Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 - Chương I: Đường thẳng vuông góc. Đường thẳng song song - Chuyên đề 8: Hai tam giác bằng nhau. Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác

 Chương II
 TAM GIÁC
 Chuyên đề 8. HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU.
 CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA HAI TAM GIÁC
A. Kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa. Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau, các góc 
tương ứng bằng nhau.
 µA µA 
 Bµ Bµ 
 Cµ Cµ 
 ABC A B C 
 AB A B 
 AC A C 
 BC B C 
2. Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác
 Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
 AB A B 
 AC A C  ABC A B C c.c.c 
BC B C 
 Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì 
hai tam giác đó bằng nhau.
 AB A B 
Bµ Bµ  ABC A B C c.g.c 
BC B C 
  Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai 
tam giác đó bằng nhau.
Bµ Bµ 
BC B C  ABC A B C g.c.g 
µ µ 
C C 
2. Hệ quả.
 Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia 
thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
 Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc 
vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông ấy bằng nhau.
 Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của 
tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
µA µA 90
BC B C  ABC A B C (cạnh huyền – góc nhọn)
µ µ 
B B  B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho ABC MNP .
a) Viết kí hiệu về sự bằng nhau của hai tam giác đó với ba cách khác.
b) Cho AB 5cm ; AC 6cm ; NP 7cm . Tính chu vi mỗi tam giác? Hãy nêu nhận xét?
 Giải
* Tìm cách giải. Khi viết hai tam giác bằng nhau thì các đỉnh tương ứng phải viết theo cùng một thứ 
tự. Viết như vậy, thì việc suy ra các cặp cạnh tương ứng bằng nhau mới chính xác.
* Trình bày lời giải.
a) ACB MPN ; CBA PNM ; BAC NMP .
b) ABC MNP suy ra AB MN 5cm ; AC MP 6cm ; BC NP 7cm .
Chu vị ABC bằng: AB AC BC 5 6 7 18 cm .
Chu vi MNP bằng: MN MP NP 5 6 7 18 cm .
* Nhận xét. Hai tam giác bằng nhau thì có chu vi bằng nhau.
Ví dụ 2: Cho ABC HIK , biết µA Bµ 124 ; Hµ I 16 . Tính các góc của mỗi tam giác.
 Giải
* Tìm cách giải. Bài toán yêu cầu tính số đo góc của tam giác nên từ ABC HIK , chúng ta chỉ 
quan tâm tới cặp góc tương ứng bằng nhau.
* Trình bày lời giải.
 ABC HIK µA Hµ; Bµ I; Cµ Kµ (cặp góc tương ứng).
Vì µA Bµ 124 Hµ I 124; mà Hµ I 16 , nên 
Hµ 124 16 : 2 70;
I 124 16 : 2 54 .
 HIK có Hµ I Kµ 180 ; 70 54 Kµ 180 Kµ 56 .
Vì ABC HIK nên µA Hµ 70; Bµ I 54; µC Kµ 56 .
Ví dụ 3: Cho góc nhọn xOy . Lấy điểm A thuộc tia Ox, điểm B thuộc tia Oy sao cho OA OB . Vẽ 
hai cung tròn tâm A và tâm B có cùng bán kính nhỏ hơn OA sao cho chúng cắt nhau tại 2 điểm C và 
D. Chứng minh rằng:
a) AOC BOC .
b) Ba điểm O, C, D thẳng hàng.
 Giải
a) Xét OAC và OBC có: OA OB (giả thiết), AC BC (bán kính bằng nhau), OC cạnh 
chung.
 OAC OBC c.c.c . b) OAC OBC c.c.c nên ·AOC B· OC
tương tự: OAD OBD c.c.c nên ·AOD B· OD .
Nên C, D cùng thuộc tia phân giác góc xOy hay O, C, D 
thẳng hàng.
* Nhận xét. 
 Khi chứng minh hai tam giác bằng nhau bạn nên chú ý 
cạnh chung.
 Muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta có thể chứng 
minh ba điểm đó cùng nằm trên tia phân giác của một góc.
Ví dụ 4: Cho ABC có AB AC . Lấy M thuộc cạnh AB; lấy N thuộc tia đối của tia CA sao cho 
CN BM . Gọi I là một điểm sao cho IB IC ; IM IN . Chứng minh rằng: IC  AN .
 Giải
Ta có ABI ACI c.c.c ·ACI ·ABI .
 MBI NCI c.c.c N· CI ·ABI .
Suy ra ·ACI N· CI , mà đó là hai góc kề bù nên 
·ACI N· CI 90 , hay IC  AN .
* Nhận xét. 
Đây là bài toán khó. Để chứng minh IC  AN chúng ta suy 
nghĩ và chứng minh I·CA I·CN là điều cần thiết. Sau đó, 
chúng ta hãy tìm các cặp tam giác bằng nhau mà trong các 
tam giác ấy có chứa I·CA hoặc I·CN .
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có µA 90 . Kẻ tia phân giác góc Bµ cắt AC tại D. Trên cạnh BC lấy 
điểm M sao cho BM BA.
a) Chứng minh rằng DM  BC .
b) Chứng minh rằng AM  BD .
c) Nếu biết ·AMD 36 . Tính số đo Bµ ; Cµ của ABC .
 Giải
a) ABD và MBD có BA BM ; ·ABD M· BD ; BD là 
cạnh chung ABD MBD c.g.c .
 B· AD B· MD B· MD 90
 DM  BC .
b) Gọi I là giao điểm của AM và BD. Xét ABI và MBI có AB MB ; ·ABI M· BI ; BI là cạnh chung
 ABI MBI c.g.c 
 ·AIB M· IB mà ·AIB M· IB 180 nên ·AIB M· IB 90 , suy ra: AM  BD .
c) ·AMD 36 nên I·MB 90 36 54 ;
 BIM vuông nên I·BM 90 54 36 .
Suy ra Bµ 36.2 72 do đó Cµ 90 72 18 .
Ví dụ 6: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ đoạn thẳng 
 AM  AB ; AM AB sao cho M và C khác phía đối với đường 
thẳng AB. Vẽ đoạn thẳng AN  AC và AN AC sao cho N và 
B khác phía đối với đường thẳng AC. Gọi I, K lần lượt là trung 
điểm BN và CM. Chứng minh rằng:
a) AMC ABN ;
b) MC BN và MC  BN ;
c) AI AK và AI  AK .
 Giải
a) M· AC B· AN 90 B· AC nên MAC BAN c.g.c .
b) MAC BAN BN CM . Và ·AMC ·ABN .
Gọi P là giao điềm của AB và CM
Ta có: ·AMC ·APM 90 (vì AMP vuông)
 ·ABN B· PO 90 BN  CM .
c) CM BN MK BI , mà ·AMK ·ABN ; AM AB
nên AMK ABI c.g.c AK AI .
 M· AK B· AI ; mà M· AK K· AB 90
 B· AI K· AB 90 hay AI  AK .
Ví dụ 7: Cho ABC vuông tại A có BC 2.AB . Tia phân giác của góc Bµ cắt AC tại D.
a) Chứng minh rằng BD CD .
b) Tính góc Bµ và Cµ của tam giác ABC.
 Giải
 1 
a) Gọi E là trung điểm của BC. Suy ra BE CE AB BC 
 2 
 ABD và EBD có BA BE ; ·ABD E· BD (giả thiết); BD là cạnh chung ABD EBD c.g.c B· AD B· ED B· ED 90 .
Xét BDE và CDE có: B· ED C· ED 90 ; BE CE ; DE chung 
 BDE CDE c.g.c 
 BD CD
b) BDE CDE c.g.c Cµ D· BE
 Bµ 2.Cµ
Mặt khác: Bµ Cµ 90 (Vì ABC vuông tại A)
 2Cµ Cµ 90 Cµ 30; Bµ 60.
Ví dụ 8: Cho tam giác ABC có µA 60. Các tia phân giác góc B, góc C cắt nhau tại O và cắt AC; 
AB theo thứ tự D; E. Chứng minh rằng: OD OE .
 Giải
 ABC có µA Bµ Cµ 180
Mà µA 60 nên Bµ Cµ 120.
 1 1
Ta có Bµ Cµ .Bµ .Cµ 60 .
 1 1 2 2
 · µ µ
 BOC có BOC B1 C1 180
 · µ
Nên BOC 120; O1 60.
 · ¶ ¶
- Kẻ Ox là tia phân giác góc BOC , cắt BC tại I nên O2 O3 60 .
 µ ¶ µ ¶
Xét BEO và BIO có B1 B2 (giả thiết); O1 O2 60 ; BO là cạnh chung 
do đó BEO BIO g.c.g . Suy ra OE OI .
- Chứng minh tương tự ta có COD COI nên OD OI .
Vậy OE OD OI .
* Nhận xét. 
- Để chứng minh OE OD , ta chưa thể ghép chúng vào hai tam giác nào bằng nhau được. Do vậy, 
ta nghĩ đến cách kẻ đường phụ. Cho số đo góc A ta liên hệ với bài đã biết nên tính được số đo góc 
BOC và góc BOE nên dựng được điểm I.
- Bài toán còn có cách khác, là lấy điểm I trên BC sao cho BI BE , sau đó chứng minh 
 BOE BOI rồi chứng minh COD COI .
- Từ cách trên ta còn suy ra kết quả đẹp là BE CD BC .
Ví dụ 9: Cho tam giác ABC. Từ B kẻ BD  AC ; CE  AB . Gọi H là giao điểm của BD và CE. 
Biết rằng HD HE . a) Chứng minh rằng BHE CHD ;
b) Chứng minh rằng ABD ACE ;
c) Chứng minh AH là tia phân giác của B· AC .
d) Gọi I là giao điểm của AH và BC. Chứng minh rằng AI  BC .
 Giải
a) BHE và CHD có B· EH C· DH 90 ; HD HE ; 
B· HE C· HD
 BHE CHD g.c.g .
b) BHE CHD BH CH ; mà HD HE
 BD CE .
 ADB và AEC có ·ADB ·AEC 90 ; BD CE ; B· AC 
chung
 ADB AEC (cạnh huyền – góc nhọn).
c) ABD ACE AB AC .
 ABH và ACH có AB AC ; AH là cạnh chung; BH CH (chứng minh trên) 
 ABH ACH c.c.c 
 B· AH C· AH AH là tia phân giác của B· AC .
d) ABI và ACI có AB AC ; B· AI C· AI ; AI là cạnh chung
 ABI ACI c.g.c 
 ·AIB ·AIC ; mà ·AIB ·AIC 180 ·AIB ·AIC 90 hay AI  BC .
Ví dụ 10: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng 
 1
 AM BC .
 2
 Giải
 1
* Tìm cách giải. Để chứng minh AM BC ta cần chứng minh 
 2
BC 2.AM . Về mặt suy luận, ta cần dựng một đoạn thẳng bằng 
2.AM rồi chứng minh đoạn thẳng đó bằng BC.
* Trình bày lời giải.
Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD MA . Suy ra 
 AD 2.AM
 ¶ ¶
 AMB và DMC có AM MD ; M1 M 2 ; MB MC nên 
 AMB DMC . µ ¶
Suy ra AB DC ; A1 D1 nên AB//CD DC  AC .
 ABC và CDA có AB DC ; B· AC D· CA 90 , AC chung suy ra ABC CDA c.g.c 
 1
 BC DA BC 2.AM hay AM BC .
 2
* Nhận xét. Bài này là một tính chất thú vị của tam giác vuông, thường được sử dụng trong những 
bài nối trung điểm của cạnh huyền với đỉnh góc vuông.
Ví dụ 11: Cho hình vẽ bên. 
Biết rằng AB//CD ; AD//BC .
Chứng minh rằng: AB CD , AD BC .
 Giải
AB//CD ·ABD C· DB (cặp so le trong)
AD//BC ·ADB C· BD (cặp so le trong)
 ABD và CDB có ·ABD C· DB , BD là cạnh chung, ·ADB C· BD .
Suy ra ABD CDB g.c.g AB CD, AD BC .
* Nhận xét. Đây là một tính chất thú vị, gọi là tính chất đoạn chắn song song. Tính chất này được 
vận dụng trong nhiều bài tập, đem lại hiệu quả cao.
C. Bài tập vận dụng
 Định nghĩa tam giác bằng nhau
8.1. Điền vào chỗ trống ( ) trong các phát biểu sau:
a) Nếu ABC MNP thì AB ......; ...... MP ; BC ......
b) Nếu IHK DEF thì I ......; ...... Fµ ; Hµ ......
8.2. Điền vào ô trống: 8.3. Cho ABC MNP biết Bµ Cµ 10 ; Nµ Pµ 120 . Tính số đo các góc của mỗi tam giác.
8.4. Cho ABC MNP . Biết AB AC 9cm ; MN NP 3cm ; NP 5cm . Tính chu vi của mỗi 
tam giác.
 BC AB
8.5. Cho ABC RST , biết và ST RS 8cm ; AC 18cm . Tính mỗi cạnh của mỗi 
 5 3
tam giác.
 Trường hợp c.c.c
8.6. Điền vào ô trống:
8.7. Cho hình vẽ bên. Chứng minh rằng OB là tia phân giác của ·AOC .
8.8. Trong hình vẽ bên biết AB CD , AD BC . Chứng minh: AB // CD , AD // BC .
8.9. Cho ABC có µA 50 ; AB AC . Gọi M là trung điểm của BC. Tính các góc của ABM , 
 ACM .
 Trường hợp c.g.c
8.10. Cho ABC vuông tại A. Tia phân giác của ·ABC cắt AC ở D; E là một điểm trên cạnh BC sao 
cho BE BA. a) Chứng minh rằng: ABD EBD .
b) Chứng minh rằng: DE  BC .
c) Gọi F là giao điểm của DE và AB. Chứng minh rằng DC DF .
8.11. Cho tam giác ABC nhọn. Kẻ BD  AC D AC , CE  AB E AB . Trên tia đối của tia 
BD lấy điểm H sao cho BH AC . Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho CK AB . Chứng 
minh:
a) ·ABH ·ACK ;
b) AH AK .
8.12. Cho tam giác ABC có Bµ 2.Cµ . Tia phân giác góc B cắt AC ở D. Trên tia đối BD lấy điểm E 
sao cho BE AC . Trên tia đối CB lấy điểm K sao cho CK AB . Chứng minh rằng: AE AK .
8.13. Cho ABC . Gọi D; E theo thứ tự là trung điểm của AB, AC. Trên tia đối của tia ED lấy điểm 
F sao cho EF ED . Chứng minh:
a) BD CF ; AB // CF .
b) BCD FDC .
c) DE // BC .
8.14. Cho ABC vuông tại A, AB AC . Tia phân giác của ·ABC cắt AC tại D. Trên cạnh BC lấy 
điểm E sao cho BE BA. Vẽ AH vuông góc với BC tại H.
a) Chứng minh rằng AD ED .
b) Chứng minh rằng AH //DE .
c) Trên tia DE lấy điểm I sao cho DI AH . Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng DH. Chứng minh 
rằng ba điểm A, O, I thẳng hàng.
8.15. Cho ABC có Bµ 90 . Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A. Vẽ tia Bx vuông góc với 
BC. Trên tia Bx lấy điểm D sao cho BD BC . Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C vẽ tia By 
vuông góc với BA. Trên tia By lấy điểm E sao cho BE BA. Chứng minh rằng:
a) AD CE .
b) AD  CE .
8.16. Cho ABC có µA 90 . Gọi M là trung điểm cạnh BC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không 
chứa điểm C kẻ tia Ax vuông góc với AB, trên tia Ax lấy điểm D sao cho AD AB . Trên nửa mặt 
phẳng bờ AC không chứa điểm B kẻ Ay vuông góc với AC. Trên tia Ay lấy điểm E sao cho 
AE AC . Trên tia đối tia MA lấy MN MA. Chứng minh rằng:
a) BN AE ;
 DE
b) AM ;
 2
c) AM  DE .