Đề thi Olympic môn Toán 7 (Có đáp án) - Năm học 2018-2019 - Trường THCS Hồng Liên

TRƯỜNG THCS HỒNG LIÊN
ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 7
NĂM HỌC 2018-2019
MÔN: TOÁN 7
Câu 1. (3 điểm) Cho là ba số thực dương, thỏa mãn điều kiện:
Hãy tính giá trị của biểu thức: 
Câu 2. (5 điểm)
Cho Chứng minh: 
Cho và Xác định 
Ba lớp cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với nhưng sau đó chia theo tỉ lệ nên có một lớp nhận nhiều hơn dự định 4 gói. Tính tổng số gói tăm mà ba lớp đã mua.
Câu 3. (2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức với là số nguyên
Câu 4. (7 điểm)
Cho có tia phân giác Từ điểm B trên kẻ tại H, kẻ và cắt tại C. Từ C kẻ tại M. Chứng minh:
là trung điểm của 
 là tam giác đều
Cho Tính các cạnh của 
Câu 5. (3 điểm)
Cho biết với mọi Chứng minh có ít nhất hai nghiệm. 
ĐÁP ÁN
Câu 1.
Vì là các số dương nên 
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
Mà 
Vậy 
Câu 2.
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau: 
Do đó: 
3) Gọi tổng số tăm của ba lớp cùng mua là 
Số gói tăng dự định chia cho 3 lớp lúc đầu lần lượt là 
Ta có: 
Số gói tăm sau đó chia cho 3 lớp lần lượt là ta có:
So sánh (1) và (2) ta có: nên lớp 7C nhận nhiều hơn lúc đầu
Vậy hay 
Vậy số gói tăm 3 lớp đã mua là 360 gói.
Câu 3.
Ta có: 
Dấu xảy ra khi 
Câu 4. 
cân tại B do và là đường cao là đường trung tuyếnlà trung điểm của AC
mà 
Ta có: mà là tam giác cân (1)
Mặt khác và 
Từ (1) và (2) suy ra là tam giác đều
Vì vuông tại K mà 
Vì vuông tại K nên theo Pitago ta có:
mà 
đều 
Theo phần b, 
Câu 5. Vì với mọi nên:
+khi thì . Vậy là một nghiệm của 
+Khi thì . Vậy là một nghiệm của 
Do đó có ít nhất 2 nghiệm là và