Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 7 - Chuyên đề 3: Tỉ lệ thức. Tính chất dãy tỉ số bằng nhau

 CHUYÊN ĐỀ 3. TỈ LỆ THỨC . TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
 ĐS7. CHUYÊN ĐỀ 3 – TỈ LỆ THỨC TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT.
A. Tỉ lệ thức
 a c
1. Định nghĩa: Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số a,b,c,d Q;b 0,d 0 
 b d
Trong đó: Các số hạng a và d được gọi là các ngoại tỉ, các số hạng b và c được gọi là trung tỉ
2. Tính chất: 
a) Tính chất 1: (Tính chất cơ bản của tỉ lệ thức)
 a c
Nếu thì ad bc 
 b d
 a c a b d c d b
b) Tính chất 2: Nếu ad bc và a,b,c,d 0 thì ta có: ; ; ; 
 b d c d b a c a
Như vậy trong tỉ lệ thức, ta có thể hoán vị các trung tỉ với nhau, hoán vị các ngoại tỉ với nhau, hoán vị cả 
trung tỉ với nhau, cả ngoiạ tỉ với nhau.
B. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
1. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
 a c a c a c a c
+) 
 b d b d b d b d
 a c e a c e a c e a c e
+) (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).
 b d f b d f b d f b d f
2. Chú ý: Khi ta nói các số x, y, z tỉ lệ với các số a,b,c , tức là: 
x y z
 hoặc x : y : z a :b : c
a b c
PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI.
Dạng 1. Tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau
I. Phương pháp giải.
 a c
1. Tỷ lệ thức: Là đẳng thức của hai tỉ số (b,d 0) hoặc a :b c : d
 b d
Trong đó: a,b,c,d là các số hạng của tỷ lệ thức
- a và d là các số hạng ngoài hay ngoại tỉ
- b và c là các số hạng trong hay trung tỉ
Các số a và d được gọi là ngoại tỉ; các số b và c được gọi là trung tỉ
2. Tính chất của tỉ lệ thức
 a c
a) Tính chất 1: Nếu ad bc 
 b d
 a c d b d c a b
b) Tính chất 2: Nếu ad bc 0 ; ; ; 
 b d c a b a c d
3. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
 a c a c a c a c
- Nếu (giả thiết các phân số đều có nghĩa)
 b d b d b d b d
- Mở rộng: 
 a c e a c e a c e a c e
+ Nếu (giả thiết các phân số đều có nghĩa)
 b d f b d f b d f b d f
 2 4 6 2 4 6 4 2 4 6 2 4 6 0 0
Ví dụ: ; (do không có nghĩa) nên tính chất không còn 
 3 6 9 3 6 9 6 3 6 9 3 6 9 0 0
đúng
 Trang 1 CHUYÊN ĐỀ 3. TỈ LỆ THỨC . TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
- Nâng cao:
 a c e k a k c k e
+ Nếu k thì 1 2 3 k 
 b d f k1b k2d k3 f
 a c a b c d a b c d
+ Nếu thì ; 
 b d b d a c
 (Tính chất này gọi là tính chất tổng hoặc hiệu tỉ lệ)
 x y z
4. Chú ý: Khi có dãy tỉ số , ta nói các số x, y, z tỉ lệ với các số a,b,c
 a b c
 a b c
Ví dụ: Khi có dãy tỉ số , ta nói các số a,b,c tỉ lệ với các số 2,3,5
 2 3 5
Ta cũng viết a :b : c 2 :3:5
 a c
+) Vì tỉ lệ thức là một đẳng thức nên nó có tính chất của đẳng thức, từ tỉ lệ thức suy ra
 b d
 2 2
 a c a c a c k1a k2c
 . ;k. k. k 0 ; k1,k2 0 
 b d b d b d k1b k2d
 3 3 3 2
 x y z x y z x y z x y z
Từ . . ; .
 a b c a b c a b c a b c
II. Bài toán.
 a b c d a c
Bài 1: Chứng minh rằng nếu (c d 0) thì 
 b c d a a b c d 0
Lời giải
Chú ý: Trong bài toán có chữ nếu thì không cần đặt điều kiện mẫu khác 0 nữa
 a b c d a b b c a b b c a b c d a b c d
Ta có: 1 1 
 b c d a c d d a c d a d c d a d
 a b c d 0
 1 1 a b c d 0
 a b c d 0 1 1 đpcm
 c d d a a c
 c d d a
Bài 2: Cho (x y) : (x y) : xy 1:9 :30 . Với x, y 0 hãy tính xy ?
Lời giải
 x y x y xy
Theo giả thiết ta có: (x y) : (x y) : xy 1:9 :30 (x, y 0)(1)
 1 9 30
 xy x y x y x y x y x xy x y
Từ (1) 1 y 6
 30 1 9 10 5 30 5 6
 xy x y x
Lại có: * , thay y 6 vào (*) ta được: 
 30 1 5
 xy x 6 x x (x 6) 6 3 xy 3
 xy 45
 30 1 5 5 1 4 2 30 2
Vậy xy 45
 a 1 a 2 a 99 a 100
Bài 3: Tìm các số a ;a ;...;a , biết 1 2 .... 99 100 
 1 2 100 100 99 2 1
và a1 a2 ... a100 10100
Lời giải
 Trang 2 CHUYÊN ĐỀ 3. TỈ LỆ THỨC . TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Theo bài ra tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và ta có: 
a 1 a 2 a 99 a 100 (a ... a ) (1 2 ... 100)
 1 2 .... 99 100 1 100 
 100 99 2 1 100 99 ... 1
 (1 100).100
 10100 
 2 1 a a ... a 101
 (1 100).100 : 2 1 2 100
Vậy a1 a2 ... a100 101.
Bài 4: Cho các số a,b,c,d 0 và thỏa mãn b2 ac;c2 bd;b3 c3 d 3 0. Chứng minh rằng 
a3 b3 c3 a
b3 c3 d 3 d
Lời giải: Vì các số a,b,c,d 0 , ta có: 
 a b b c a b c a3 b3 c3
b2 ac ;c2 bd (*) 
 b c c d b c d b3 c3 d 3
 a3 b3 c3 a3 b3 c3
 Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau (1) .
 b3 c3 d 3 b3 c3 d 3
 a3 a a a a b c a
 Lại có: . . . . (2)
 b3 b b b b c d d
 a3 b3 c3 a
Từ (1)(2) (đpcm)
 b3 c3 d 3 d
Bài 5: Cho (a b) : (b c) : (c a) 6 : 7 :8;a b c 42. Hãy tìm c?
Lời giải
 a b b c c a
Cách 1: từ đề bài suy ra k a b 6k;b c 7k;c a 8k 
 6 7 8
 2(a b c) 21k k 4
 a b 24
 c 18
 a b c 42
 a b b c c a 2(a b c) 84 a b
Cách 2: 4 4 a b 24 c 18
 6 7 8 21 21 6
 a c
Bài 6: Cho . Chứng minh rằng:
 b d
 a b c d
a) 
 b d
 a c b d
b) 
 c d
 a b c d
c) 
 a c
Lời giải
 a c a c a b c d
a) Ta có: 1 1 
 b d b d b d
 a c a b a b a c b d
b) Ta có: 1 1 (với c khác 0)
 b d c d c d c d
 a c b d b d a b c d
c) Ta có: 1 1 (với a và c khác 0)
 b d a c a c a c
 Trang 3 CHUYÊN ĐỀ 3. TỈ LỆ THỨC . TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
 a c
Bài 7.1: Cho . Chứng minh rằng:
 b d
 a a c a b c d
a) b) 
 b b d a b c d
 a b c a
7.2) Với a2 bc thì 
 a b c a
Lời giải
 a c a c
a) Ta có (tính chất dãy tỉ số bằng nhau)
 b d b d
 a c a b a b a b a b c d
b) (đpcm)
 b d c d c d c d a b c d
 a c a b a b a b c a
c) Từ giả thiết (đpcm) (với a,b,c đôi một khác nhau và khác 0)
 b a c a c a a b c a
Bài 8: 
 a c 7a2 3ab 7c2 3cd
a) Nếu thì 
 b d 11a2 8b2 11c2 8d 2
 a2 b2 a
b) Với b2 ac thì 
 b2 c2 c
 a c a 3a 2c
c) Nếu thì 
 b d b 3b 2d
Lời giải
 a c a b a2 b2 a.b 7a2 3ab 11a2 8b2
a) Ta có (đpcm)
 b d c d c2 d 2 c.d 7c2 3cd 11c2 8d 2
 a c
Cách khác: đặt k suy ra a bk , c dk , thay vào từng vế của đẳng thức cần chứng minh, rút gọn, 
 b d
tính mỗi vế theo k suy ra điều phải chứng minh
 a b a2 b2 a b a2 b2 a
b) Ta có . (đpcm)
 b c b2 c2 b c b2 c2 c
 a c 3a 2c 3a 2c a 3a 2c
c) Theo giả thiết (đpcm)
 b d 3b 2d 3b 2d b 3b 2d
 a c a2 c2 ac
Bài 9: Cho . Chứng minh rằng 
 b d b2 d 2 bd
Lời giải
 2
 a c a c a a2
Ta có: . 2 1 
 b d b d b b
 a c a2 c2 a2 c2
Lại có: 2 
 b d b2 d 2 b2 d 2
 a2 c2 ac
Từ (1)(2) (đpcm)
 b2 d 2 bd
 a c
Cách 2: đặt k suy ra a bk , c dk , thay vào từng vế của đẳng thức cần chứng minh, rút gọn, tính 
 b d
mỗi vế theo k suy ra điều phải chứng minh.
 a c 5a 3b 5c 3d
Bài 10: Cho . Chứng minh rằng 
 b d 5a 3b 5c 3d
Lời giải
 Trang 4 CHUYÊN ĐỀ 3. TỈ LỆ THỨC . TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
 a c 5a 3c 5a 3b 5a 3b 5a 3b 5c 3d
Ta có: 
 b d 5b 3d 5c 3d 5c 3d 5a 3b 5c 3d
 a c
Cách 2: đặt k suy ra a bk , c dk , thay vào từng vế của đẳng thức cần chứng minh, rút gọn, tính 
 b d
mỗi vế theo k suy ra điều phải chứng minh.
Bài 11:
 a c xa yb xc yd
Cho , Các số x, y,z,t thỏa mãn xa yb 0,zc td 0 . Chứng minh: 
 b d za tb zc td
Lời giải
 a b ax by ax by az tb az tb
Từ giả thiết 
 c d cx dy cx dy cz td cz td
 xa yb xc yd
 (đpcm)
 za tb zc td
 2
 a c a.d a2 b2 a b a2 b2
Bài 12: Cho tỉ lệ thức: . Chứng minh rằng: 2 2 và 2 2
 b d c.d c d c d c d
Lời giải
 a c a b a.b a2 b2 a2 b2
Từ 
 b d c d c.d c2 d 2 c2 d 2
 2
 a b a b a2 b2 a b a2 b2
và 2 2 2 2 2
 c d c d c d c d c d
 a c
Cách 2: đặt =k suy ra a bk , c dk , thay vào từng vế của đẳng thức cần chứng minh, rút gọn, tính 
 b d
mỗi vế theo k suy ra điều phải chứng minh.
 2 2
Bài 13: Cho 4 số a1,a2 ,a3,a4 thỏa mãn: a2 a1.a3 , a3 a2 .a4 . 
 3 3 3
 a1 a2 a3 a1
 Chứng minh rằng: 3 3 3 
 a2 a3 a4 a4
Lời giải
 3 3 3 3 3 3
 a1 a2 a2 a3 a1 a2 a3 a1 a2 a3 a1 a2 a3 a1 a2 a3 a1
Từ giả thiết , 3 3 3 3 3 3 . . (đpcm)
 a2 a3 a3 a4 a2 a3 a4 a2 a3 a4 a2 a3 a4 a2 a3 a4 a4
 a c b a3 c3 b3 a
Bài 14: Cho . Chứng minh rằng: 
 c d d c3 b3 d3 d
Lời giải
 a c b a3 c3 b3 a
Ta có: 
 c b d c3 b3 d3 d
 a3 c3 b3 a a3 c3 b3
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được: (đpcm)
 c3 b3 d3 d c3 b3 d3
 a c
Bài 15: Cho tỉ lệ thức: . 
 b d
 2a2 3ab 5b2 2c2 3cd 5d 2
Chứng minh rằng: (với điều kiện mẫu thức xác định)
 2b2 3ab 2d 2 3cd
Lời giải
 Trang 5 CHUYÊN ĐỀ 3. TỈ LỆ THỨC . TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
 a c a k.b
Đặt k , thay vào biểu thức ta được:
 b d c kd
 2a2 3ab 5b2 k2 3k 5 2c2 3cd 5d 2 k2 3k 5
 1 và 2 
 2b2 3ab 2 3k 2d 2 3cd 2 3k
 2a2 3ab 5b2 2c2 3cd 5d 2
Từ (1)(2) (đpcm)
 2b2 3ab 2d 2 3cd
 a c ac 2009a2 2010c2
Bài 16: Cho . Chứng minh rằng: 
 b d bd 2009b2 2010d 2
Lời giải
 2 2
 a c a c a c a.c a2 c2
Từ giả thiết ta có: . 2 2
 b d b d b d b.d b d
 a.c 2010c2 2009a2 2010c2 2009a2
 b.d 2010d 2 2009b2 2010d 2 2009b2
 4
 a c a b a4 b4
Bài 17: Chứng minh rằng: Nếu thì 4 4
 b d c d c d
Lời giải
 4
 a c a b a b a4 b4 a b a4 b4
Ta có: 4 4 4 4 (đpcm)
 b d c d c d c d c d c d
 2
 a c ab a b 
Bài 18: Cho b,c,d,c d 0 . Chứng minh rằng: 2
 b d cd c d 
Lời giải
 2
 a b a b a b a b a b a b 
Ta có: . . 2 (đpcm)
 c d c d c d c d c d c d 
 x y y z
Bài 19: Chứng minh rằng: Nếu 2 x y 5 y z 3 z x thì 
 4 5
Lời giải
 x y z x x y z x y z z x y z z x x y
Ta có: y z ; 
 3 2 3 2 3 5 3 5 5
 x y z x 2 z x x y z x z x y z z x
 x y (1) và y z (2)
 2 5 5 4 10 2 5 10
 x y y z
Từ (1) và (2) ta có: 
 4 5
 2 2
Bài 20: Chứng minh rằng: Nếu có a,b,c,d thỏa mãn ab ab 2cd c d ab ab 2 2 ab 1 0 thì 
chúng lập thành một tỉ lệ thức.
Lời giải
Từ giả thiết ta xét 2 trường hợp:
 2 a b
+) TH1: ab ab 2cd c2d 2 0 ab cd 0 ab cd (đpcm)
 c d
 2 2 2 2
+) TH2: ab ab 2 2 ab 1 0 a b 2ab 2ab 2 0 a b 2 (vô lý)
 2
 a b c a c 
Bài 21: Cho dãy . Chứng minh rằng: a b b c .
 2009 2011 2013 4
Lời giải
 Trang 6 CHUYÊN ĐỀ 3. TỈ LỆ THỨC . TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
 a b c a c a b b c
Ta có: k
 2009 2011 2013 4 2 2
 a c 4k 2 2
 a c 4k 2
 a b 2k 4k và a b b c 4k2
 4 4
 b c 2k
 VT VP (đpcm)
 a2 b2
Bài 22: Cho a, b dương thỏa mãn: a2006 b2006 a2004 b2004 . Chứng minh 2 4
 32
Lời giải
 a2 b2
Giả sử a 1 b 1 2 4
 32
Nếu a 1 b 1 , giả sử a b a2004 a2 1 b2004 1 b2 
 a2004 1 b2
 , Vì a b 1 b2 a2 1 a2 b2 2
 b2004 1 a2
 a2 b2 2
 2 4 (đpcm)
 32 32
 1 1 1 1 1 1
Bài 23: Cho a,b,c 0 và 0 . Chứng minh rằng 0
 a b c ab bc ca
Lời giải
 1 1 1 1 1 1 1 1
Từ giả thiết 0 0 
 a b c a b c ab ac
 1 1 1 1
Tương tự: 0, 0
 bc ab ac bc
 1 1 1 
Cộng theo vế ta được: 2 0 (đpcm)
 ab bc ca 
 x2000 y2000 2
Bài 24: Cho x2 y2 1 và b.x2 a.y2 . Chứng minh rằng: 
 a1000 b1000 (a b)1000
Lời giải
 x2 y2 x2 y2 1
 Từ bx2 ay2 
 a b a b a b
x2000 y2000 1 x2000 y2000 2
 1000 1000 1000 1000 2000 1000 (đpcm)
a b a b a b a b 
 a b b c c a
Bài 25: Chứng minh rằng nếu x , y ,z thì ta có: 
 a b b c c a
 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 
Lời giải
 a b 2a 2b 2c
Xét x 1 1 . Tương tự: y 1 ;z 1 
 a b a b b c c a
 8abc
Khi đó VT 
 a b b c c a 
 a b 2b 2c 2a
Tương tự: 1 x 1 , 1 y ,1 z 
 a b a b b c c a
 Trang 7 CHUYÊN ĐỀ 3. TỈ LỆ THỨC . TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
 8abc
Khi đó: VP VT (đpcm)
 a b b c c a 
 b2 b2
Bài 26: Biết a2 ab 15; c2 6 và a2 ac c2 9 a,c 0;a c . Chứng minh rằng 
 3 3
 2c b c
 a a c
Lời giải
 2 2
 2 b 2 2 2 b 
Ta có: a ab 15 6 9 a ac c c 
 3 3 
 2c2 ab ac 2c2 ab ac 2ac 2c2 2ac ab ac
 2c b c
 2c c a a b c 
 a a c
 x 5
Bài 27: Cho 3x 9y 1 và 8y 2x 8 0 . Chứng minh rằng: 
 y 3
Lời giải
Từ 8y 2x 8 23y 2x 8 3y x 8 (1)
Và 3x 9y 1 32 y 1 x 2y 2 
Thay x 2y 2 vào (1) ta được: 3y 2y 2 8 y 6 x 10 .
Bài 28: Cho 3 số a,b,c đôi 1 khác nhau. Chứng minh rằng: 
 b c c a a b 2 2 2
 a b a c b c b a c a c b a b b c c a
Lời giải
 2 1 1 1 1
Ta có: 
 a b a b a b a b b a
 2 1 1 2 1 1
Tính tương tự ta có: , và 
 b c b c c b c a c a a c
 2 2 2 1 1 1 1 1 1 
Cộng theo vế: VT
 a b b c c a a b a c b c b a c a c b 
 3a 2b c 3a 2b c
Bài 29: Cho tỷ lệ thức (b 0). Chứng minh rằng a c 0
 a 2b c a 2b c
Lời giải
 3a 2b c 3a 2b c (3a 2b c) (3a 2b c) 4b 3a 2b c a 2b c
Ta có 1(b 0) 
 a 2b c a 2b c (a 2b c) (a 2b c) 4b 3a 2b c a 2b c
 a c 0 (đpcm)
 a c a c
Bài 30: Cho 2 số hữu tỷ và với b 0; d 0 . Chứng minh rằng: ad bc
 b d b d
Lời giải
 a c 
 ad cb
+ Có: b d  ad bc
 bd db
 b 0;d 0 
 ad bc  ad bc a c
+ Có:  
 b 0;d 0 bd db b d
 Trang 8 CHUYÊN ĐỀ 3. TỈ LỆ THỨC . TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
 a c a a c c
Bài 31: Nếu b 0; d 0 thì từ 
 b d b b d d
Lời giải
 a c 
+ Có b d  ad bc 1 thêm vào 2 vế của (1) với ab ta có:
 b 0;d 0 
 a a c
ad ab bc ab a b d b c a 2 
 b b d
+ Thêm vào hai vế của (1) với dc ta có:
 a c c
 1 ad dc bc dc d a c c b d 3 
 b d d
+ Từ (2) và (3) ta có: 
 a c a a c c
Từ (đpcm)
 b d b b d d
 a b c d
Bài 32. Cho a,b,c,c 0. Chứng minh rằng: 1 2
 a b c b c d c d a d a b
Lời giải
Lưu ý: sử dụng tính chất: Với a,b,c là các số dương ta có: 
 a a a c
- Nếu 1 thì 
 b b b c
 a a a c
- Nếu 1 thì 
 b b b c
Áp dụng vài bài 
 a
+ Từ 1 theo tính chất (3) ta có:
 a b c
 a d a
 1 (do d 0)
a b c d a b c
 a a
Mặt khác: 2 
 a b c a b c d
 a a a d
+ Từ (1) và (2) ta có: 3 
 a b c d a b c a b c d
+ Tương tự ta có: 
 b b b a
 4 
a b c d b c d a b c d
 c c c b
 5 
a b c d c d a c d a b
 d d d c
 6 
d a b c d a b a b c d
+ Cộng bất đẳng thức kép (3); (4); (5); (6) theo từng vế thì được:
 a b c d
1 2
 a b c b c d c d a d a b
 a c a ab cd c
Bài 33. Cho và b;d 0 . Chứng minh rằng 
 b d b b2 d 2 d
Lời giải
 a c a.b c.d ab cd
Ta có và b;d 0 nên 
 b d b.b d.d b2 d 2
 Trang 9 CHUYÊN ĐỀ 3. TỈ LỆ THỨC . TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
 ab ab cd cd a ab cd c
Theo tính chất (2) ta có: 
 b2 b2 d 2 d 2 b b2 d 2 d
Dạng 2: Chứng minh dãy tỉ số bằng nhau
I. Phương pháp giải
Cách 1: Sử dụng định nghĩa
 a c
Ví dụ: Cho 
 b d
 a c
Ta sẽ đặt k a bk;c dk rồi thay a,c vào biểu thức cần chứng minh
 b d
Cách 2: Sử dụng phương pháp nhân chéo
 a c
Để chứng minh ta đi chứng minh ad bc 
 b d
Cách 3: Áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau
 a c x a c x a c c a c x
Ví dụ: Ta có thì 
 b d y b d y b d y b d y
 m m m m m m m m m
 a c x * a c x a c x
 m N m m m m m m
 b d y b d y b d y
II. Bài toán.
Bài 1:
 2017
 a c a2017 b2017 a 2b 
Cho (b,d 0,c d,c 2d 0). Chứng minh rằng 2017 2017 
 b d c d c 2d 
Lời giải
 a c
Cách 1: Từ giả thiết 
 b d
 b2017
- Nếu c 0 a 0 VT VP 
 d 2017
 a b
- Nếu c 0  k a kc;b kd a2017 b2017 k2017 (c2017 d 2017 ) VT k2017
 c d
 a 2b
Ta lại có: a 2b k(c 2d) k VP k2017 VT
 c 2d
Cách 2: - Xét với c 0
 a b 2b a 2b a2017 b2017 (a 2b)2017 a2017 b2017
- Xét với c 0 (đpcm)
 b d 2d c 2d c2017 d 2017 (c 2d)2017 c2017 d 2017
Bài 2:
 bz cy cx az ay bx x y z
Cho . Chứng minh rằng 
 a b c a b c
Lời giải
 x y z
*) Phân tích: ay bx 0;bz yc 0
 a b c
 bz cy a(bz cy) abz acy cx az cxb azb ay bx acy bcx
Ta có: ; ; 
 a a2 a2 b b2 c c2
 bz cy (abz acy) (bcx abz) (acy bcx) y z
 0 bz cy 0 
 a a2 b2 c2 b c
 x z y x z
Tương tự cx az 0 .
 a c b a c
 Trang 10