Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 7 - Chuyên đề 13: Vẽ thêm hình phụ

 HH7-CHUYÊN ĐỀ 13- VẼ THÊM HÌNH PHỤ
 HH7-CHUYÊN ĐỀ 13: KẺ THÊM HÌNH PHỤ
 PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT.
Vẽ thêm hình phụ giải quyết bài toán có nhiều hướng như sau:
 Đây là một phương pháp rất đặc biệt, nội dung của nó là tạo thêm được vào trong hình vẽ các 
cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau giúp cho việc giải toán được thuận lợi. 
Cách vẽ đường phụ trong bài toán nhằm tạo ra đoạn thẳng thứ ba cùng bằng hai đoạn thẳng cần chứng 
minh là bằng nhau, đây là cách rất hay sử dụng trong nhiều bài toán nên giáo viên cần lưu ý cho học sinh 
nhớ để vận dụng. Cách giải này cũng được áp dụng để giải một số bài toán rất hay trong chương trình 
THCS.
 Kĩ thuật vẽ thêm yếu tố phụ trên nằm trong nhóm phương pháp chung gọi là phương pháp - Tam 
 giác bằng nhau, sau đây ta sẽ nghiên cứu thêm một phương pháp mới rất hay nhưng chưa được khai thác 
 nhiều trong giải toán.
 Vẽ thêm đường song song nhằm làm xuất hiện hai góc bằng nhau, hai góc bù nhau, tứ giác đặc 
biệt, tam giác có 1 đường thẳng song song với 1 cạnh
 Không phải chỉ có cách vẽ thêm trung điểm của đoạn thẳng ta mới có ngay hai đoạn thẳng bằng 
nhau mà ta có thể vẽ đoạn thẳng mới bằng với đoạn thẳng đã có. Tuy nhiên vẽ đoạn thẳng một cách vu vơ 
cũng không có lợi nhiều mà ta lên vẽ đoạn thẳng bằng nhau trên một đường thẳng đã có ta có thể tận dụng 
thêm các tính chất của đường thẳng để có các góc bằng nhau như hai đường thẳng cắt nhau có các góc đối 
đỉnh bằng nhau hay trong hai đường thẳng song song có các góc ở các vị trí đặc biệt bằng nhau.
 Việc vẽ thêm hình phụ để xuất hiện tam giác bằng nhau thì các yếu tố vẽ thêm phải có lợi trong 
bước chứng minh về sau, đó là vẽ thêm hình để có ngay đoạn thẳng bằng nhau hoặc góc bằng nhau. Việc 
vẽ trung điểm hay phân giác là cách vẽ thêm đơn giản nhất đáp ứng yêu cầu đó
Để giải tốt các bài toán tính số đo góc thì học sinh tối thiểu phải nắm vững các kiến thức sau:
• Trong tam giác:
 -Tổng số đo ba góc trong tam giác bằng 180 .
 - Biết hai góc ta xác định được góc còn lại.
 - Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng của hai góc trong không kề với nó.
• Trong tam giác cân: Biết một góc ta xác định được hai góc còn lại.
• Trong tam giác vuông: Biết một góc nhọn, xác định được góc còn lại.
Cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền thì góc đối diện với cạnh góc vuông có số đo bằng 30 ..
• Trong tam giác vuông cân: mỗi góc nhọn có số đo bằng 45.
• Trong tam giác đều: mỗi góc có số đo bằng 60 .
• Đường phân giác của một góc chia góc đó ra hai góc có số đo bằng nhau.
• Hai đường phân giác của hai góc kề bù tạo thành một góc có số đo là 90 .
• Hai đường phân giác của hai góc kề phụ tạo thành một góc có số đo là 90 .
 Trang 1 HH7-CHUYÊN ĐỀ 13- VẼ THÊM HÌNH PHỤ
• Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
• Tính chất về góc so le trong, so le ngoài, đồng vị, hai góc trong cung phía, 
Khi giải bài toán về tính số đo góc cần chú ý:
- Vẽ hình chính xác, đúng với các số liệu trong đề bài để có hường chứng minh đúng
- Phát hiện các tam giác đều, “nửa tam giác đều”, tam giác vuông cân, tam giác cân trong hình vẽ
- Chú ý liên hệ giữa các góc của tam giác, liên hệ giữa các cạnh và các góc trong tam giác, phát hiện các 
cặp tam giác bằng nhau. Vẽ đường phụ hợp lí làm xuất hiệ các góc đặc biệt, những cặp góc bằng nhau. 
Trong các đường phụ vẽ thêm, có thể vẽ đường phân giác, đường vuông góc, tam giác đều, 
Trong thực tế, để giải bài toán tính số đo góc ta thường xét các góc đó nằm trong mối liên hệ với các góc ở 
các hình đặc biệt đã nêu ở trên hoặc xét các góc tương ứng bằng nhau ... rồi suy ra kết quả.
Tuy nhiên, đứng trước một bài toán không phải lúc nào cũng gặp thuận lợi, có thể đưa về các trường hợp 
trên ngay mà có nhiều bài đòi hỏi người đọc phải tạo ra được những "điểm sáng bất ngờ" có thể là một 
đường kẻ phụ, một hình vẽ phụ từ mối quan hệ giữa giả thiết, kết luận và những kiến thức, kỹ năng đã 
học trước đó mới giải quyết được. Chúng ta có thể xem “đường kẻ phụ”, “hình vẽ phụ” như là “chìa khoá 
“ thực thụ để giải quyết dạng toán này
 Trang 2 HH7-CHUYÊN ĐỀ 13- VẼ THÊM HÌNH PHỤ
 PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI.
DẠNG 1: NỐI HAI ĐIỂM CÓ SẴN TRONG HÌNH VẼ HOẶC VẼ THÊM GIAO ĐIỂM CỦA HAI 
 ĐƯỜNG THẲNG
 Bài toán 1: Cho tam giác ABC có hai đỉnh A và C thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường 
trung trực của . Chứng minh rằng CA CB .
 C
 O
 A B
Hướng dẫn: 
Cách 1:
 Gọi O là giao điểm của đường trung trực của AB với BC
O thuộc trung trực của AB nên OA OB O· AB O· BA
Mà O· AB B· AC C· BA B· AC CA CB
Cách 2: Trong tam giác có CA CO OA CO OB CB .
Bài toán 2: Cho tam giác có AH là đường cao và B· AH 2Cµ . Tia phân giác của góc B cắt tại 
E . Tia phân giác của góc cắt tại I . Tính ·AHE và chứng minh tam giác EAI là tam giác vuông 
cân.
 A
 E
 I
 C
 B H
Hướng dẫn: Nối H với E . Ta có B· AI I·AH ·ACH, ·ACH H· AC 90
 I·AH H· AC 90
 AE  AI
Mà là phân giác trong, suy ra tia AE là phân giác ngoài, 
 là phân giác trong
 Trang 3 HH7-CHUYÊN ĐỀ 13- VẼ THÊM HÌNH PHỤ
Suy ra là phân giác ngoài ·AHE 90 : 2 45
 1 1
Ta có : ·AIE B· AI ·ABI B· AH ·AHB .90 45
 2 2
Vậy AIE vuông cân.
Bài toán 3: Cho tam giác ABC có Aµ 120 , Phân giác AD,BE,CF . 
a) Chứng minh rằng DE là phân giác ngoài của tam giác ABD . 
b) Tính góc .
 x
 A
 F E
 C
 B D
Hướng dẫn:
a) Nối D với E , Kẻ Ax là tia đối của tia AB . Có AC là tia phân giác của D· Ax .
Mà là phân giác trong của ABD , Suy ra DE là phân giác ngoài của ABD ,
b) Kẻ Ay là phân giác ngoài của ABC, Chứng minh tương tự ý a ta cũng có DF là tia phân giác ngoài 
của ADC . Mà DE là phân giác trong của ADC tại đỉnh D nên DE  DF . Tức là E· DF 90 .
Bài toán 4: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao DE , Gọi E, I, K theo thứ tự là giao điểm của 
các đường phân giác của tam giác ABC, ABH, ACH . Chứng minh rằng AK vuông góc với BE . 
 A
 D
 F E K
 I
 B
 H C
Hướng dẫn: Gọi D là giao điểm của AK và BE . Ta có 
 ·ABH H· AC
·ABH ·ACH ( vì cùng phụ với B· AH )
 1 1
 ·ABD D· AC ·ABH H· AC
 2 2
 1 1
 ·ABD D· AC ·ABH ·AHC
 2 2
 Trang 4 HH7-CHUYÊN ĐỀ 13- VẼ THÊM HÌNH PHỤ
Mà D· AC B· AK 90 nên 
 ·ABD B· AK 90
Suy ra ·ADB 90
Suy ra ID là đường cao trong tam giác AIK . 
Tương tự ta có : gọi F là giao điểm của CE và AI thì KF là đường cao trong tam giác AIK . Suy ra E 
là trực tâm của tam giác AIK .
Vậy AE vuông góc với IK .
Bài toán 5: Cho tam giác ABC , các đường trung tuyến BD,CE . Chứng minh rằng :
 3 3
BD CE AB AC .
 2 2
 A
 E D
 G
 C
 B
Hướng dẫn: Trong ABC có: BC AB AC
Gọi G là giao điểm của hai đường trung tuyến . 
Trong có: BG GC BC
 2 2 2 2
Ta lại có BG BD,CG CE BG BD,CG CE. 
 3 3 3 3
 3 3 3 3 3 3
Nên BD CE BC BD CE AB BC AB BC AB AC
 2 2 2 2 2 2
Bài toán 6: Cho tam giác ABC đều. Trên tia đối của BA và CA lấy lần lượt các điểm M và N sao cho 
BM CN . Gọi I là giao điểm của MC và BN
a) Chứng minh: MI NI .
 b) Tia phân giác của góc AMC cắt AI và AN theo thứ tự tại O và K . BO cắt AN tại Q . CMR: Tam 
giác OKQ cân.
 Trang 5 HH7-CHUYÊN ĐỀ 13- VẼ THÊM HÌNH PHỤ
 A
 K
 Q
 O
 B C
 M N
Hướng dẫn:
a) Chứng minh hai tam giác ABN và ACM bằng nhau.
Tam giác AMN đều. Suy ra IMN có I·MN I·NM . 
Nên IMN là tam giác cân, hay IM IN
b) Nối C với O ta có AI là phân giác, MK là phân giác của tam giác AMC , nên CO cũng là phân 
giác của tam giác ACM 
Ta có O· KQ 60 ·AMO,O· QK 60 O· BC
Ta cần chứng minh ·AMO O· BC . Thật vậy:
O· BC O· CB (Do AO là phân giác cũng là trung trực của tam giác ABC OB OC
O· CB O· CQ B· CM 2.O· CB O· CQ O· CB B· CM 60 B· CM 60 I·MN
 60 60 2·AMO 2·AMO
O· CB O· CQ B· CM
2O· CB 2·AMO
 O· BC O· CB ·AMO
Suy ra O· KQ O· QK nên tam giác OKQ cân
 Bài tập tự luyện 
Bài tập 1: Cho hai điểm A và B nằm cùng phía đối với đường thẳng d . Gọi C là trung điểm của AB . 
Kẻ AD, BE,CH vuông góc với d . Cho biết AD 4cm, BE 6cm. Tính CH ?
HD: Gọi K là giao điểm của AE và CH , ta tính được CK 3, KH 2 CH 5cm
 Trang 6 HH7-CHUYÊN ĐỀ 13- VẼ THÊM HÌNH PHỤ
 B
 C
 A
 6
 K
 4
 d
 D H E
Bài tập 2: Cho tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của BC , I là trung điểm của AM,D là giao điểm 
 1
CI và AB . Chứng minh rằng AD DB .
 2
 A
 D
 I
 C
 B M
HD: Gọi K là trung điểm của .Chứng minh được MK / /CD , rồi chứng minh AD DK suy ra 
 1
AD DB
 2
 1
Bài tập 3: Cho tam giác , điểm D thuộc cạnh BC sao cho BD DC. Kẻ BH và CK vuông góc 
 2
 1
với AD Chứng minh rằng : BH CK .
 2
 A
 H
 C
 B D M
 N
 K
HD: Gọi M là trung điểm của DC , N là trung điểm của DK . Chứng minh 
 1 1
MN CK, MN BH .Suy ra: BH CK
 2 2
Bài tập 4: Cho ABC vuông tại A có AC 4, AB 6 . Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho CD 2 Từ D 
kẻ đường thẳng vuông góc với BC , đường thẳng này cắt AC tại E . Tính DE .
 Trang 7 HH7-CHUYÊN ĐỀ 13- VẼ THÊM HÌNH PHỤ
 D
 M N
 4
 B
 A 6
 E
 HD: Gọi M là trung điểm của AC , kẻ đường vuông góc với AC cắt BC ở N , chứng minh 
 1
DE MN, MN AB 3 .
 3
Bài tập 5: Cho có Aµ 120 đường phân giác AD . Đường phân giác của góc ngoài tại C cắt đường 
thẳng AB ở K . Gọi E là giao điểm của của DK và AC .Tính số đo của góc BED
 K
 A
 E
 C
 D
 B
HD: Trong tam giác ADC có AK,CK là hai phân giác ngoài nên DK là phân giác trong,
Trong tam giác ABC có AC, DE là phân giác ngoài nên BE là phân giác trong. Nên:
 1 1
 B· ED E· DC E· BD ·ADC ·ABC B· AD 30o
 2 2
Bài tập 6: Cho x· Oz 120 , Oy là tia phân giác của góc xOz , Ot là tia phân giác của x· Oy . M là điểm 
thuộc miền trong của ·yOz , Vẽ MA  Ox, MB  Oy, MC  Ot . Tính độ dài OC theo MA và MB ?
 Trang 8 HH7-CHUYÊN ĐỀ 13- VẼ THÊM HÌNH PHỤ
 y
 t
 B
 x
 C E M
 I
 H
 K
 A
 O
 z
HD: Gọi E, I theo thứ tự là giao điểm của MC với Oy,Ox ta có tam giác EOI đều, Vẽ 
EH  MA, EK  OI chứng minh được MH MB, EK OC nên
MA MB MA MH HA EK OC 
 DẠNG 2: VẼ TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG, TIA PHÂN GIÁC CỦA GÓC
 Việc vẽ thêm hình để xuất hiện tam giác bằng nhau thì các vẽ thêm các yếu tố phải có lợi trong bước 
chứng minh về sau, đó là vẽ thêm hình để có ngay đoạn thẳng bằng nhau hoặc góc bằng nhau. Việc vẽ 
trung điểm hay phân giác là cách vẽ thêm đơn giản nhất đáp ứng yêu cầu đó
 Bài toán 1: Cho tam giác ABC có AB 10cm; BC 12 cm, D là trung điểm của cạnh AB. Vẽ DH 
vuông góc với BC(H BC) cho DH 4cm.
Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.
 1) Phân tích bài toán:
Bài cho tam giác ABC có AB 10cm; BC 12 cm, D là trung điểm của cạnh AB. Vẽ DH vuông góc với 
BC(H BC) cho DH 4cm.
Yêu cầu chứng minh tam giác ABC cân tại A.
 2) Hướng suy nghĩ:
 ABC cân tại A AB AC. 
Việc chứng minh AB AC ta vẽ thêm điểm phụ K là trung điểm của BC sẽ có ngay được BK KC từ 
đó có thể chứng minh được ABK ACK.
 Vậy yếu tố phụ cần vẽ là trung điểm của BC.
 A
 Trang 9
 D
 B
 H K C HH7-CHUYÊN ĐỀ 13- VẼ THÊM HÌNH PHỤ
 3) Chứng minh:
 ABC; AB 10cm;
 1
 GT BC 12cm; DA DB ; DH  BC
 2
 DH 4cm
 KL ABC cân tại A.
 1
Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC, ta có: BK KC BC 6cm.
 2
 1
Lại có: BD AB 5cm (do D là trung điểm của AB )
 2
Xét HBD có: ·BHD 900 gt 
Theo định lí Pitago ta có: DH 2 BH 2 BD2
 BH 2 BD2 DH 2 52 42 9 BH 3 cm 
Từ đó: BD DA; BH HK 3 cm 
 DH // AK (đường nối trung điểm 2 cạnh của tam giác thì song song với cạnh thứ 3).
Ta có: : DH  BC, DH // AK AK  BC.
Xét ABK và ACK có:
 BK = KC (theo cách lấy điểm K)
 ·AKB ·AKC = 900
 AK là cạnh chung
 ABK ACK c g c 
 AB AC ABC cân tại A.
 4) Nhận xét: 
Trong cách giải bài toán trên ta đã chứng minh AB AC bằng cách tạo ra hai tam giác bằng nhau chứa 
hai cạnh AB và AC từ việc kẻ thêm trung tuyến AK, việc chứng minh còn sử dụng thêm một bài toán phụ 
là: Trong một tam giác, đường thẳng đi qua trung điểm cạnh thứ nhất và cạnh thứ hai thì song song với 
cạnh thử ba, kiến thức về đường trung bình này học sinh sẽ được nghiên cứu trong chương trình toán 8 
nhưng ở phạm vi kiến thức lớp 7 vẫn có thể chứng minh được, việc chứng minh dành cho học sinh khá 
giỏi, trong bài này có sử dụng kết quả của bài toán mà không chứng minh lại vì chỉ muốn nhấn mạnh vào 
việc vẽ trung điểm của đoạn thẳng.
Bài toán 2: Cho tam giác ABC có Bµ Cµ; Chứng minh rằng: AB AC ? (Giải bằng cách vận dụng 
trường hợp bằng nhau góc - cạnh - góc của hai tam giác).
 1) Phân tích bài toán:
Bài cho: Tam giác ABC có Bµ Cµ. Yêu cầu: Chứng minh rằng: AB AC.
 Trang 10