Đề thi học sinh giỏi môn Toán 7 (Có đáp án) - Năm học 2015-2016 - Phòng giáo dục và đào tạo huyện Hoài Nhơn

UBND HUYỆN HOÀI NHƠN
PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016
Môn TOÁN 7
Bài 1. (4 điểm)
So sánh hai số : và 
Chứng minh rằng : Số chia hết cho với mọi 
Bài 2. (4 điểm)
Tìm tất cả các cặp số thỏa mãn 
Tìm số tự nhiên và chữ số biết rằng: 
Bài 3. (4 điểm) Ba lớp 7 ở trường có tất cả 147 học sinh. Nếu đưa số học sinh của lớp số học sinh của lớp và số học sinh của lớp đi thi học sinh giỏi cấp huyện thì số học sinh còn lại của ba lớp bằng nhau. Tính tổng số học sinh của mỗi lớp 7 ở trường K.
Bài 4. (4 điểm) Cho tam giác có 
Tính số đo các góc của 
Kẻ . Chứng minh : 
Bài 5. (4 điểm) Cho tam giác cân ở A. Trên cạnh lấy điểm trên tia đối của tia lấy điểm sao cho 
Chứng minh rằng: 
Chứng minh rằng: đi qua trung điểm của đoạn thẳng 
Đường trung trực của và tia phân giác của cắt nhau tại K. Chứng minh rằng 
ĐÁP ÁN
Bài 1.
Ta có: 
Ta thấy : 
Ta có:
Ta thấy :
Do đó suy ra chia hết cho 133
Vậy: số chia hết cho 133, với mọi 
Bài 2.
Ta có là số tự nhiên chẵn 
Và 
Do đó, từ suy ra: 
Ta có: và 
Do đó, từ 
chia hết cho số nguyên tố 37 
hoặc chia hết cho 37 (1)
Mặt khác: 
Từ (1) và (2)hoặc 
Với 
Với 
Vậy và 
Bài 3.
Goi tổng số học sinh của lần lượt là 
Theo bài ra ta có: và 
Từ (*)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
Vậy tổng số học sinh của lần lượt là 
Bài 4.
Từ 
Vậy 
Trong có:
Xét có 
Áp dụng định lý Pytago cho hai tam giác vuông có:
và 
Do đó, từ (*)
Từ (1) và (2) 
Bài 5.
Theo giả thiết, ta có: 
, cân ở A
Do đó, từ 
Qua M kẻ 
cân ở Acân ở M
Vậy đi qua trung điểm của 
K thuộc đường trung trực của 
Kết quả chứng minh câu a: 
Từ 
Từ (*) và (**)