Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 - Số nguyên tố và số chính phương

CHUYÊN ĐỀ SỐ NGUYÊN TỐ VÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
A, LÝ THUYẾT
1. Số nguyên tố:
Tìm các ước của 2; 3; 4; 5; 6
Các số 2; 3; 5 chỉ có hai ước là 1 và chính nó nên gọi là số nguyên tố, còn 4 và 6 có nhiều hơn hai ước nên gọi là hợp số
Đ/N: 	Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước là 1 và chính nó
	Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước
Chú ý: Số 0, 1 không là số nguyên tố cũng không là hợp số
	Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhât, các số nguyên tố còn lại đều là số lẻ
Các số nguyên tố < 20 là 2; 3; 5;7; 11; 13; 17; 19
B, LUYỆN TẬP
Dạng 1: TÌM SỐ NGUYÊN TỐ
Bài 1: Tổng hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số:
a, 3.4.5+6.7	b, 5.7.9.11-2.3.4.7	c, 3.5.7+11.13.17	d, 16354+67541
HD:
	a, 	Ta có: , Vậy tổng trên là hợp số
	b, 	Ta có: , Vậy tổng trên là hợp số
	c, 	Ta có : có chữ số tận cùng là 5 nên chia hết cho 5, Vậy tổng trên là hợp số
Bài 2: Tổng hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số:
a, 5.6.7+8.9	b, 5.7.9.11.13-2.3.7	c, 5.7.11+13.17.19	d, 4253+1422
HD :
	a, 	Ta có : , Vậy tổng trên là hợp số
	b, 	Ta có : , Vậy tổng trên là hợp số
	c, 	Ta có : là 1 số lẻ, và cũng là 1 số lẻ, Nên tổng là số chẵn2=> Là hợp số
	d, 	Ta có : có chữ số tận cùng là 5 nên chia hết cho 5, Vậy tổng trên là hợp số
Bài 3: Tổng hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số:
a, 17.18.19.31+11.13.15.23	b, 41.43.45.47+19.23.29.31	c, 987654+54321
HD :
	a, 	Ta có: , là hợp số
	b, 	Ta có: là số lẻ, là số lẻ, nên tổng là số chẵn nên là hợp số
	c, 	Ta có : có chữ số tận cùng là 5 nên chia hết cho 5, là hợp số
Bài 4: Tổng hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số:
a, 5.31.19.101+62.131.1989.17	b, 23.161.121.19-13.157.22.17	c, 123456789+729
Bài 5: Tổng hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số:
a, 5.7.8.9.11-132	b, 4.5.6+9.13	c, 7.11.13-5.6.7	d, 17.19.23+23.25.27
Bài 6: Tổng hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số:
a, 11.13.17-121	b, 15+3.40+8.9	c, 5.7.9-2.5.6	d, 90.17-34.40+12.51
Bài 7: Tổng hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số:
a, 2010+4149	b, 	c, 7.8.9.10-2.3.4.5	d, 
HD :
	d, Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 3 
Bài 8: Tổng hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số: 1.2.3 . n + 1
HD :
	Xét là số nguyên tố
	Xét là hợp số. Vậy không kết luận được
Bài 9: Cho a=2.3.4.5 .2008. Hỏi 2007 số tự nhiên liên tiếp sau có đều là hợp số không
a+2, a+3, a+4, .. , a+2008
HD:
	Ta có: 2007 số trên đều là hợp số vì chúng lần lượt chia hết cho 2; 3; 4; ; 2008, Và lớn hơn 2
Bài 10: Thay chữ số d vào số để được 1 hợp số
HD:
	Vì 
	Nếu => là hợp số
	Nếu => là hợp số
	Nếu => là hợp số
	Nếu là số nguyên tố 
Bài 11: Thay chữ số vào * để là số nguyên tố
HD:
	Vì 
	Nếu là hợp số
	Nếu là hợp số
	Nếu là số nguyên tố
Bài 12: Thay chữ số vào * để là số nguyên tố
Bài 13: Thay a vào để được 1 số nguyên tố
Bài 14: Thay chữ số vào 8 để là hợp số
Bài 15: Thay chữ số vào * để là số nguyên tố
Bài 16: Tìm số tự nhiên k để 3.k là số nguyên tố, 7.k là số nguyên tố
HD:
	Vì 3.k chia hết cho 3, nên để là số nguyên tố thì 3k chỉ có 2 ước là 1 và chính nó, Vậy k=1
	Vì 7.k chia hết cho 7, nên để là số nguyên tố thì 7k chỉ có 2 ước là 1 và chính nó, Vậy k=7
Bài 17: Thay dấu * bằng chữ số thích hợp để mỗi số sau là số nguyên tố: 
Bài 18: Các số sau đây là số nguyên tố hay hợp số: 
a, ( 2010 số 1) 	b, ( 2009 số 3)	c, n(n+1),n > 0	d, 3.5.7.9-28	
HD:
	a, 	Số (2010 số 1) => là hợp số
	b, 	Số => Là hợp số
	c, 	Số có 2 TH : 	
Nếu là số nguyên tố
	Nếu là hợp số vì n và n+1
	d, 	Số => là hợp số
Bài 19: Các số sau đây là số nguyên tố hay hợp số: 
a, 3.	b, 111 1 (2001 chữ số 1)	c, 	d, 1112111
HD:
	a, 	Với là số nguyên tố
	Với là hợp số
	b, 	Số ( 2001 chữ số 1) có tổng các chữ số là 20013=> là hợp số
	c, 	Với là số nguyên tố
	Với là hợp số
	d, 	Số là hợp số	
Bài 20: Các số sau đây là số nguyên tố hay hợp số: 
a, 111 1(2000 số 1)	b, 1010101	c, 311141111
HD:
	a, 	Số (2000 số 1) chia hết cho 11 nên là hợp số
	b,	Số nên là hợp số
	c, 	Số chia hết cho 31111 nên là hợp số 
Bài 21: Tìm tất cả các số tự nhiên n để 
a, là số nguyên tố	b, là số nguyên tố
HD :
	a, 	Ta có : , Vì có thêm 2 ước là n và n+2
	Để là số nguyên tố thì (thỏa mãn)
	b, 	Nếu là số nguyê tố
	Nếu là hợp số
Bài 22: Tìm số nguyên tố p sao cho: 
a, p+2, p+4 cũng là số nguyên tố 	b, p+10, p+14 là số nguyên tố
HD :
	a, Giả sử với là số nguyên tố => là hợp số 
	Với là số nguyên tố đều là số nguyên tố=> 
	Với 
	Nếu giả sử là số nguyên tố là hợp số => 
	Nếu giả sử là số nguyên tố => là hợp số=> 
	Vậy p = 3 là số nguyên tố cần tìm
	b, Giả sử với là số nguyên tố là hợp số 
	Với là số nguyên tố đều là số nguyê tố 
	Với 
	Nếu giả sử là số nguyên tố là hợp số 
	Nếu giả sử là số nguyên tố là hợp số 
	Vậy p = 3 là số nguyên tố cần tìm
Bài 23: Tìm số nguyên tố p sao cho: 
a, p+2, p+6, p+8, p+14 cũng là số nguyên tố	b, p+6, p+8, p+12, p+14 cũng là số nguyên tố
HD :
	a, Giả sử với là số nguyên tố => là hợp số=> 
	Với là số nguyên tố là hợp số=> 
	Với là số nguyên tố => đều là số nguyên tố
	Với 
Nếu giả sử là số nguyên tố là hợp số 
Nếu giả sử là số nguyên tố là hợp số 
Nếu giả sử là số nguyên tố là hợp số 
Nếu giả sử là số nguyên tố là hợp số 
Vậy p=5 là số nguyên tố cần tìm
Bài 24: Tìm số nguyên tố p sao cho: 
a, p+4, p+8 cũng là số nguyên tố	b, p+94, p+1994 cũng là số nguyên tố	
HD :
	b, Giả sử với là số nguyên tố => là hợp số 
	Với là số nguyên tố đều là số nguyên tố=> 
	Với 
	Nếu giả sử là số nguyên tố là hợp số => 
	Nếu giả sử là số nguyên tố => là hợp số=> 
	Vậy p = 3 là số nguyên tố cần tìm
Bài 25: Tìm số nguyên tố p sao cho: 
a, p+18, p+24, p+26, p+32 cũng là số nguyên tố 	b, p+2, p+10 cũng là số nguyên tố	
Bài 26: Tìm số nguyên tố p sao cho: p+2, p+8, p+16 đều là số nguyên tố
Bài 27: Tìm số nguyên tố p sao cho:
a, 2p-1, 4p-1 cũng là số nguyên tố	b, 2p+1, 4p+1 cũng là số nguyên tố
HD:
	a, 	Giả sử với là số nguyên tố => là số nguyên tố 
	Với là số nguyên tố đều là số nguyên tố=> 
	Với 
	Nếu giả sử là số nguyên tố là hợp số 
=> 
	Nếu giả sử là số nguyên tố => là hợp số
=> 
	Vậy p = 3 và p = 2 là số nguyên tố cần tìm
	b,	 Giả sử với là số nguyên tố => là hợp số 
	Với là số nguyên tố đều là số nguyên tố=> 
	Với 
	Nếu giả sử là số nguyên tố là hợp số 
=> 
	Nếu giả sử là số nguyên tố => là hợp số
=> 
	Vậy p = 3 là số nguyên tố cần tìm
Bài 28: Tìm tất cả các số tự nhiên n để n+1, n+3, n+7, n+9, n+13, n+15 đều là số nguyên tố
Bài 29: Tìm tất cả các số nguyên tố p, q sao cho 7p+q và pq+11 cũng là số nguyên tố
HD :
	Nếu là số nguyên tố thì nó phải là số lẻ vì nó là số nguyên tố lớn hơn 2
	Suy ra là số chẵn, khi đó ít nhất 1 trong 2 số p hoặc q bằng 2
	Giả sử : là số nguyên tố
	Nếu 
	Nếu và 
	Nếu 
	Với là hợp số 
	Với là hợp số 
	Vậy 
	Xét tiếp TH giả sử thì ta được 
Bài 29 : Cho p và p + 4 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng p + 8 là hợp số
Bài 30: Tìm số nguyên tố k để 5k là số nguyên tố
HD :
	Thấy 5k luôn có 2 ước là 1 và chính nó
	Nên là hợp số
	Để là số nguyên tố thi k=1
Bài 31: Tìm số nguyên tố p sao cho 5p+7 là số nguyên tố
HD :
	Nhận thấy là số nguyê tố, và cũng là số nguyên tố
	Ngoài thì p chỉ có thể là 
	Nếu là hợp số, nên 
	Vậy p=2 là số nguyên tố cần tìm
Bài 32: Tìm số tự nhiên k để 11k cũng là số nguyên tố
Bài 33: Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên n (n>1) luôn tìm được n số tự nhiên liên tiếp đều là hợp số
HD :
	Chọn số tự nhiên 
	Khi đó ta có n số tự nhiên liên tiếp là đều là hợp số 
Vì n số trên lần lượt chia hết cho 
Bài 34: Tìm 2002 số tự nhiên liên tiếp đều là hợp số
HD :
	Chọn 
	Khi đó ta có 2002 số tự nhiên liên tiếp là đều là hợp số
	Vì 2002 số trên lần lượt chia hết cho 
Bài 35: Tìm các số nguyên tố a sao cho 6a+13 là số nguyên tố và 
HD :
	Ta có : Từ 25 đến 45 có 5 số nguyên tố là : 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43
	Nên ta có bảng sau :
6a+13
29
31
37
41
43
a
3
4
5
Mà a là số nguyên tố nên a = 4 (loại)
Bài 36: Tìm các số nguyên tố a để 2a+7 là các số nguyên tố <20
Bài 37: Tìm 1 số nguyên tố, biết rằng số đó bằng tổng của hai số nguyên tố và bằng hiệu của hai số nguyên tố
HD :
	Gọi số nguyên tố cần tìm là p, Nhận thấy p>2
	Vì p vừa là tổng vừa là hiệu của 2 số nguyên tố nên trong đó phải có 1 số nguyên tố chẵn, 
Như vậy số chẵn là 2,Khi đó ta có :
 ( với a, b là các số nguyên tố)
 là 2 số lẻ liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 3, vậy phải có 1 số bằng 3
Nếu 
Nếu 
Nếu 
Vậy số nguyên tố cần tìm là 5
Bài 38: Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 4p+11 là số nguyên tố <30
Bài 39: Tìm ba số tự nhiên lẻ liên tiếp đều là số nguyên tố
Bài 40: Tìm ba số nguyên tố sao cho tích của chúng gấp 5 lần tổng của chúng
Bài 41: Tìm các số nguyên tố a,b,c sao cho a.b.c = 3(a +b+c)
Bài 42: Tìm số nguyên tố p sao cho có đúng 6 ước dương
HD: 
Đặt A= , Để A có 6 ước thì 6=2.3=> 
Với 
Nếu A chứa 1 thừa số nguyên tố thì x+1=6=>x=5, Chọn thừa số nguyên tố bé nhất là 2 thì 
Nếu A chứa hai thừa số nguyên tố thì: x=2, y=1 hoặc ngược lại, để A nhỏ nhất ta chọn thừa số nguyên tố bé có số mũ lớn và thừa số lớn có số mũ bé là ước: Đối chiếu đề bài ta thấy A>27 thì 32 thỏa mãn: => và 3 là số nguyên tố.
Bài 43: Cho 3 số nguyên tố lớn hơn 3 thỏa mãn số sau lớn hơn số trước là k đơn vị. CMR: 
HD: 
Gọi 3 số nguyên tố thỏa mãn là: p, p+k và p+2k
=> k là số chẵn=> k chia hết cho 2, Giả sử k không chia hết cho 3 khi đó 
TH1: 
	Với p chia 3 dư 1 thì: p=3n+1=> p+2k=3n+1+6m+2 chia hết cho 3 ( loại)
	Với p chia 3 dư 2 thì: p=3n+2=> p+k = 3n+2+3m+1 chia hết cho 3(loại)
TH2: k=3m+2
	Với p chia 3 dư 1 thì: p=3n+1=>p+k=3n+1+3m+2 chia hết cho 3 (loại)
	Với p chia 3 dư 2 thì: p=3n+2=> p+2k=3n+2+6m+4 chia hết cho 3(loại)
 nên k phải chia hết cho 3 nên k chia hết cho 3=> k chia hết cho 6
Bài 44: Tìm số nguyên tố p sao cho cũng là số nguyên tố
Bài 45: Tìm mọi số nguyên tố thỏa mãn: 
HD: 
Từ gt=> , nếu x chia hết cho 3 vì x nguyên tố nên x=3, lúc đó y=2 nguyên tố
	Nếu x không chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 khi đó chia hết cho 3, mà (2;3) =1 
Nên y chia hết cho 3, => y=3 vậy không thỏa mãn,
Bài 46: Tìm số n nhỏ nhất để: n + 1; n + 3; n + 7 đều là nguyên tố.
Bài 47: Tìm hai số nguyên tố p và q biết rằng p > q sao cho p + q và p – q đều là các số nguyên tố. 
Bài 48: Tìm các số nguyên tố p thỏa mãn: là số nguyên tố.	
Bài 49: Tìm ba số nguyên tố x, y, z thỏa mãn: 
Dạng 2: CHỨNG MINH LÀ HỢP SỐ 
Bài 1: Cho p và 8p-1 là số nguyên tố, chứng minh rằng 8p+1 là hợp số
HD:
	Nhẩm thấy là số cần tìm
	Đặt 
	Nếu là số nguyên tố nên là các số nguyên tố, 
Thỏa mãn điều kiện đầu bài, Khi đó là hợp số (đpcm)
Nếu giả sử là số nguyên tố 
và giả sử cũng là số nguyên tố, khi đó: là hợp số(đpcm)
Nếu là hợp số nên 
Bài 2: Chứng minh rằng: nếu p là số nguyên tố >3 và 2p+1 là số nguyên tố thì 4p+1 là hợp số
HD:
	Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên 
	Nếu là số nguyên tố 
	Nếu là số nguyên tố giả sử cũng là số nguyên tố, 
Khi đó : là hợp số, (đpcm)
Bài 3: Cho p là số nguyên tố >3, biết p+2 cũng là số nguyên tố, cmr p+1 chia hết cho 6
HD :
	Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3, nên 
	Nếu giả sử là số nguyên tố 
	Nếu giả sử là số nguyên tố giả sử cũng là số nguyên tố, 
	Khi đó : 
	Mà nguyên tố nên là số lẻ là số lẻ =>3k là số lẻ=> k là số lẻ=> k+1 là số chẵn
	 (đpcm)
Bài 4: Cho p và p+4 là số nguyên tố lớn hơn 3, cmr p+8 là hợp số
HD :
	Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3, nên p có dạng 
	Nếu là hợp số (loại)
	Nếu giả sử là số nguyên tố giả sử cũng là số nguyên tố, 
	Khi đó : là hợp số (đpcm)
Bài 5: Chứng minh rằng với p là số nguyên tố lớn hơn 3 và 8p2 +1 là 2 số nguyên tố thì 8p2 -1 là hợp số
HD :
	Vì là 2 số nguyên tố lớn hơn 3 nên không chia hết cho 3
	Khi đó ta có : là 3 số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số chia hết cho 3
	Mà , Vậy hay là hợp số 
Bài 6: Chứng minh rằng nếu p và p+2 là hai số nguyên tố >3 thì tổng của chúng chia hết cho 12
HD :
	Đặt Và 
	Xét 3 số liên tiếp phải có 1 số chia hết cho 3
	Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3, nên p không chia hết cho 3, 
Mặt khác vì nếu chia hết cho 3 thì sẽ chia hết cho 3, như vậy 
Lại có p là số nguyên tố >3 nên p lẻ là số chẵn 2, Vậy 
Bài 7: Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố >3 thì (p-1)(p+1) chia hết cho 24
HD :
	Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ không chia hết cho 2 và 3
	Với p không chia hết cho 2 là hai số chẵn liên tiếp 
	Mặt khác p không chia hết cho 3 nên 
	Nếu 
	Nếu 
Bài 8: Cho p và 10p+1 là các số nguyên tố >3, cmr 5p+1 là hợp số
HD:
	Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên 
	Với giả sử là số nguyên tố, giả sử cũng là số nguyên tố
	Khi đó: là hợp số (đpcm)	
	Với giải sử là số nguyên tố (loại)
Bài 9: Cho p và p+8 là các số nguyên tố (p>3) cmr p+4 là hợp số
Bài 10: Cho p và 4p+1 là hai số nguyên tố (p>3), cmr 2p+1 là hợp số
Bài 11: Cho p và 5p+1 là hai số nguyên tố (p>3), cmr 10p+1 là hợp số
Bài 12: Cho p và 8p+1 là hai số nguyên tố (p>3), cmr 4p+1 là hợp số
Bài 13: Cho p và p+10 là các số nguyên tố, cmr p+32 là hợp số
Bài 15: Ta biết rằng có 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100, hỏi tổng 25 số nguyên tố đó là số chẵn hay số lẻ
HD:
	Trong 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100, có 1 số nguyên tố chẵn là số 2
	Còn lại 24 số nguyên tố còn lại là số lẻ => tổng của 24 số lẻ cho ta 1 số chẵn
	Vậy xét tổng của 25 số nguyên tố đó cho ta được 1 số chẵn
Bài 16: Tổng của ba số nguyên tố là 1012, Tìm số nguyên tố nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố đó
HD:
	Tổng của 3 số nguyên tố là 1012 là 1 số chẵn, nên bắt buộc phải có 1 số chẵn,
	Mà số nguyên tố chẵn duy nhất cũng là nhỏ nhất là số 2
Bài 17: CMR mọi số nguyên tố >2 đều có dạng 4n+1 hoặc 4n-1
HD:
	Mọi số nguyên tố p lớn hơn 2 đều có dạng 
	TH1: Nếu k chẵn 
	TH2: Nếu k lẻ , 
Bài 18: CMR p là số nguyên tố >3 thì p có dạng 6k+1 hoặc 6k+5
HD:
	Mọi số tự nhiên p lớn hơn 3 đều có dạng 
	Vì nếu n lẻ thì p là số chẵn như vậy p không là số nguyên tố
Nên n phải chẵn , Xét 2 TH:
TH1: 
TH2: 
Bài 19: CMR nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3, sao cho 14p+1 cũng là số nguyên tố thì 7p+1 là bội số của 6
HD:
	Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ không chia hết cho 2 và 3
	Khi đó là 1 số chẵn nên chia hết cho 2
	Mặt khác vì không chia hết cho 3 nên p có dạng 
	Với giả sử là số nguyên tố, nên 
	Với giả sử là số nguyên tố, Khi đó:
	 Như vậy 
Bài 20: Cho p là số nguyênt ố lớn hơn 3, CMR: là hợp số
Bài 21: Chứng minh rằng nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì và không thể là các số chính phương
HD:
	Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên và p không thể chia hết cho 4 	(1)
- Giả sử p+1 là số chính phương, Đặt 
Vì p chẵn nên lẻ lẻ =>m lẻ
Đặt , Ta có: Mẫu thuẫn với (1)
=>p+1 không thể là số chính phương
- Giả sử là 3 có dạng 3k+2 không là số chính phương
Vậy nếu p là tích của số nguyên tố đầu tiên thì p – 1 và p + 1 không là số chính phương
Bài 22 : Cho , Hỏi trong các số số nào là số chính phương?
HD :
	Ta có : , có 
 không là số chính phương
	Với chẵn=> lẻ nên B nhưng 
	Và 2B chẵn nên 2B không chia cho 4 dư 1 hoặc dư 3, vậy 2B không là số chính phương
	Với là số lẻ, nên 
và dư 1=> 2B +1 không là số chính phương
Bài 23 : Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau
HD :
	Gọi số chính phương phải tìm là : 
	Ta có : 	(1)
	Nhân xét thấy : 
	Mà 
	Thay vào (1) ta được : là số chính phương
	Bằng phép thử a từ 1 đến 9 ta thấy có a = 7 là thỏa mãn => b=4
	Vậy số cần tìm là 7744
Bài 24 : Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 thỏa mãn : cũng là số nguyên tố, CMR : 
HD :
	Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3, nên 10p cũng không chia hết cho 3 (1)
	Lại có là số nguyên tố. 	(2)
	Ta có : là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên phải có 1 số chia hết cho 3
Lại có p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẻ=> là số chẵn nên chia hết cho 2, khi đó 
Dạng 3: CHỨNG MINH LÀ MỘT SỐ NGUYÊN TỐ
Bài 1: Chứng minh các số sau là hợp số
a, 	b, 	c, 	d, 
HD:
	a, Ta có: là 1 số chẵn nên là hợp số
	b, là số chẵn nên là hợp số
	c, Ta có : là 1 số chẵn nên là hợp số
	d, Tương tự là 1 số chẵn nên là hợp số
Bài 2: Chứng minh các số sau là hợp số
a, 	b, 	c, 	d, 
HD: 
	b, Ta có : có tổng các chữ số chia hết cho 9 nên là hợp số
	c, Ta có : là số chẵn nên là hợp số
	d, là số chẵn nên là hợp số
Bài 3: Chứng minh các số sau là hợp số
a, 	b, 	c, 	 d, 
HD:
	b, Ta có: là số chẵn nên là hợp số
	c, Ta có :nên
, khi đó là hợp số 
Bài 4: Chứng minh các số sau là hợp số: 	
Bài 5: Chứng minh các số sau là hợp số:
a, 	b, 	c,	
HD:
a, Ta có: 
Vì 1001 chia hết cho 7 nên là hợp số
b, Tách tương tự, nhưng vì nên là hợp số
c, Tách tương tự, nhưng vì 100113 nên là hợp số
Bài 6: Một số nguyên tố chia cho 42 có số dư là r là hợp số, tìm r
Bài 7: Một số nguyên tố chia cho 30 có số dư là r, Tìm r biết r không là số nguyên tố
Bài 8: Cho C=222...22000...00777...77( 2011 số 2, 2011 số 0 và 2011 số 7). Vậy C là nguyên tố hay hợp số?
HD: 
Tổng các chữ số của C là 2011(2+7)=2011.9 chia hết cho 9 nên C là hợp số
Bài 9: CMR: Hai số lẻ liên tiếp bao giờ cũng nguyên tố cùng nhau.
Bài 10: Có hay không số nguyên tố mà khi chia cho 12 được dư 9
Bài 11: CMR : Trong ba số nguyên tố lớn hơn 3, luôn tồn tại 2 số nguyên tố mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 12
Bài 12: Một số nguyên tố p khi chia cho 42 có số dư là 1 hợp số r, tìm r
Bài 13: Cho a,b,c,d là các số nguyên dương thỏa mãn : , CMR : a+b+c+d là hợp số
HD: 
Ta có : 
=> Mà Do đó Vậy a+b+c+d nên a+b+c+d là hợp số
Bài 14 : Cho các số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn : ab=cd. Chứng minh rằng : là 1 hợp số với mọi số tự nhiên n
CHUYÊN ĐỀ: SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Định nghĩa: 
Số chính phương là bình phương của 1 số tự nhiên
	Như vậy: A là số chính phương thì A có dạng 
	VD: 0;1;4;9;16;25; 
Tính chất:
Số chính phương chỉ có thể tận cùng là 0,1,4,5,6,9
Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa thừa số với mũ chẵn.
Hệ quả: 
	+ Tích các số chính phương là 1 số chính phương
	+ Số chính phương 2 thì 4
	+ Số chính phương 3 thì 9
	+ Số chính phương 5 thì 25
	+ Số chính phương 8 thì 16
	+ Số lượng các ước lẻ là số chính phương và ngược lại
	+ Số chính phương chia 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1
Dạng 1: CHỨNG MINH LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1: Các tổng sau có phải là số chính phương không?
a/ 	b/ 	c/	d/ 
e/ 	
HD:
a, Tổng A Chi hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên không là số chính phương
b, Tổng B có chữ số tận cùng là 3 nên không là số chính phương
c, Ta có: có chữ số tận cùng là 8 nên không là số chính phương
d, Ta có: chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 nên không là số chính phương
e, Ta có: có tổng các chữ số là 3 nên chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9 nên không là số chính phương.
Bài 2: Cho , chứng minh rằng A+4 không là số chính phương?
HD:
	Tính tổng A ta được: không là số chính phương vì có mũ lẻ
Bài 3: Cho , chứng minh rằng 2B+3 không là số chính phương?
HD:
	Tính tổng B ta được: không là số chính phuownh vì mũ lẻ
Bài 4: Viết liên tiếp từ 1 đên 12 ta được 1 số A=1234 1112 hỏi số A có thể có 81 ước không?
HD:
	Giả sử A là số chính phương, ta có tổng các chữ số của A là:
	 nhưng 9 nên không là số chính phương
	Khi đó A không thể có 81 ước
	Hoặc chỉ ra A có chữ số tận cùng là 2, nên A không là số chính phương
Bài 5: Tìm số nguyên tố để là số chính phương (a>b>0)
HD:
	Phân tích ta có: 
	Để là số chính phương thì a-b là số chính phương
	Mà 
	TH1: Với 
	Thấy có 43 là số nguyên tố
	TH2: Với 
	Có 73 là số nguyên tố
	Vậy số bằng 43 hoặc 73
Bài 6: Tìm số có dạng sao cho là số chính phương
Bài 7: Số 101112 20 có là số chính phương không?
HD:
	Số trên có 3 chữ số tận cùng là 0 nên không là số chính phương
Bài 8: Chứng minh rằngkhông phải là số chính phương
HD:
	Tổng trên có chữ số tận cùng là 8 nên không là số chính phương
Bài 9: Chứng minh rằng số 1234567890 không là số chính phương?
HD:
	Số trên chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 nên không là số chính phương
Bài 10: Chứng minh rằng nếu 1 số có tổng các chữ số là 2004 thì số đó không là số chính phương?
HD:
	Số có tổng các chữ số là 2004 thì số đó chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9
Bài 11: Chứng minh rằng 1 số có tổng các chữ số của nó là 2006 không phải là 1 số chính phương
HD:
	Số chính phương khi chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1
	Số trên có tổng các chữ số là 2006 nên chia 3 dư 2, vậy không phải là số chính phương
Bài 12: Chứng minh rằng tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2005 không là số chính phương?
HD:
	Ta có: 
	Phân tích A ta thấy A không là số chính phương
Bài 13: Chứng minh rằng không là số chính phương?
HD:
	Ta có: dư 3, => => n không là số chính phương
Bài 14: Tìm số chính phương có 4 chữ số, biết rằng hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống nhau
HD:
	Gọi số chính phương cần tìm là: 
	Ta có: 	(1)
	Thấy Thay vào (1) ta được:
	 là số chính phương
	Thử a=1, 2, 3, ., 9 thấy a=7 thỏa mãn=> b=4
Bài 15: Chứng minh rằng các số sau là số chính phương
a, 	b, 	
HD:
	b, Tính tổng B ta được: Vậy tổng trên là số chính phương
Bài 16: Tìm số tự nhiên n có hai chữ số biết 2n+1 và 3n+1 đều là số chính phương
HD:
	Ta có: , 
Tìm các số chính phương lẻ trong khoảng trên ta được: 25; 49;81; 121; 169 
ứng với n=12, 24, 40, 60, 84
Khi đó 3n+1=37, 73, 121, 181, 253, Thấy chỉ có 121 là số chính phương, vậy n=40 
Bài 17: Tìm số tự nhiên n có hai chữ số để 3n+1 và 4n+1 đều là các số chính phương
Bài 18: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng nhân nó với 135 thì ta được 1 số là số chính phương
HD:
	Gọi số phải tìm là n, ta có: 
	Hay là số chính phương=> n=3.5.k2
	Với k=1=>n=15
	Vơi k=2=>n=60
	Với k 3=>n135 (loại)
	Vậy số cần tìm là 15 hoặc 60
Bài 19: Các số sau là số chính phương không?
a, 	b, 	 c, 	 d, 	 e, 
HD:
	a, Ta có: ( Vô lý)
	b, Ta có: ( Vô lý)
	c, Ta có: => ( Vô lý)
	d, Ta có: , Số 2001 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9
	e, 
 mà nên A không thể là số chính phương
Bài 20: Cho 4 số 3,6,8,8 tìm số chính phương được lập từ 4 số trên
HD:
	Gọi là số chính phương phải tìm. Vì số chính phương không có tận cùng là 3; 8 nên 
	 có tận cùng là 6=> tận cùng là 36 hoặc 86
	Nếu tận cùng là 86 thì nó 2 nhưng 4 nên phải có tạn cùng là 36
	Vậy số cần tìm là 8836
Bài 21: Cho 4 số 0,2,3,4 Tìm số chính phương có 4 chữ số từ 4 số trên
HD:
	Gọi là số chính phương phải tìm=> có tận cùng là 0 hoặc 4
	Nếu n có tận cùng là 0 thì có tận cùng là 00=> loại
	n có tận cùng là 4 thì có tận cùng là 04, 24, 34
	Do là số chính phương nên nếu 2 thì 4=> tận cùng là 04 hoặc 24
	Xét các số: 2304; 3204; 3024 chỉ có 2304 là số chính phương
Bài 22: Cho 4 số 0,2,3,5 Tìm số chính phương có 4 chữ số từ 4 số trên
HD:
	Gọi là số chính phương phải tìm=> có tận cùng là 0 hoặc 5
Nếu n có tận cùng là 0=> tận cùng là 00 ( loại)
Nếu n có tận cùng là 5=> có tận cùng là 25
Ta có số cần tìm là 3025
Bài 23: Cho 4 số 0,2,4,7 Tìm số chính phương có 4 chữ số gồm cả 4 só trên
HD:
	Gọi là số chính phương cần tìm=> có tận cùng là 0 hoặc 4
	Nếu n có tận cùng là 0 thì có tận cùng là 00 (loại)
	Nếu n có tận cùng là 4 thì có tận cùng là 04; 24; 74
	Do n là số chính phương nên nếu chia hết cho 2 thì sẽ chia hết cho 4
=> có tận cùng là 04 hoặc 24
	Khi đó ta có các số: 2704; 7204; 7024, trong các số trên chỉ có số 2704 là số chính phương.
Bài 24: Tổng các chữ số của 1 số chính phương có thể là 1983 không?
HD:
	Tổng các chứ số của 1 số là 1983 thì số đó chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9, 
nên số chính phương không có tổng là 1983
Bài 25: Cho , hỏi A có là số chính phương không?
HD:
	Nhận thấy A chia hết cho 5 nhưng A lại không chia hết cho 25 nên A không là số chính phương
Bài 26: Chứng minh rằng tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không là số chính phương?
HD:
	Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là: a, a+1, a+2, a+3
	Xét tổng ta có: S= 4a+6, thấy tổng chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 nên không là số chính phương
Bài 27: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng nếu nhân nó với 45 thì ta được 1 số chính phương?
HD:
	Gọi số cần tìm là n, ta có: 
	Hay 
	Khi đó với k=1=> n=5( loại)
	K=2=>n=20 ( nhận)
	K=3=>n=45( nhận)
	K=4=>n=80 ( nhận)
	K=5=>n=125 ( loại)
Bài 28: Tìm a sao cho số là số chính phương
Bài 29: Tìm số , biết: là số chính phương
Bài 30: Tìm a,b sao cho là bình phương của 1 số tự nhiên
Bài 31: Cho 
a, Tính S
b, Chứng tổ S là 1 số chính phương
c, Tìm các ước nguyên tố khác nhau của S
Bài 32: Cho A=1-2+3-4+...+19-20
a, A có chia hết cho 2;3;5 không?
b, Tìm tất cả các ước của A
Bài 33: CMR: tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là 1 số chính phương
HD: 
Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là: n-2,n-1,n, n+1, n+2, trong đó n là số tự nhiên và 
Xét tổng bình phương: , Vì không thể có tận cùng là 3 hoặc 8, nên không thể chia hết cho 5 hay A không là số chính phương
Bài 34: Cho n là số tự nhiên có hai chữ số. Tìm n biết n+4 và 2n đều là các số chính phương
HD:
Vì n là số có hai chữ số nên 9 18<2n<200
Mặt khác 2n là số chính phương chẵn nên 2n có thể nhận các giá trị 36, 64, 100, 144, 196
Với 2n=36=>n=18=>n+4=22 không là số chính phương
Với 2n=64=>n=32=>n+4=36 là số chính phương
Với 2n=100=>n=50=>n+4=54 không là số chính phương
Với 2n=144=>n=72=>n+4=76( loại)
Với 2n=196=>n=98=<n+4=102(loại)
Bài 35: CMR: với mọi số tự nhiên a, tồn tại số tự nhiên b sao cho 4+ab là số chính phương
Bài 36: CMR: là số chính phương khi có n-2 số 9 và n số 0
HD:
	 là số chính phương
Bài 37: Cho ; và . Chứng minh rằng là số chính phương.
Bài 38: Tìm hai số nguyên dương x, y () thỏa mãn hai số và đều là số chính phương.
Bài 39: Cho , CMR: S không phải là số chính phương
HD:
	Ta có: 
	Vì nên , Mặt khác: 
	Vậy S không thể là số chính phương
Bài 40: Chứng minh rằng: Nếu và đều là số chính phương thì n chia heetscho 40
Bài 41: Với a, b là các số tự nhiên khác 0 thỏa mãn: 
CMR: a-b và là các số chính phương