Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 - Chương II: Tam giác - Chuyên đề 14: Tính số đo góc

 Chuyên đề 14. TÍNH SỐ ĐO GÓC
A. Kiến thức cần nhớ
Để giải tốt bài toán tính số đo góc thì chúng ta phải nắm vững kiến thức cơ bản sau:
* Trong tam giác:
+ Tổng ba góc trong bằng 180°.
+ Biết hai góc chúng ta xác định được góc còn lại.
* Trong tam giác cân: Biết một góc chúng ta xác định được hai góc còn lại.
* Trong tam giác vuông:
+ Biết một góc nhọn, chúng ta xác định được góc nhọn còn lại.
+ Cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền thì góc đối diện với cạnh góc vuông đó có số đo bằng 30° .
* Trong tam giác vuông cân: Mỗi góc nhọn có số đo bằng 45°.
* Trong tam giác đều: Mỗi góc có số đo bằng 60°.
* Đường phân giác của một góc chia góc đó ra hai góc có số đo bằng nhau.
* Hai đường phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau.
* Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
* Tính chất về góc so le trong, đồng vị, trong cùng phía, của một đường thẳng cắt hai đường thẳng song 
song.
Trong thực tế, để giải bài toán tính số đo góc, ta thường xét các góc đó nằm trong mối liên hệ với các góc 
ở các hình đặc biệt đã nêu ở trên hoặc xét các góc tương ứng bằng nhau,. .. rồi suy ra kết quả.
B. Ví dụ minh họa
 1
Ví dụ 1. Cho DABC , Cµ= 30° . Kẻ AH vuông góc với BC tại H, biết rằng AH = BC . Gọi D là trung 
 2
điểm của AB. Tính số đo góc ACD?
 Giải
 1
* Tìm cách giải. Xuất phát từ DAHC vuông có Cµ= 30° và AH = BC .Với hai yếu tố này giúp chúng ta 
 2
nghĩ tới tam giác vuông có một góc bằng 30° . Với lập luận đó, chúng ta nghĩ tới việc chứng minh tam 
giác ABC cân. Chúng ta có thể giải theo hướng suy nghĩ đó.
* Trình bày lời giải. 
Xét DAHC có Cµ= 30°, A·HC = 90°
 1
Þ AH = AC
 2
 1
Mà AH = BC(gt)Þ AC = BC
 2
Þ DACB cân tại C Þ CD là đường phân giác của góc C Þ A·CD = 15°. Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có tia phân giác góc B và góc C cắt nhau tại I. Gọi M là trung điểm của đoạn 
thẳng BC. Biết rằng BI = 2.IM và B·IM = 90°. Tính số đo Aµ.
 Giải
 Aµ
* Tìm cách giải. Dựa vào ví dụ 4, chuyên đề 7, chúng ta biết rằng B·IC = 90°+ . Do vậy chúng ta chỉ 
 2
cần tính B·IC . Mặt khác, theo giả thiết B·IM = 90° nên chúng ta chỉ cần tính M· IC . Do MB = MC và BI = 
2.IM nên dễ dàng suy luận được tạo ra điểm D sao cho M là trung điểm của ID. Từ đó chúng ta có lời giải 
sau:
* Trình bày lời giải.
Trên tia đối của tia MI lấy MD = MI. B·MI = C·MD;IM = DM
Suy raDBIM = DCDM (c.g.c)Þ BI = CD;B·IM = C·DM Þ C·DI = 90° 
Từ BI = 2.IM Þ BI = ID(= 2.IM)
Þ CD = ID Þ DCDI vuông cân tại D
Þ C· ID = 45° Þ B·IC = 135°
DBIC có B·IC = 135° nên
I·BC + I·CB = 45°
BI; CI là tia phân giác Bµ và Cµ nên
A·BC + A·CB = 2.(I·BC + I·CB)= 90°, suy ra Aµ= 90°
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC cân ở tại A với B·AC < 90° và kẻ BD, AH lần lượt vuông góc với AC; BC. 
Trên tia BD lấy điểm K sao cho BK = BA. Tính số đo của góc HAK. 
 Giải
- Cách 1. Vì tam giác ABC cân tại A có AH vuông góc với BC, dễ dàng chứng minh được AH là đường 
 · ¶ ¶
phân giác của góc BAC suy ra A2 = A3 .
Mặt khác BA = BK (giả thiết) nên DABK cân tại B, suy ra B·KA = B·AK
 · µ ¶
hay BKA = A1 + 2A2 (1) 
Trong tam giác vuông ADK có:
µ µ
K + A1 = 90° (2)
Thay (1) vào (2) ta được:
 µ ¶
2A1 + 2A2 = 90° ,
 µ ¶
Suy ra A1 + A2 = 45°
Vậy H·AK = 45° - Cách 2. Gọi I là giao điểm của AK và BC.
DBIK có A·KB = $I + C·BD (góc ngoài tam giác)
 · ¶ · · $ ¶
Mà CBD = A2 (= 90°- ACB) nên AKB = I + A2 (1)
 · · ¶
Ta có KAB = IAH + A3 (2)
Mặt khác: A·KB = K·AB (3).
Từ (1), (2), (3) suy ra: 
· ¶ $ ¶
IAH + A3 = I + A2
 ¶ ¶ · $
Lại có A2 = A3 Þ IAH = I
suy ra DAHI cân tại H
Þ H·AK = 45°
* Nhận xét:
 • Bài toán này có nhiều cách giải. Ngoài hai cách tính trên đây, chúng ta có thể hạ 
KJ ^ AH(J Î AH) rồi chứng minh DAJK vuông cân tại J.
 • Nếu B·AC > 90° ta có kết quả H·AK = 135° (bạn đọc tự chứng minh theo ý tưởng trên)
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên tia AC lấy hai điểm E và F sao cho A·BE = 15° và CE 
= CF. Tính số đo của góc CBF.
 Giải
Trên nửa mặt phẳng bờ BE chứa điểm F, dựng tam giác đều BED. Ta có 
E·BC = A·BC- A·BE = 45°- 15° = 30° Þ C·BD = 30°
Khi đó BC là tia phân giác góc EBD nên 
DBCD = DBCE (c.c.c) Þ CD = CE = CF,
Suy ra tam giác DEF vuông
tại D. Ta có: 
D· EF = 180°- A·EB- B·ED
= 180°- 75°- 60° = 45°
Vậy DEF vuông cân tại D.
Lại có.
D· FE = 45°;A·CB = 45° Þ D· FE = A·CB , do đó BC // DF.
Ta lại có tam giác DBF cân tại D (vì DB = DF = DE) và B·DF = B·DE + E·DF + 60°+ 90° = 150° nên 
D· FB = D· BF = 15° , suy ra C·BF = D· FB = 15° . Vây C·BF = 15° * Nhận xét. Dựa vào kỹ thuật trên, chúng ta có thể giải đươc bài toán đảo: Cho tam giác ABC vuông cân 
tại A. Trên tia đối của tia CA lấy điểm F sao cho C·BF = 15° . Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho CE = CF. 
Tính số đo của góc CBE.
Ví dụ 5. Cho tam giác ABC cân tại A có Aµ= 20° . Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = BC. Tính 
A·CD.
 Giải
* Tìm cách giải. Từ đề bài, ta tính được Bµ= Cµ= 80° do đó Bµ- Aµ= 80°- 20° = 60° là một góc của tam
giác đều. Do đó ta có thể nghĩ đến phương pháp để vẽ đường phụ là tam giác đều. 
Khi vẽ đường phụ chúng ta chú ý vẽ xuất phát điểm luôn luôn xuất hiện mối liên hệ giữa 20°; 60°; 80°. 
Sau đây là một vài cách:
* Trình bày lời giải
- Cách vẽ 1. Dựng điểm I nằm trong tam giác sao cho tam giác 
BIC là tam giác đều.
Ta có DABI và DACI có AB = AC, IB = IC, AI là cạnh chung 
Þ DABI = DACI (c.c.c)
Þ B·AI = C· AI = 10° (1)
Mặt khác DADC và DCIA có AD = CI (= BC), 
D· AC = I·CA(= 20°), AC là cạnh chung DADC = DCIA (c.g.c) 
Þ A·CD = C· AI (2)
Từ (1), (2) Þ A·CD = 10°
- Cách vẽ 2. Dựng tam giác đều ADM (M và C khác phía 
so với AB). suy ra: C·AM = 20°+ 60° = 80° .
DABC và DCAM có MA = BC, A·BC = C·AM(= 80°), 
AC là cạnh chung. Suy ra: 
DABC = DCMA(c.g.c)Þ A·CM = 20° và CM = AC.
DADC và DMDC có AD = MD, AC = MC, CD là cạnh 
chung. Suy ra:
 20°
DADC = DMDC (c.c.c)Þ A·CD = M· CD = = 10°
 2
- Cách vẽ 3. Dựng tam giác đều CAN (B; N khác phía so với AC) suy ra: D·AN = 20°+ 60° = 80°.
DABC và DNAD có AD = BC,
A·BC = N·AD(= 80°), AB = AN(= AC) Suy ra DABC = DNAD(c.g.c)
Þ AC = ND và A·ND = 20°
Xét DDNC ta có ND = NC (cùng bằng AC)
Þ DCND cân tại N mà
C·ND = 60°- A·ND = 60°- 20° = 40°
 180°- 40°
Þ N·CD = = 70° Þ A·CD = 70°- 60° = 10°
 2
- Cách vẽ 4. Dựng tam giác đều ABK (K; C cùng phía so với AB).
Ta có DACK cân tại A mà
C·AK = 60°- 20° = 40°
 180°- 40°
Þ A·KC = = 70°
 2
Mặt khác: ADC và DBCK có AD = BC,
D· AC = C·BK(= 20°), AC = AK (= AB).
Suy raDADC = DBCK(c.g.c)
Þ A·CD = B·KC = 70°- 60° = 10°
Ví dụ 6. ChoDABC , M là trung điểm của BC, B·AM = 30°, M· AC = 15°. Tính số đo góc B·CA ?
 Giải
* Tìm cách giải. Do B·AC = 45° nên chúng ta nghĩ tới việc dựng tam giác vuông cân. Do vậy chúng ta có 
thể giải như sau:
* Trình bày lời giải
Kẻ CK ^ AB. Ta có DAKC vuông cân tại K
(vì B·AC = 45° )
Þ KA = KC . Vẽ DASC vuông cân tại S (K, S khác phía so với AC).
 1
Do DBKC vuông tại K Þ KM = BC = MC
 2
Þ DKMC cân tại M M· KC = M· CK Þ A·KM = S·CM
Dễ dàng chứng minh được DKAC = DSAC Þ AK = CK = CS = SA.
DKAM và DCSM có KM = CM, A·KM = S·CM, KA = CS
Þ DKAM = DCSM(c.g.c)Þ C·SM = 30° Þ A·SM = 60° và
S·AM = 60° Þ DASM đều Þ AS = SM = AK Þ DAKM cân tại A
Þ M· KC = M· CK = 90°- 75° = 15° Þ B·CA = 45°- 15° = 30° Ví dụ 7. Cho tam giác ABC cân tại A có Aµ= 3.Bµ. Trên nửa mặt phẳng bờ BC, chứa điểm A, vẽ tia Cy sao 
cho B·Cy = 132°. Tia Cy cắt tia phân giác Bx của góc B tại D. Tính số đo góc ADB.
 Giải
Từ giả thiết DABC cân tại A và Aµ= 3.Bµ, suy ra Bµ= Cµ= 36°. Trên tia BA lấy điểm E sao cho BE = BC 
(E nằm ngoài đoạn AB), khi đó Bx là tia phân giác của A·BC từ đó dễ dàng chứng minh được BD vuông 
góc với CE.
Tam giác EBC cân tại B có; E·AC = A·BC + A·CB = 72°
 180°- 36°
A·EC = = 72°. Do đó A·EC = C·AE Þ DACE cân tại C nên CA = CE (1).
 2
Ta lại có DDEC cân tại D, và E·CD = 132° — 72° = 60° nên DDEC là tam giác đều (2).
Từ (1) và (2) suy ra DCAD cân tại C, có A·CD = 132° — 36° = 96°
 180°- 96°
Þ A·DC = = 42° .
 2
Trong DBCD có B·DC = 180°- 132°- 18° = 30° , suy ra:
A·DB = A·DC- B·DC = 42°- 30° = 12° . Vậy A·DB = 12°
C. Bài tập vận dụng
14.1. Cho tam giác ABC cân tại A, Aµ= 80°. Điểm D thuộc miền trong tam giác sao cho 
D· BC = 10°;D· CB = 30° . Tính số đo A·DB .
14.2. Cho tam giác vuông ABC vuông cân tại A. Điểm D thuộc miền trong tam giác sao cho 
A·DC = 150° và tam giác DAC cân tại D. Tính số đo A·DB
14.3. ChoDABC, Bµ= 45°;Aµ= 15°. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2BC. Vẽ 
DE ^ AC(E Î AC).
a) Chứng minh rằng: EB = ED.
b) Tính số đo A·DB . 14.4. Cho tam giác ABC cân tại A có Aµ= 100° . Qua B dựng tia Bx sao cho C·Bx = 30°. Tia phân giác 
của góc ACB cắt tia Bx tại D.
a) So sánh CD với CA. b) Tính số đo của góc BDA.
14.5. Cho tam giác ABC cân tại A có Aµ= 40°. Trên tia phân giác AD của góc A lấy điểm E sao cho
A·BE = 30° ; trên cạnh AC lấy điểm F sao cho C·BF = 30°
a) Chứng minh rằng: AE = AF. b) Tính số đo của B·EF .
14.6. Cho tam giác cân ABC (AB = AC) với B·AC = 20°. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho C·BD = 50° , 
trên cạnh AB lấy điểm E sao cho B·CE = 60°. Tính số đo góc C·ED .
14.7. Cho tam giác ABC cân có B·AC = 100°. Điểm M nằm trong tam giác sao cho M· AC = M· CA = 20°. 
Tính số đo góc AMB.
14.8. Cho tam giác ABC với B·AC = 55°, A·BC = 115° . Trên tia phân giác của góc ACB lấy điểm M sao 
cho M· AC = 25° . Tính số đo góc BMC.
14.9. Cho tam giác ABC cân tại A có B·AC = 80° . Điểm M nằm trong tam giác sao cho 
M· AC = M· CA = 10° . Tính số đo góc AMB.
14.10. Cho tam giác ABC cân tại A có B·AC = 80° . Gọi M là điểm nằm ngoài tam giác sao cho 
M· BC = 10°, M· CB = 30° . Tính số đo các góc A·MB;A·MC .
14.11. Cho tam giác đều ABC, điểm D nằm giữa A và B. Đường thẳng vẽ từ D vuông góc với AC cắt 
đường thẳng vẽ từ B vuông góc với BC tại điểm M. Gọi N là trung điểm của AD. Tính số đo góc MCN?
 HƯỚNG DẪN GIẢI
14.1. Tìm cách giải. Đây là bài toán khó bởi chúng ta khó nhận ra mối quan hệ giữa giả thiết và kết luận 
để tìm cách giải quyết bài toán. Ta có: A·BC + D· BC = 60° là một góc của tam giác đều. Từ đó chúng ta 
có thể vẽ để tạo ra tam giác đều theo các hướng sau:
- Cách 1. Dựng tam giác đều BCM (A; M cùng phía so với BC).
DABM và DACM có AB = AC, MB = MC, MA là cạnh chung.
Suy ra DABM = DACM (c.c.c) 
Þ A·MB = A·MC = 30°
Xét DABM và DDBC có BM = BC,
A·MB = D· CB = 30°;A·BM = D· BC = 10°
Þ DABM = DDBC(g.c.g)Þ AB = DB
Þ DABD cân tại B
 180°- 40°
Þ A·DB = = 70°
 2 - Cách 2. Dựng tam giác đều ABE (C và E cùng phía so với AB)
 180°- 20°
Ta có: DACE cân tại A, mà C·AE = 20° Þ A·CE = = 80°
 2
Þ B·CE = 80°- 50° = 30° Þ DBDC = DBEC(g.c.g)
Þ BD = BE = BA Þ DBAD cân tại B
 180°- 40°
Þ A·DB = = 70° .
 2
- Cách 3. Dựng tam giác đều ACK (B; K cùng phía so với AC)
Ta có DABK cân lại K, mà
B·AK = 20° Þ A·BK = 80°
Þ C·BK = 80°- 50° = 30°
Þ DBDC = DCKB (g.c.g)
Þ BD = CK Þ DABD cân tại B
Mà A·BD = 40°
 180°- 40°
Þ A·DB = = 70°
 2
- Cách 4.
Kẻ tia phân giác của góc A·BD cắt CD kéo dài tại M.
Ta có: M· BC = M· CB = 30° Þ DBMC cân tại M Þ B·MC = 120°
Mặt khác DAMB = DAMC(c.c.c)
 360°- 120°
Þ A·MB = A·MC = = 120°
 2
Þ DABM = DDBM(c.g.c)
Þ AB = DB Þ DABD cân tại B,
Mà A·BD = 40°
 180°- 40°
Þ A·DB = = 70°
 2
14.2. Nhận xét. Để tính được góc ADB ta cần chứng minh tam giác ABD cân tại B. Ta có 
150°- 90° = 60° là một góc của tam giác đều. Do vậy trong bài toán này ta phải tìm cách vẽ kẻ để tạo ra 
tam giác đều từ đó tìm cách tính góc ADB. Có thể vẽ đường phụ theo các cách sau:
- Cách 1. Dựng ∆ đều ADF (B; F cùng phía so với AC).
Ta có: DADC cân tại D mà A·DC = 150°
 180°- 150°
Þ C·AD = = 15°
 2 Þ B·AF = 90°- (15°+ 60°)= 15°
Þ DADC = DAFB(c.g.c)Þ A·FB = 150°
Và A·BF = 15° Þ D· FB = 360°- (60°+ 150°)= 150°
Þ DAFB = DDFB(c.g.c)Þ AB = DB Þ DABD cân tại B 
mà A·BD = 30°
 180°- 30°
Þ A·DB = = 75°
 2
- Cách 2. Dựng tam giác đều ACE (E; B khác phía so với AC)
DADE và DCDE có AD = CD, AB = CE,
DE là cạnh chung, suy ra 
DADE = DCDE(c.c.c)Þ A·DE = C·DE = 75°
DADE và DADB có AB = AE,
B·AD = E·AD(= 75°), AD là cạnh chung,
suy ra DADE = DADB (c.g.c)
Þ A·DE = A·DB = 75°
Vậy A·DB = 75°
- Cách 3. Dựng tam giác đều CDK (K; B cùng phía so với AC) suy ra
D· CB = K·CB = 30°
DDCB và DKCB có CD = CK,
D· CB = K·BC = 30° , BC là cạnh chung,
suy ra DDCB = DKCB (c.g.c)
Þ DB = KB (*)
DADK và DADC có DK = DC,
A·DK = A·DC = 150° , AD là cạnh chung,
suy ra DADC = DADK (c.g.c)Þ AC = AK; AC = AB Þ AK = AB (1)
Mặt khác: C·AD = K·AD = 15° Þ K·AB = 90° — 30° = 60°(2)
Từ (1), (2) Þ DABK là tam giác đều Þ BK = BA(**)
Từ (*) (**)Þ DB = BA Þ DABD cân tại B
Þ B·AD = B·DA = 90° —15° = 75°.
Vậy A·DB = 75°.
- Cách 4. Dựng tia Bx sao cho A· Bx = 15° (Bx và C cùng phía so với AB).
Tia Bx cắt tia CD tại I.
Ta có DBIC cân tại I ( I·BC = I·CB = 30° )
Þ BI = CI Þ DABI = DACI ( c.c.c)
Þ B·AI = C· AI = 45° do DBIC cân tại I
Þ B·IC = 150° —(30°+ 30°)= 120°.
Mặt khác, DACI có:
A· CI = 15°;C· AI = 45° Þ A· IC = 180° —(15°+ 45°)= 120°.
Từ đó ta có: A· IB = 360° —(120°+ 120°)= 120°.
Vậy A· IB = D· IB = 120° .(*)
Xét tam giác: AID có A·DI = A·CD+ C·AD = 30° (Góc ngoài tam giác)
D· AI = 45°- 15° = 30° Þ DAID cân tại I Þ IA = ID (**)
Từ (*) và (**) Þ DAIB = DDIB (c.g.c)Þ AB = DB và A· BI = D· BI = 15°
Þ DABD cân tại B.
 180°- 30°
Þ A· BI = = 75°
 2
14.3.
a) Ta có A·CD = A·BC + B·AC = 45°+ 15° = 60°
Từ đó trong tam giác ECD vuông tại E, có C·DE = 30° nên CD = 2CE
(theo ví dụ 8, chuyên đề 9), ta lại có CD= 2BC nên CE = BC, suy ra 
C·BE = 30° = C·DE
DEBD cân tại E suy ra EB = ED. 
b) Ta có A·BE = A·BC- C·BE = 45° — 30° = 15° = E·AB Þ DEAB cân tại E,
ta lại có EA = EB = ED Þ DEADvuông cân tại E Þ E·DA = 45°.
Vậy A·DB = A·DE + E·DB = 45°+ 30° = 75°
14.4.
a) Dựng tam giác đều BEC sao cho E và
A cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ BC.