Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 7 - Chuyên đề 2: Lũy thừa – Tìm chữ số tận cùng

 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA- TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG
 ĐS7.CHUYÊN ĐỀ 2-LŨY THỪA, TÌM X 
PHẦN I.TÓM TẮT LÍ THUYẾT.
1. Lũy thừa với số mũ tự nhiên 
 n
x 1x4.4x2..4..4x3 x ¥ ;n ¥ ;n 1 
 n thừa số
Quy ước: x1 x, x0 1 x 0 
2. Các phép tính về lũy thừa
xm.xn xm n xm : xn xm n x 0;m,n ¥ 
 n
 xm xm.n x.y n xn.yn
 n
 x xn
 y 0 
 y yn
3. Lũy thừa với số mũ nguyên âm
 1
x n với x 0,n ¥ 
 xn
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI.
Dạng 1. Tính.
 Dang 1.1:Sử dụng các phép tính về lũy thừa để thực hiện phép tính .
I. Phương pháp giải .
+) Sử dụng định nghĩa về lũy thừa và các phép tính về lũy thừa để thực hiện phép tính 
+) Để thực hiện phép tính chứa nhiều lũy thừa, ta dùng các công thức biến đổi về lũy thừa của các số 
nguyên tố. Sau đó có thể dùng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.
II. Bài toán.
Bài 1. Tính:
 0
 4 2 3 1 2 1 
 a) 2 .5 131 (13 4) b) 2 3 1 ( 2) : 8
 2 2 
 2 3 3 3
 1 3 5 3 
 c) 25 : : 
 4 4 4 2
Lời giải :
 a) 24.5 131 (13 4)2 16.5 131 92 80 131 81 80 50 30 .
  
 0
 3 1 2 1 
 b) 2 3 1 ( 2) : 8 8 3.1 1 (4.2) 8 8 3 1 8 8 10 .
 2 2 
 2 3 3 3
 1 3 5 3 1 27 125 27 1 27 8 1 8 133
 c) 25 : : 25 : : 25. . .
 4 4 4 2 16 64 64 8 16 125 27 16 5 80
 Trang 1 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA- TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG
Bài 2. Thực hiện phép tính:
 0
 2 1 2
 a) 8 2 : 25 18: 52 23 :11 20180 b) 24 8 2 : 2 2.4 2 
  2 
 0 2
 5 1 
 c) 5 :3
 11 3 
Lời giải: 
 2
 a) 8 : 25 18: 52 23 :11 20180 64 : 25 18: 25 8 :11 1 
  
 64 : 25 18: 33:11 1 
 64 :25 18: (3 1)
 64 : 25 9 64 :16 4 .
 0
 4 2 1 2 2 1
 b) 2 8 2 : 2 .4 2 16 8.1 .4 4 16 8 1 4 27 . 
 2 22
 0 2
 5 1 1 1 1 109
 c) 5 :3 5 1 . 4 . 
 11 3 9 3 27 27
Bài 3. Thực hiện phép tính:
 46.95 69.120 42.252 32.125 5.711 712
 a) . b) . c) .
 84.312 611 23.52 79.52 13.79
Lời giải 
 46.95 69.120 212.310 29.39.23.3.5 212.310(1 5) 2.6 4
 a) .
 84.312 611 212.312 211.311 211.311(2.3 1) 3.5 5
 42.252 32.125 24.54 25.53 24.53(52 2)
 b) 2.5.27 270 .
 23.52 23.52 23.52
 5.711 712 711(5 7) 72.12
 c) 49 .
 79.52 13.79 79(25 13) 12
Bài 4. Rút gọn biểu thức: 
 212.35 46.81 30.47.329 5.145.212 510.73 255.492
 a) A b) B c) C 
 6 14 7 5 5 3 9 3
 22.3 84.35 54.6 .9 12.8 .7 (125.7) 5 .14
Lời giải: 
 212.35 46.81 212.35 212.34 212.34(3 1) 2 1
 a) A .
 6 12 6 12 5 12 5 3.4 6
 22.3 84.35 2 .3 2 .3 2 .3 (3 1)
 30.47.329 5.145.212 2.3.5.214.329 5.25.75.212 5(215.330 217.75) 5
 b) B .
 54.614.97 12.85.75 2.33.214.314.314 22.3.215.75 3(215.330 217.75) 3
 510.73 255.492 510.73 510.74 510.73(1 7) 5.( 6) 10
 c) C .
 (125.7)3 59.143 59.73 59.23.73 59.73(1 8) 9 3
 Trang 2 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA- TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG
Dạng 1.2: Tính tổng các lũy thừa của cùng một cơ số.
I. Phương pháp giải .
 Nhân cả 2 vế của biểu thức với cơ số, sau đó cộng hoặc trừ từng vế (tùy từng bài ) .
II. Bài toán.
Bài 1. Tính:
a) S 1 2 22 23 ....... 2100 . b) A 3 32 33 ......... 32020 .
c) B 7 72 73 ........ 7n 1 7n (n ¥ ,n 1) d) D 4 42 43 44 ....... 42019 42020
Lời giải: 
 a) S 1 2 22 23 ....... 2100
 2S 2 22 23 ......... 2100 2101
 Ta có: 2S S (2 22 23 ..... 2100 2101) (1 2 22 ....... 2100)
 S 2101 1 .
 b) A 3 32 33 ......... 32020
 3A 32 33 34 ......... 32020 32021
 Ta có: 3A A (32 33 34 ....... 32020 32021) (3 32 33 ...... 32020)
 32021 3
 2A 32021 3 hay A 
 2
 c) B 7 72 73 ........ 7n 1 7n (n ¥ ,n 1)
 7B 72 73 74 ....... 7n 7n 1
 7B B (72 73 74 ........ 7n 7n 1) (7 72 73 ..... 7n )
 6B 7n 1 7
 7n 1 7
 B .
 6
 d) D 4 42 43 44 ....... 42019 42020
 4D 42 43 44 45 ....... 42020 42021
 D 4D (4 42 43 44 ...... 42019 42020) (42 43 44 45 ..... 42020 42021)
 5D 4 42021
 4 42021
 D .
 5
Bài 2. Rút gọn biểu thức:
 1 1 1 1 1 1 1 1
a) A ..... . b) B 1 ..... (n ¥ *) .
 4 42 43 42000 13 132 133 13n
 Trang 3 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA- TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG
 1 1 1 1 1 1 1 1
c) C ....... . d) D 1 ...... .
 ( 5) ( 5)2 ( 5)3 ( 5)99 2 4 8 1024
Lời giải: 
 1 1 1 1
 a) A ..... 
 4 42 43 42000
 1 1 1 1 1
 A ...... 
 4 42 43 44 42001
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 A A ..... .... 
 4 4 42 43 42000 42 43 44 42001 
 3 1 1
 A 
 4 4 42001
 42000 1
 A .
 3.42000
 1 1 1 1
 b) B 1 ..... (n ¥ *)
 13 132 133 13n
 1 1 1 1 1
 B ..... .
 13 13 132 133 13n 1
 1 1 1 1 1 1 1 
 B B 1 ..... ...... 
 13 13 132 13n 13 132 13n 1 
 12 1 13n 1 1
 B 1 hay B .
 13 13n 1 12.13n
 1 1 1 1
 c) C ....... 
 ( 5) ( 5)2 ( 5)3 ( 5)99
 1 1 1 1
 ( 5)C 1 ..... 
 ( 5) ( 5)2 ( 5)3 ( 5)98
 1 1 1 1 1 1 1 1 
 C 5C ...... 1 ..... 
 2 3 99 2 3 98 
 ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) 
 1 599 1 
 6C 1 hay C .
 99 99 
 ( 5) 6.5 
 1 1 1 1
 d) D 1 ...... 
 2 4 8 1024
 1 1 1 1
 D 1 ...... 
 2 22 23 210
 1 1 1
 2D 2 1 .... 
 2 22 29
 1 1 1 1 1 1 1 
 2D D 2 1 ..... 1 .... 
 2 22 29 2 22 23 210 
 Trang 4 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA- TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG
 1
 D 2 .
 210
 1 1 1 1 1 1
Bài 3: Chứng minh rằng : B ... .
 3 32 33 32020 32021 2
Lời giải:
 1 1 1 1 1 1
B ... 
 3 32 33 32020 32021 2 
 1 1 1 1
Xét 3.B 1 ... 
 3 32 32019 32020
 1
 3B B 1 
 32021
 1
 2.B 1 1
 32021
 1
 B .
 2
 2 3 4 2019 2020
Bài 4: Cho T ... . Hãy so sánh T với 3 .
 2 22 23 22018 22019
Lời giải:
 2 3 4 2019 2020
T ... 
 2 22 23 22018 22019
 3 4 2020
Xét : 2T 2 ... 
 2 22 22018
 2 3 4 2019 2020
mà T ... 
 2 22 23 22018 22019
 1 1 1 1 2020
Suy ra : 2T T 2 ... 
 2 22 23 22018 22019
 1 1 1 1 2020
 T 2 ... 
 2 22 23 22018 22019
 1 1 1 2020
 2T 4 1 ... 
 2 22 22017 22018
 2021 2020
 2T T 3 3 T 3 .
 22018 22019
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tính 
 2
 1 0 2 0 1 
 1 6 1 2 1 1 2 3 5 
a) : 2 b) 0,1 . 2 : 2 
 3 7 2 7 49 
 Trang 5 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA- TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG
 2 3 3
 4 3 2 
c) . : 
 3 4 3
Đáp số: 
 17 9
 a) . b) 3 . c) .
 8 128
Bài 2: Thực hiện phép tính:
 16 2
 311.11 311.21 5.415.99 4.320.89 3.4.2 
a) A . b) B . c)C .
 39.25 5.29.619 7.229.276 11.213.411 169
 3 3
 1 3 2
 19 3 9 4 .( 2) 2 2
 2 .27 15.4 .9 2 4 6 3 .2 6.3
d) D . e) E . f) A .
 9 10 10 2 2 2 4
 6 .2 12 5 3 3 3 3.3 3
 2.( 1) 
 4 8
Đáp số: 
 1 2
 a) A 9 . b) B 2 . c)C 2 . d) D . e) E 1. f) A . 
 2 3
Bài 3: Thực hiện phép tính:
 212.35 46.92 510.73 255.492 218.187.33 315.215
a) . b) .
 (22.3)6 (125.7)3 59.143 210.615 314.15.413
 5.415.99 4.320.89 511.712 511.711
c) . d) .
 5.229.910 7.229.276 512.711 9.511.711
 6 5 3 6
 212.35 46.92 510.73 255.492 3 .15 9 . 15 
e) . f) .
 (22.3)6 84.35 (125.7)3 59.143 3 10 .55.23
Đáp số :
 32 10 1 4 21
 a) . b) . c) . d) . e) . f) 6 .
 9 11 38 7 6
Bài 4: Tính giá trị các biểu thức sau:
 2 3 n 1 n
A 1 3 32 ...... 32008 . B 7 7 7 ........ 7 7 n ¥ ,n 2 .
 1 1 1 1 1 1 1 1 *
M ....... n ¥ * . N ....... n ¥ .
 0 1 2 3 2n ( 2) 2 n 
 3 3 3 3 3 ( 2) ( 2)
 1 1 1 1 1 1 2 3 4 2020
P 1 . C ... .
 3 9 27 81 243 3 32 33 34 32020
Đáp số: 
 Trang 6 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA- TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG
 32009 1 7n 1 7 32n 1 1
A B M 
 2 6 32n.2
 ( 2)n 1 6 2020
N 3 1 3 1 1010
 n P 5 C 2019 2020
 ( 2) .( 3) 3 .2 3 .4 3 .
Bài 5: Thu gọn các biểu thức sau:
 A 32020 32019 32018 32017 ... 32 3 1 .
 B 52020 52019 52018 52017 ... 52 5 1 .
 C 72021 72019 72017 72015 ... 75 73 7 .
Đáp số: 
 32021 1 52021 1 72023 7
A B C 
 4 4 50
 1 1 1 1 1 1 1
Bài 6: Chứng minh rằng tổng: S ... ... 0,2 .
 22 24 26 24n 2 24n 22018 22020
Hướng dẫn: 
Tính được 
 1 1 1
S S 
 5 22018.5 5
 1 1 1 1 1 1 1
Bài 7: Chứng minh rằng: ... ... .
 72 74 74n 2 74n 798 7100 50
Hướng dẫn: 
 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A .... ..... A 
 72 74 74n 2 74n 798 7100 50 7100.50 50
Dạng 2. Tìm x . 
I.Phương pháp giải.
 Khi tìm x có chứa lũy thừa:
+) Biến x ở phần cơ số, ta đưa hai vế về cùng số mũ và lưu ý:
 an bn (với n lẻ) thì a b .
 an bn (với n chẵn) thì a b hoặc a b .
+) Biến x ở phần số mũ, ta đưa hai vế về cùng cơ số và sử dụng :
 am an (với a 0, 1) thì m n .
II.Bài toán.
Bài 1. Tìm x :
 2
 a) x 2 64 . c) 2x 16 .
 3
 b) x 5 125 . d) 34 x 27 .
 Trang 7 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA- TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG
Lời giải:
 2 x 2 8 x 6 x x 4
 a) x 2 64 b) 2 16 2 2 x 4
 x 2 8 x 10 Vậy x 4 .
 Vậy x 6; 10 .
 4 x 4 x 3
 c) x 5 3 125 (x 5)3 ( 5)3 d) 3 27 3 3 4 x 3 
 x 5 5 x 1
 Vậy x 10 . Vậy x 1 .
Bài 2. Tìm số nguyên n , biết rằng: 
 81
 a) 27n : 3n 9 . b) 243 .
 ( 3)n
 25 1
 c) 5 . d) .2n 4.2n 9.25 .
 5n 2
Lời giải: 
 a) 27n : 3n 9 33n : 3n 32 32n 32 2n 2 n 1 (Thỏa mãn n ¢ ). Vậy n 1 .
 81 n 1
 b) 243 3 ( 3)n 3 1 n 1 ( thỏa mãn n ¢ ). Vậy n 1 .
 ( 3)n 3
 25
 c) 5 5n 51 n 1 (Thỏa mãn n ¢ ). Vậy n 1 .
 5n
 1 9
 d) .2n 4.2n 9.25 .2n 9.25 2n 26 n 6 (Thỏa mãn n ¢ ). Vậy n 6 .
 2 2
Bài 3. Tìm số tự nhiên x , biết rằng:
 x 1 x 1
 a) 5x 5x 2 650 b) 3 5.3 162
Lời giải:
 a) 5x 5x 2 650 b) 3x 1 5.3x 1 162
 5x 25.5x 650 6.3x 1 162
 26.5x 650 3x 1 27
 5x 25 3x 1 33
 5x 52 x 1 3
 x 2 ( Thỏa mãn x ¥ ) x 4 ( Thỏa mãn x ¥ )
 Vậy x 2 . Vậy x 4 .
Bài tập tự luyện:
Bài 1. Tìm x :
a) 2x 2x 2 320 b) 3x 2 3x 810 c) 2x 2.3x 1.5x 10800 
Đáp số : 
 a) x 6 b) x 4 c) x 2
Bài 2. Tìm n là số tự nhiên, biết .
 2 4 n 7 5
 a) 32.3n 35 b) 3 .3 .3 3 c) n 1 243
 7
 d) 22 : 4 .2n 4 e) 2n 3.2n 128 f) 2n 1 5.2n 2 
 32
 n 2 n
 g) 2 2 96 
 Trang 8 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA- TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG
 Đáp số: 
 a) n 3 b) n 5 c) n 4 d) n 2 e) n 2
 f) n 3( không thỏa mãn n ¥ ), vậy không có số tự nhiên n nào thỏa mãn đề bài g) n 5
 Dạng 3. So sánh hai lũy thừa
 * Để so sánh hai lũy thừa ta thường đưa về so sánh hai lũy thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ.
 + Nếu hai lũy thừa cùng cơ số thì lũy thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn
 Nếu m n thì am an (a 1)
 + Nếu 2 lũy thừa có cùng số mũ ( lớn hơn 0) thì số mũ nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn
Nếu a b thì an bn (n 0)
 Ngoài hai cách trên, để so sánh hai lũy thừa ta còn dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu 
 của phép nhân. ( a b thì v a.c b.c ới c>0)
 Dạng 3.1. So sánh hai lũy thừa có cùng cơ số, hoặc cùng số mũ
 I. Phương pháp giải: 
 Nếu m n thì am an (a 1)
 Nếu a b thì an bn (n 0)
 II. Bài toán
 Bài 1. So sánh
 a)33317 và 33323 b) 200710và200810 c) (2008 2007)2009 và (1998 1997)1999
 Lời giải
 Với bài này học sinh có thể nhìn ngay ra cách giải vì các lũy thừa đã có cùng cơ số hoặc có cùng số 
 mũ.
 17 23
 a) Vì 1 < 17 < 23 nên 333 333
 b) Vì 2007 < 2008 nên 200710 200810
 c) Ta có: (2008 2007)2009 12009 1 và (1998 1997)1999 11999 1 
 Vậy (2008 2007)2009 (1998 1997)1999
 Bài 2. So sánh 
 a) 2300 và3200 e)9920 và999910
 b)3500và7300 f)111979 và371320
 5
 c)85 và3.47 g)1010 và48.50
 d) 202303và303202 h) 199010 19909 và199110 
 Lời giải
 Để làm được bài này học sinh cần sử dụng linh hoạt các tính chất của lũy thừa để đưa các lũy 
 thừa về cùng cơ số hoặc cùng số mũ.
 a) Ta có: 2300 (23)100 8100 ; 3200 (32)100 9100 
 Trang 9 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA- TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG
 Vì 8100 9100 nên2300 3200 
 b) Tương tự câu a, ta có: 3500 (35)100 243100;7300 (73)100 343100 
 Vì 243100 343100 nên3500 7300 
 c) Ta có: 85 (23)5 215 2.214 3.214 3.47 85 3.47
 d) Ta có: 202303 (2.101)3.101 (23.1013)101 (8.101.1012)101 (808.1012)101 
 302202 (3.101)2.101 (32.1012)101 (9.1012)101 
 Vì 808.1012 9.1012 nên202303 303202 
 e) Ta thấy: 992 99.101 9999 (992)10 999910 hay9920 999910 
 f) Ta có: 111979 111980 (11)3.660 (113)660 1331660 (1)
 371320 372.660 (372)660 1369660 (2) Từ (1) và (2) suy ra: 111979 371320 
 g) Ta có: 1010 210.510 2.29.510(*) 48.505 (3.24).(2.52)5 (3.24).(25.510) 3.29.510(**) 
 Từ (*) và (**) 1010 48.505 
 h) Có: 199010 19909 19909.(1990 1) 1991.19909 
 199110 1991.19919 
 Vì 19909 19919 nên1991.19909 1991.19919 hay199010 19909 199110 
Bài 3. Chứng tỏ rằng: 527 263 528 
Lời giải
 Với bài này, học sinh lớp 7 sẽ không định hướng được cách làm, giáo viên có thể gợi ý: hãy 
chứng tỏ 263 527 và263 528 
 Ta có: 263 (27 )9 1289và527 (53)9 1259 263 527 (1) 
 Lại có: 263 (29)7 5127 và528 (54)7 6257 263 528(2) 
 Từ (1) và (2) => 527 263 528
 Bài 4. So sánh
a) ( 32)9và( 16)13 b) ( 5)30và( 3)50
 9 13 1 1
c) ( 32) và( 18) d) ( )100và( )500
 16 2
Lời giải
Đưa về so sánh hai lũy thừa tự nhiên. 
a) ( 32)9 329 (25)9 245;( 16)3 163 (24)13 252 
Vì 245 252 nên 224 252 hay( 32)9 ( 16)13 
b) ( 5)30 530 (53)10 12510;( 3)50 350 (35)10 24310 
 Trang 10