Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 - Chuyên đề 8: Hai tam giác bằng nhau. Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác

 Buổi 13 Ngày soạn:
 Ngày dạy: 
 Chuyên đề 8. HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU.
 CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA HAI TAM GIÁC
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức: 
- Nắm vững kiến thức về hai tam giác hai tam giác bằng nhau, các trường hợp bằng 
nhau của hai tam giác.
- Nắm chắc kiến thức hình học đã được học từ các bài trước để giải toán
2. Kĩ năng: 
- Vận dụng linh hoạt các kiến thức liên quan để giải toán.
- Thành thạo trình bày bài toán chứng minh hai tam giác bằng nhau.
3. Thái độ: Tập trung, cẩn thận, tự giác, tích cực
4. Nội dung trọng tâm: Nâng cao và phát triển chuyên đề hai tam giác bằng nhau, các 
trường hợp bằng nhau của tam giác. 
5. Định hướng phát triển năng lực:
- Năng lực chung: NL tự học, NL sáng tạo, NL tính toán; NL sử dụng ngôn ngữ
- Năng lực chuyên biệt: Định nghĩa và viết kí hiệu hai tam giác bằng nhau. Tìm được 
các đỉnh, các góc, các cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau. Tìm được hai đoạn 
thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau của hai tam giác bằng nhau
II. PHƯƠNG PHÁP, KỸ THUẬT, HÌNH THỨC TỔ CHỨC DẠY HỌC 
- Phương pháp và và kĩ thuật dạy học: thảo luận, đàm thoại gợi mở, thuyết trình.
- Hình thức tổ chức dạy học: cá nhân, cặp đôi, nhóm.
III. CHUẨN BỊ:
1. Giáo viên: Bài soạn nâng cao và phát triển, SGK, thước chia khoảng, thước đo góc 
2. Học sinh: SGK, thước chia khoảng, thước đo góc 
IV. NỘI DUNG BÀI HỌC
A. Kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa. Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng 
nhau, các góc tương ứng bằng nhau.
 µA µA , Bµ B¶ ,Cµ Cµ 
 ABC A B C 
 AB A B , AC A C , BC B C,
2. Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác
 Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng 
nhau.
 AB A B 
 AC A C  ABC A B C c.c.c 
 BC B C  Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của 
tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
 AB A B 
 Bµ Bµ  ABC A B C c.g.c 
 BC B C 
 
 Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam 
giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
 Bµ Bµ 
 BC B C  ABC A B C g.c.g 
 µ µ 
 C C 
2. Hệ quả.
 Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng hai cạnh góc vuông của tam 
giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
 Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng 
một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam 
giác vuông ấy bằng nhau.
 Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một 
góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. µA µA 90
 BC B C  ABC A B C (cạnh huyền – góc nhọn)
 µ µ 
 B B 
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho ABC MNP .
a) Viết kí hiệu về sự bằng nhau của hai tam giác đó với ba cách khác.
b) Cho AB 5cm ; AC 6cm ; NP 7cm . Tính chu vi mỗi tam giác? Hãy nêu nhận xét?
 Giải
* Tìm cách giải. Khi viết hai tam giác bằng nhau thì các đỉnh tương ứng phải viết theo 
cùng một thứ tự. Viết như vậy, thì việc suy ra các cặp cạnh tương ứng bằng nhau mới 
chính xác.
* Trình bày lời giải.
a) ACB MPN ; CBA PNM ; BAC NMP .
b) ABC MNP suy ra AB MN 5cm ; AC MP 6cm ; BC NP 7cm .
Chu vị ABC bằng: AB AC BC 5 6 7 18 cm .
Chu vi MNP bằng: MN MP NP 5 6 7 18 cm .
* Nhận xét. Hai tam giác bằng nhau thì có chu vi bằng nhau.
Ví dụ 2: Cho ABC HIK , biết µA Bµ 124 ; Hµ I 16 . Tính các góc của mỗi tam 
giác.
 Giải
* Tìm cách giải. Bài toán yêu cầu tính số đo góc của tam giác nên từ ABC HIK , 
chúng ta chỉ quan tâm tới cặp góc tương ứng bằng nhau.
* Trình bày lời giải.
 ABC HIK µA Hµ; Bµ I; Cµ Kµ (cặp góc tương ứng).
Vì µA Bµ 124 Hµ I 124; mà Hµ I 16 , nên 
 Hµ 124 16 : 2 70;
 I 124 16 : 2 54 .
 HIK có Hµ I Kµ 180 ; 70 54 Kµ 180 Kµ 56 .
Vì ABC HIK nên µA Hµ 70; Bµ I 54; µC Kµ 56 .
Ví dụ 3: Cho góc nhọn xOy . Lấy điểm A thuộc tia Ox, điểm B thuộc tia Oy sao cho 
 OA OB . Vẽ hai cung tròn tâm A và tâm B có cùng bán kính nhỏ hơn OA sao cho 
chúng cắt nhau tại 2 điểm C và D. Chứng minh rằng:
a) AOC BOC .
b) Ba điểm O, C, D thẳng hàng. Giải
a) Xét OAC và OBC có: OA OB (giả thiết), AC BC (bán kính bằng nhau), OC 
cạnh chung.
 OAC OBC c.c.c .
b) OAC OBC c.c.c nên ·AOC B· OC
tương tự: OAD OBD c.c.c nên ·AOD B· OD .
Nên C, D cùng thuộc tia phân giác góc xOy hay O, 
C, D thẳng hàng.
* Nhận xét. 
 Khi chứng minh hai tam giác bằng nhau bạn nên 
chú ý cạnh chung.
 Muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta có thể 
chứng minh ba điểm đó cùng nằm trên tia phân 
giác của một góc.
Ví dụ 4: Cho ABC có AB AC . Lấy M thuộc cạnh 
AB; lấy N thuộc tia đối của tia CA sao cho 
 CN BM . Gọi I là một điểm sao cho IB IC ; IM IN . Chứng minh rằng: IC  AN .
 Giải
Ta có ABI ACI c.c.c ·ACI ·ABI .
 MBI NCI c.c.c N· CI ·ABI .
Suy ra ·ACI N· CI , mà đó là hai góc kề bù nên 
 ·ACI N· CI 90 , hay IC  AN .
* Nhận xét. 
Đây là bài toán khó. Để chứng minh IC  AN 
chúng ta suy nghĩ và chứng minh I·CA I·CN là điều 
cần thiết. Sau đó, chúng ta hãy tìm các cặp tam giác 
bằng nhau mà trong các tam giác ấy có chứa I·CA 
hoặc I·CN .
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có µA 90 . Kẻ tia phân 
giác góc Bµ cắt AC tại D. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM BA.
a) Chứng minh rằng DM  BC .
b) Chứng minh rằng AM  BD .
c) Nếu biết ·AMD 36 . Tính số đo Bµ ; Cµ của ABC .
 Giải
a) ABD và MBD có BA BM ; ·ABD M· BD ; BD là 
cạnh chung ABD MBD c.g.c .
 B· AD B· MD B· MD 90 DM  BC .
b) Gọi I là giao điểm của AM và BD.
Xét ABI và MBI có AB MB ; ·ABI M· BI ; BI là cạnh 
chung
 ABI MBI c.g.c 
 ·AIB M· IB mà ·AIB M· IB 180 nên ·AIB M· IB 90 , suy ra: AM  BD . c) ·AMD 36 nên I·MB 90 36 54 ;
 BIM vuông nên I·BM 90 54 36 .
Suy ra Bµ 36.2 72 do đó Cµ 90 72 18 .
Ví dụ 6: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ đoạn 
thẳng AM  AB ; AM AB sao cho M và C khác phía 
đối với đường thẳng AB. Vẽ đoạn thẳng AN  AC và 
 AN AC sao cho N và B khác phía đối với đường thẳng 
AC. Gọi I, K lần lượt là trung điểm BN và CM. Chứng 
minh rằng:
a) AMC ABN ;
b) MC BN và MC  BN ;
c) AI AK và AI  AK .
 Giải
a) M· AC B· AN 90 B· AC nên MAC BAN c.g.c .
b) MAC BAN BN CM . Và ·AMC ·ABN .
Gọi P là giao điềm của AB và CM
Ta có: ·AMC ·APM 90 (vì AMP vuông)
 ·ABN B· PO 90 BN  CM .
c) CM BN MK BI , mà ·AMK ·ABN ; AM AB
nên AMK ABI c.g.c AK AI .
 M· AK B· AI ; mà M· AK K· AB 90
 B· AI K· AB 90 hay AI  AK .
Ví dụ 7: Cho ABC vuông tại A có BC 2.AB . Tia phân giác của góc Bµ cắt AC tại D.
a) Chứng minh rằng BD CD .
b) Tính góc Bµ và Cµ của tam giác ABC.
 Giải
 1 
a) Gọi E là trung điểm của BC. Suy ra BE CE AB BC 
 2 
 ABD và EBD có BA BE ; ·ABD E· BD (giả thiết); BD là cạnh chung
 ABD EBD c.g.c B· AD B· ED B· ED 90 .
Xét BDE và CDE có: B· ED C· ED 90 ; BE CE ; DE chung 
 BDE CDE c.g.c 
 BD CD
b) BDE CDE c.g.c Cµ D· BE
 Bµ 2.Cµ
Mặt khác: Bµ Cµ 90 (Vì ABC vuông tại A)
 2Cµ Cµ 90 Cµ 30; Bµ 60.
Ví dụ 8: Cho tam giác ABC có µA 60. Các tia phân 
giác góc B, góc C cắt nhau tại O và cắt AC; AB theo thứ tự D; E. Chứng minh rằng: 
 OD OE .
 Giải
 ABC có µA Bµ Cµ 180 Mà µA 60 nên Bµ Cµ 120.
 1 1
Ta có Bµ Cµ .Bµ .Cµ 60 .
 1 1 2 2
 · µ µ
 BOC có BOC B1 C1 180
 · µ
Nên BOC 120; O1 60.
- Kẻ Ox là tia phân giác góc B· OC , cắt BC tại I nên 
 ¶ ¶
 O2 O3 60 .
 µ ¶ µ ¶
Xét BEO và BIO có B1 B2 (giả thiết); O1 O2 60 ; BO là cạnh chung 
do đó BEO BIO g.c.g . Suy ra OE OI .
- Chứng minh tương tự ta có COD COI nên OD OI .
Vậy OE OD OI .
* Nhận xét. 
- Để chứng minh OE OD , ta chưa thể ghép chúng vào hai tam giác nào bằng nhau 
được. Do vậy, ta nghĩ đến cách kẻ đường phụ. Cho số đo góc A ta liên hệ với bài đã 
biết nên tính được số đo góc BOC và góc BOE nên dựng được điểm I.
- Bài toán còn có cách khác, là lấy điểm I trên BC sao cho BI BE , sau đó chứng minh 
 BOE BOI rồi chứng minh COD COI .
- Từ cách trên ta còn suy ra kết quả đẹp là BE CD BC .
Ví dụ 9: Cho tam giác ABC. Từ B kẻ BD  AC ; CE  AB . Gọi H là giao điểm của BD 
và CE. Biết rằng HD HE .
a) Chứng minh rằng BHE CHD ;
b) Chứng minh rằng ABD ACE ;
c) Chứng minh AH là tia phân giác của B· AC .
d) Gọi I là giao điểm của AH và BC. Chứng minh rằng AI  BC .
 Giải
a) BHE và CHD có B· EH C· DH 90 ; HD HE ; 
 B· HE C· HD
 BHE CHD g.c.g .
b) BHE CHD BH CH ; mà HD HE
 BD CE .
 ADB và AEC có ·ADB ·AEC 90 ; BD CE ; B· AC 
chung
 ADB AEC (cạnh huyền – góc nhọn).
c) ABD ACE AB AC .
 ABH và ACH có AB AC ; AH là cạnh chung; 
 BH CH (chứng minh trên) 
 ABH ACH c.c.c 
 B· AH C· AH AH là tia phân giác của B· AC .
d) ABI và ACI có AB AC ; B· AI C· AI ; AI là cạnh chung
 ABI ACI c.g.c 
 ·AIB ·AIC ; mà ·AIB ·AIC 180 ·AIB ·AIC 90 hay AI  BC . Ví dụ 10: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh 
 1
rằng AM BC .
 2
 Giải
 1
* Tìm cách giải. Để chứng minh AM BC ta cần 
 2
chứng minh BC 2.AM . Về mặt suy luận, ta cần dựng 
một đoạn thẳng bằng 2.AM rồi chứng minh đoạn thẳng 
đó bằng BC.
* Trình bày lời giải.
Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD MA . 
Suy ra AD 2.AM
 ¶ ¶
 AMB và DMC có AM MD ; M1 M 2 ; MB MC nên 
 AMB DMC . 
 µ ¶
Suy ra AB DC ; A1 D1 nên AB//CD DC  AC .
 ABC và CDA có AB DC ; B· AC D· CA 90 , AC chung suy ra ABC CDA c.g.c 
 1
 BC DA BC 2.AM hay AM BC .
 2
* Nhận xét. Bài này là một tính chất thú vị của tam giác vuông, thường được sử dụng 
trong những bài nối trung điểm của cạnh huyền với đỉnh góc vuông.
Ví dụ 11: Cho hình vẽ bên. 
Biết rằng AB//CD ; AD//BC .
Chứng minh rằng: AB CD , AD BC .
 Giải
 AB//CD ·ABD C· DB (cặp so le trong)
 AD//BC ·ADB C· BD (cặp so le trong)
 ABD và CDB có ·ABD C· DB , BD là cạnh 
chung, ·ADB C· BD .
Suy ra ABD CDB g.c.g AB CD, AD BC .
* Nhận xét. Đây là một tính chất thú vị, gọi là tính chất đoạn chắn song song. Tính 
chất này được vận dụng trong nhiều bài tập, đem lại hiệu quả cao.
C. Bài tập vận dụng
 Định nghĩa tam giác bằng nhau
Bài 1. Điền vào chỗ trống ( ) trong các phát biểu sau:
a) Nếu ABC MNP thì AB ......; ...... MP ; BC ......
b) Nếu IHK DEF thì I ......; ...... Fµ ; Hµ ......
Bài 2. Điền vào ô trống: Bài 3. Cho ABC MNP biết Bµ Cµ 10 ; Nµ Pµ 120 . Tính số đo các góc của mỗi tam 
giác.
Hướng dẫn: ABC MNP suy ra: Bµ Nµ ; Cµ Pµ mà Nµ Pµ 120
 Bµ Cµ 120
Ta có: Bµ Cµ 10 nên Bµ 120 10 : 2 65
 Cµ 120 10 : 2 55
 ABC có µA Bµ Cµ 180
 µA 120 180 ; µA 60
Vậy M¶ µA 60; Nµ Bµ 65 ; Pµ Cµ 55 .
Bài 4. Cho ABC MNP . Biết AB AC 9cm ; MN NP 3cm ; NP 5cm . Tính chu vi 
của mỗi tam giác. 
Hướng dẫn: ABC MNP AB MN ; BC NP ; AC MP (cặp cạnh tương ứng).
Vì AB AC 9cm MN MP 9cm , mà MN NP 3cm , nên 
 MN 9 3 : 2 6 cm 
 MP 9 3 : 2 3 cm 
Do đó chu vi MNP là: MN NP MP 6 5 3 14cm .
Vì ABC MNP nên chu vi ABC bằng chu vi MNP và bằng 14cm.
 BC AB
Bài 5. Cho ABC RST , biết và ST RS 8cm ; AC 18cm . Tính mỗi cạnh 
 5 3
của mỗi tam giác.
Hướng dẫn: ABC RST AB RS ; BC ST ; AC RT (cặp cạnh tương ứng).
Vì ST RS 8cm BC AB 8cm .
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
 BC AB BC AB 8
 4 BC 4.5 20cm ; AB 3.4 12cm .
 5 3 5 3 2
Vậy: AB RS 12cm ; AC RT 18cm ; BC ST 20cm .
Bài 6. Điền vào ô trống:
Bài 7. Cho hình vẽ bên. Chứng minh rằng OB là tia phân giác của ·AOC .
Hướng dẫn: OAB và OCB có OA OC ; 
 AB CB ; OB chung
 OAB OCB c.c.c 
 ·AOB C· OB (cặp góc tương ứng), hay OB là 
tia phân giác của ·AOC . Bài 8. Trong hình vẽ bên biết AB CD , AD BC . Chứng minh: AB // CD , AD // BC .
Nối AC.
Hướng dẫn: Xét ABC và CDA có:
 AB CD ; AD BC ; AC cạnh chung
Nên ABC CDA c.c.c 
Suy ra D· AC B· CA .
Mà hai góc ở vị trí so le trong AD / /CD .
 B· AC D· CA mà hai góc ở vị trí so le trong 
 AB / /CD .
Bài 9. Cho ABC có µA 50 ; AB AC . Gọi M là trung điểm của BC. Tính các góc của 
 ABM , ACM .( Trường hợp c.g.c)
Hướng dẫn: AMB và AMC có AM 
chung; AB AC ; BM CM
 AMB AMC c.c.c 
 B· AM C· AM (góc tương ứng)
 1 1
 B· AM C· AM B· AC .50 25 .
 2 2
 ·AMB ·AMC (góc tương ứng).
Mà ·AMB ·AMC 180 nên 
 ·AMB ·AMC 90 .
 AMB có ·ABM B· AM ·AMB 180 .
 ·ABM 25 90 180 ·ABM 65 suy ra ·ACM 65
Bài 10. Cho ABC vuông tại A. Tia phân giác của ·ABC cắt AC ở D; E là một điểm trên 
cạnh BC sao cho BE BA.
a) Chứng minh rằng: ABD EBD .
b) Chứng minh rằng: DE  BC .
c) Gọi F là giao điểm của DE và AB. Chứng minh rằng DC DF .
Hướng dẫn: a) ABD và EBD có 
 AB BE ; ·ABD E· BD ; BD chung
 ABD EBD c.g.c .
b) ABD EBD B· ED B· AD
 B· ED 90 DE  AB .
c) ABD EBD AD ED .
* ADF và EDC có 
 ·ADF E· DC ; AD ED ; F· AD D· EC 90 
 ADF EDC g.c.g DC DF .
Bài 11. Cho tam giác ABC nhọn. Kẻ BD  AC D AC , CE  AB E AB . Trên tia đối 
của tia BD lấy điểm H sao cho BH AC . Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho 
 CK AB . Chứng minh:
a) ·ABH ·ACK ; b) AH AK . Hướng dẫn: a) ABD có 
 ·ADB 90 ·ABD B· AC 90 1 
 ACE có 
 ·AEC 90 ·ACE B· AC 90 2 
Từ (1) và (2), suy ra: ·ABD ·ACE do đó 
 ·ABH ·ACK .
b) ABH và KCA có AB CK ; 
 ·ABD ·ACE ; BH AC
 ABH KCA c.g.c AH AK .
Bài 12. Cho tam giác ABC có Bµ 2.Cµ . Tia phân giác góc B cắt AC ở D. Trên tia đối 
BD lấy điểm E sao cho BE AC . Trên tia đối CB lấy điểm K sao cho CK AB . Chứng 
minh rằng: AE AK .
Hướng dẫn: Ta có: ·ABE ·ABD 180 ; 
 ·ACK ·ACB 180 (cặp góc kề bù)
 · · 1 · · ·
Mà ABD ACB ABC ABE ACK .
 2 
 ABE và ACK có: AB CK ; ·ABD ·ACK ; 
 BE AC
 ABE KCA c.g.c AE KA.
Bài 13. Cho ABC . Gọi D; E theo thứ tự là trung điểm của AB, AC. Trên tia đối của tia 
ED lấy điểm F sao cho EF ED . Chứng minh:
a) BD CF ; AB // CF . b) BCD FDC . c) DE // BC .
Hướng dẫn: a) Ta dễ chứng minh được 
 ADE CFE c.g.c 
Suy ra AD CF BD CF
Và µA F· CE , mà hai góc ở vị trí so le trong 
nên CF //AB .
b) Xét BDC và FCD có BD FC (chứng 
minh trên); B· DC F· CD (so le trong AB//CF ); 
CD là cạnh chung
do đó: BDC FCD c.g.c .
 ¶ µ
c) BDC FCD (chứng minh trên) nên D1 C1 , mà hai góc ở vị trí so le trong suy ra 
 DE//BC .
 1
* Nhận xét. Từ kết luận BDC FCD , chúng ta còn suy ra được: DE .BC .
 2
Bài 14. Cho ABC vuông tại A, AB AC . Tia phân giác của ·ABC cắt AC tại D. Trên 
cạnh BC lấy điểm E sao cho BE BA. Vẽ AH vuông góc với BC tại H.
a) Chứng minh rằng AD ED .
b) Chứng minh rằng AH //DE .
c) Trên tia DE lấy điểm I sao cho DI AH . Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng DH. 
Chứng minh rằng ba điểm A, O, I thẳng hàng.
Hướng dẫn: