đầu ?
HD: 
 a
 Gọi phân số tối giản lúc đầu là , nếu chỉ cộng mẫu số vào mẫu số ta được phân số : 
 b
 a a a
 phân số này nhỏ hơn phân số là 2 lần, 
 b b 2b b
 a b
 Để gấp hai lần phân số ban đầu thì a+b giấp 4 lần a
 2b
 1
 => Mẫu số b phải giấp 3 lần tử số a, phân số tối giản thỏa mãn điều kiện trên là 
 3
 a a 9 21
Bài 5: Tìm phân số tối giản nhỏ nhât khác 0 sao cho khi chia cho mỗi phân số và ta được kết quả 
 b b 14 35
là 1 số tự nhiên
Bài 6: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số sau tối giản: 
 1 2 3 2001 2002
 ; ; ;...; ;
 n 3 n 4 n 5 n 2003 n 2004
HD :
 a a
 Các phân số trên có dạng ,a 1,2,3,...,2002 , để tối giản thì :
 n 2 a n 2 a
 UCLN(a;n a 2) 1 UCLN(n 2;a) 1 n+2 và a là hai số nguyên tố cùng nhau
 Với mỗi số : 1,2,3,...,2002 và n+2 nhỏ nhất =>n+2=2003 là số nguyên tố=> n=2001
 1 1 1 1 51
Bài 7: Cho 50 số tự nhiên: a1,a2 ,a3,...,a50 , t/ m : ... , Chứng minh rằng trong 50 số đó 
 a1 a2 a3 a50 2
có ít nhất hai số bằng nhau
Nguyễn Văn Ma 9